初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试同步练习题

九年级数学下册第三十章二次函数章节练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知平面直角坐标系中有点A（﹣4，﹣4），点B（a，0），二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k的图象必过一定点C，则AB+BC的最小值是（　　）

A．4 B．2 C．6 D．3

2、在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（　　）

A．（4，2） B．（﹣2，2） C．（4，﹣2） D．（﹣2，﹣2）

3、在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象大致如图（　　）

A． B．

C． D．

4、抛物线，，的图象开口最大的是（       ）

A． B． C． D．无法确定

5、已知二次函数的图象上有三点，，，则、、的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

6、已知，是抛物线上的点，且，下列命题正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

7、若函数，则当函数y=15时，自变量的值是（     ）

A． B．5 C．或5 D．5或

8、如图，在中，，，，是边上一动点，沿的路径移动，过点作，垂足为．设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（       ）

A． B．

C． D．

9、如图，若二次函敞的图象过点，且与x轴交点横坐标分别为，，其中，．得出结论：①；②；③；④．上述结论正确的有（       ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

10、将函数的图像向上平移1个单位，向左平移2个单位，则所得函数表达式是（       ）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如果抛物线经过点A（3，6）和点B（﹣1，6），那么这条抛物线的对称轴是直线_____．

2、如果（2，y1）（3，y2）是抛物线y＝（x+1）2上两点，那么y1_____y2．（填“＞”或“＜”）

3、如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD为12米时，球移动的水平距离PD为9米．已知山坡PA的坡度为1：2（即），洞口A离点P的水平距离PC为12米，则小明这一杆球移动到洞口A正上方时离洞口A的距离AE为______米．

4、将抛物线y＝﹣2（x+2）2+5向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为 _____．

5、如图，平面直角坐标系中，以点C（2，）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．若二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式为 ____________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知抛物线y=x2+bx-3（b是常数）经过点A（-1，0）．

(1)求该抛物线的函数表达式和顶点坐标；

(2)抛物线与x轴另一交点为点B，与y轴交于点C，平行于x轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3）．

①求直线BC的解析式；

②若x3＜x1＜x2，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围．

2、在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点，（点在点的左侧），点是抛物线上一点．

(1)若，时，用含的式子表示；

(2)若，，，的外接圆为，求点的坐标和弧的长；

(3)在（1）的条件下，若有最小值，求此时的抛物线解折式

3、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，求此二次函数表达式．

4、已知二次函数的图像经过点，，．

(1)求二次函数的表达式；

(2)若二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为，则以，，，为顶点的四边形的面积为__________；

(3)将二次函数的图像向左平移个单位后恰好经过坐标原点，则的值为__________．

5、已知抛物线与x轴有交点，求m的取值范围．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

将抛物线解析式变形求出点C坐标，再根据两点之间线段最短求出AB+BC的最小值即可．

【详解】

解：二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k=(x-2)(x-1+k)-2

∴函数图象一定经过点C（2，-2）

点C关于x轴对称的点的坐标为（2，2），连接，如图，

∵

∴

故选：C

【点睛】

本题主要考查了二次函数的性质，两点之间线段最短以及勾股定理等知识，明确“两点之间线段最短”是解答本题的关键．

2、D

【解析】

【分析】

求出抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为 ，即可求解．

【详解】

解：∵ ，

∴抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为 ，

∴将抛物线y＝x2﹣2x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 ．

故选：D

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象平移法则“左加右减，上加下减”是解题的关键．

3、B

【解析】

【分析】

分别利用函数解析式分析图象得出答案．

【详解】

解：A、二次函数开口向下，k＜0；一次函数图象经过第一、三象限，k＞0，故此选项错误；

B、两函数图象符合题意；

C、二次函数开口向上，k＞0；一次函数图象经过第二、四象限，k＜0，故此选项错误；

D、一次函数解析式为：y=kx-2，图象应该与y轴交在负半轴上，故此选项错误．

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，正确得出k的符号是解题关键．

4、A

【解析】

【分析】

先令x=1，求出函数值，然后再比较二次项系数的绝对值的大小即可解答．

【详解】

解：当x=1时，三条抛物线的对应点是（1，）（1，-3），（1，1），

∵||＜|1|＜|-3|，

∴抛物线开口最大．

故选A．

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数解析式的二次项系数的绝对值越小，函数图象的开口越大．

5、A

【解析】

【分析】

分别求出、、的大小，再进行判断即可．

【详解】

解：

A、故选项正确，符合题意；

B、故选项错误，不符合题意；

C、故选项错误，不符合题意；

D、故选项错误，不符合题意．

故选：A．

【点睛】

此题考查了二次函数的大小比较问题，解题的关键是掌握二次函数的性质、利用代入法求出、、的大小．

6、A

【解析】

【分析】

根据抛物线解析式可确定对称轴为，根据点与对称轴的距离的大小以及函数值的大小关系即可判断的符号，即开口方向

【详解】

解：∵的对称轴为，且

∴若，

则离对称轴远，则抛物线的开口朝下，即，故A正确

若，

则离对称轴远，则抛物线的开口朝上，即，故C不正确

对于B,D选项不能判断的符号

故选A

【点睛】

本题考查了二次函数图象的性质，掌握的性质是解题的关键．

7、D

【解析】

【分析】

根据题意，利用分类讨论的方法可以求得当函数y=15时，自变量x的值．

【详解】

解：当x＜3时，

令2x2-3=15，

解得x=-3；

当x≥3时，

令3x=15，

解得x=5；

由上可得，x的值是-3或5，

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．

8、D

【解析】

【分析】

分两种情况分类讨论：当0≤x≤6.4时，过C点作CH⊥AB于H，利用△ADE∽△ACB得出y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当6.4＜x≤10时，利用△BDE∽△BCA得出y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．

【详解】

解：∵，，，

∴BC=，

过CA点作CH⊥AB于H，

∴∠ADE=∠ACB=90°，

∵，

∴CH=4.8，

∴AH=，

当0≤x≤6.4时，如图1，

∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°，

∴△ADE∽△ACB，

∴，即，解得：x=，

∴y=•x•=x2；

当6.4＜x≤10时，如图2，

∵∠B=∠B，∠BDE=∠ACB=90°，

∴△BDE∽△BCA，

∴，

即，解得：x=，

∴y=•x•=；

故选：D．

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系式．

9、C

【解析】

【分析】

由二次函数的图象开口向上，轴对称在轴的左侧，图象与轴交于负半轴，可判断①，二次函敞的图象过点，结合图象可得：在抛物线上，再求解抛物线的对称轴可判断②，二次函敞的顶点坐标为：可判断③，先利用时的函数值求解的取值范围，从而可判断④，从而可得答案.

【详解】

解：由二次函数的图象开口向上，轴对称在轴的左侧，图象与轴交于负半轴，

故①符合题意；

二次函敞的图象过点，结合图象可得：

在抛物线上，

抛物线的对称轴为：

故②符合题意；

二次函敞的顶点坐标为：结合图象可得：

而

故③不符合题意；

当时，

又由图象可得：时，

解得：

故④符合题意；

综上：符合题意的有：①②④

故选C

【点睛】

本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的图象与性质判断代数式的符号”是解本题的关键.

10、B

【解析】

【分析】

由二次函数图象平移的规律即可求得平移后的解析式，再选择即可．

【详解】

解：将抛物线先向上平移1个单位，则函数解析式变为

再将向左平移2个单位，则函数解析式变为，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

根据点，的坐标，利用二次函数的性质可求出抛物线的对称轴，此题得解．

【详解】

解：抛物线经过点和点，

抛物线的对称轴为直线．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线的对称性，找出抛物线的对称轴．

2、＜

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x+1）2的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，则在对称轴右侧，y随x的增大而增大．

【详解】

解：∵y＝（x+1）2，

∴a＝1＞0，

∴抛物线开口向上，

∵抛物线y＝（x+1）2对称轴为直线x＝﹣1，

∵﹣1＜2＜3，

∴y1＜y2．

故答案为＜．

【点睛】

本题考查了的性质，求得对称轴是解题的关键．

3、##

【解析】

【分析】

分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求抛物线的解析式，在Rt△PAC中，利用PA的坡度为1：2求出AC的长度，把点A的横坐标x=12代入抛物线解析式，求出CE，最后利用AE=CE-AC得出结果．

【详解】

解：以P为原点，PC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，

可知：顶点B（9，12），抛物线经过原点，

设抛物线的解析式为y=a（x-9）2+12，

将点P（0，0）的坐标代入可得：0=a（0-9）2+12，求得a＝−，

故抛物线的解析式为：y=-(x−9)²+12，

∵PC=12，=1：2，

∴点C的坐标为（12，0），AC＝6，

即可得点A的坐标为(12，6)，

当x=12时，y＝−(12−9)²+12＝=CE，

∵E在A的正上方，

∴AE=CE-AC=-6=，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数的应用及解直角三角形的知识，涉及了待定系数法求函数解析式的知识，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．

4、y＝﹣2（x﹣1）2+3

【解析】

【分析】

按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．

【详解】

解：将抛物线y＝﹣2（x+2）2+5向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+2﹣3）2+5﹣2，即y＝﹣2（x﹣1）2+3．

故答案为：y＝﹣2（x﹣1）2+3．

【点睛】

此题考查了抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，熟记规律是正确解题的关键．

5、y=x2-4x+3

【解析】

【分析】

过点C作CH⊥AB于点H，然后利用垂径定理求出CH、AH和BH的长度，进而得到点A和点B的坐标，再将A、B的坐标代入函数解析式求得b与c，最后求得二次函数的解析式．

【详解】

解：过点C作CH⊥AB于点H，则AH=BH，

∵C（2，），

∴CH=，

∵半径为2，

∴AH=BH=＝1，

∵A（1，0），B（3，0），

∴二次函数的解析式为y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，

故答案为：y=x2-4x+3．

【点睛】

本题考查了圆的垂径定理、二次函数的解析式，解题的关键是过点C作CH⊥AB于点H，利用垂径定理求出点A和点B的坐标．

三、解答题

1、 (1)y=x2-2x-3，(1，−4)

(2)①y=x−3；②

【解析】

【分析】

（1）把A（-1，0）代入y=x2+bx-3其凷b得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标；

（2）①解方程x2-2x-3=0得B（3，0），再确定C（0，-3），然后利用待定系数法求直线BC的解析式；

②如图，利用对称性得到x2-1=1-x1，则x1+x2=2，所以x1+x2+x3=2+x3，利用函数图象得到-1＜x3＜0，从而得到1＜x1+x2+x3＜2．

(1)

解：把A（-1，0）代入y=x2+bx-3得1-b-3=0，解得b=-2，

∴抛物线解析式为y=x2-2x-3，

∵y=（x-1）2-4，

∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）；

(2)

解：①当y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，则B（3，0），

当x=0时，y=x2-2x-3=-3，则C（0，-3），

设直线BC的解析式为y=mx+n，

把B（3，0），C（0，-3）代入得，解得，

∴直线BC的解析式为y=x-3；

②如图，

x2-1=1-x1，

∴x1+x2=2，

∴x1+x2+x3=2+x3，

∵y3＜-3，即x3-3＜-3，

∴x3＜0，

∵y=-4时，x-3=-4，解得x=-1，

∴-1＜x3＜0，

∴1＜x1+x2+x3＜2．

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．

2、 (1)

(2)E点坐标为，弧长为

(3)

【解析】

【分析】

（1）将，代入，计算求解即可；

（2）将与代入，得到，然后将解析式因式分解，得到点坐标分别为；如图，在直角坐标系中作，连接；点为中点，坐标为；点为中点，坐标为，，，有，，，，，得的值，进而可求出点坐标；，知，，AE= ，根据求解即可；

（3），知，， 最小时，有，解得值，故可得值，进而可得出抛物线的解析式．

(1)

解：将与代入

得

∴用含的式子表示为．

(2)

解：将与代入

得

∴

∴点坐标分别为

如图，作，连接

∴，

∴点为中点，坐标为即；点为中点，坐标为即

∵

∴

∴

∴

∵，，

∴

∴点坐标为

∵

∴

∴

∴AE=

∴的坐标为，的长为．

(3)

解：由题意知

∵，

∴

∵最小时，有解得

∴

∴．

【点睛】

本题考查了代数式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值，三角形相似的判定与性质，三角形的外接圆，弧长等知识．解题的关键与难点在于对知识的熟练掌握并能灵活运用．

3、y＝﹣x2﹣2x+3

【解析】

【分析】

根据图象确定经过抛物线的三个点，设二次函数解析式为y＝a(x+3)(x﹣1)，再代入(0,3)利用待定系数法计算即可．

【详解】

解：由图象可知，抛物线经过(﹣3，0)、(1，0)、(0，3)，

设抛物线的解析式为：y＝a(x+3)(x﹣1)，

代入点(0,3)，

则3＝a(0+3)(0﹣1)，

解得：a＝﹣1，

则抛物线的解析式为：y＝﹣(x+3)(x﹣1)，

整理得到：y＝﹣x2﹣2x+3．

【点睛】

本题考查了二次函数解析式的求法，属于基础题，计算过程中细心即可．

4、 (1)

(2)18

(3)1或5

【解析】

【分析】

（1）把点，，代入二次函数解析式：y=ax2+bx+c，求出即可；

（2）分别求出A、B、C、P四点的坐标．利用S四边形ACBP=S△ABP+S△ABC进行计算；

（3）观察抛物线的图像可直接得到结果．

(1)

解：（1）设二次函数的表达式为（，，为常数，），

由题意知，该函数图象经过点，，，得

，

解得，

∴二次函数的表达式为.

(2)

解：∵

当y=0时，

解得：x1=1，x2=5

∴点A坐标为(1，0)、点B坐标为(5，0)；

当x=0时，y=-5，

∴点C坐标为(0，-5)；

把化为y=-(x-3)2+4

∴点P坐标为(3，4)；

由题意可画图如下：

 ∴S四边形ACBP=S△ABP+S△ABC

=

＝18，

故答案是：18；

(3)

由图像知：将抛物线向左平移1个单位长度或5个单位长度，抛物线经过原点．

故：m=1或．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：二次函数的解析式可设为一般式、顶点式或交点式．也考查了二次函数的性质．解题的关键是掌握数形结合能力．

5、

【解析】

【分析】

根据抛物线与轴有交点转化为当时，方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式大于或等于0，解不等式求解即可．

【详解】

∵抛物线与x轴有交点，

∴方程有两个实数根．

解得.

【点睛】

本题考查了抛物线与轴交点问题，转化为一元二次方程根的判别式是解题的关键．一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．