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    难点解析冀教版九年级数学下册第三十章二次函数综合练习试卷(含答案详解)

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    冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试同步达标检测题

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    这是一份冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试同步达标检测题,共31页。试卷主要包含了二次函数y=a+bx+c,若二次函数y=a等内容,欢迎下载使用。
    九年级数学下册第三十章二次函数综合练习
    考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
    考生注意:
    1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
    2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
    3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
    第I卷(选择题 30分)
    一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
    1、若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(﹣1,1),(4,6),(3,1),则( )
    A.y≤3 B.y≤6 C.y≥-3 D.y≥6
    2、将关于x的二次函数的图像向上平移1单位,得到的抛物线经过三点、、,则、、的大小关系是( )
    A. B. C. D.
    3、抛物线的顶点为( )
    A. B. C. D.
    4、二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表:


    -3
    -2
    -1
    0
    1



    -11
    -3
    1
    1
    -3

    对于下列结论:①二次函数的图像开口向下;②当时,随的增大而减小;③二次函数的最大值是1;④若,是二次函数图像与轴交点的横坐标,则,其中,正确的是( )
    A.①② B.③④ C.①③ D.①②④
    5、二次函数y=a+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①﹣4ac>0;②abc<0;③4a+b=0,④4a-2b+c>0;其中正确结论的个数是(  )

    A.4 B.3 C.2 D.1
    6、若二次函数y=a(x+b)2+c(a≠0)的图象,经过平移后可与y=(x+3)2的图象完全重合,则a,b,c的值可能为( )
    A.a=1,b=0,c=﹣2 B.a=2,b=6,c=0
    C.a=﹣1,b=﹣3,c=0 D.a=﹣2,b=﹣3,c=﹣2
    7、二次函数的图象如图所示,那么下列说法正确的是( )

    A. B.
    C. D.
    8、将二次函数y=2x2的图像先向左平移2个单位,再向上平移3个单位,得到的函数图像的表达式为(  )
    A.y=2(x+2)2+3 B.y=2(x-2)2+3 C.y=2(x+2)2-3 D.y=2(x-2)2-3
    9、将函数的图像向上平移1个单位,向左平移2个单位,则所得函数表达式是( )
    A. B.
    C. D.
    10、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则(  )

    A.b>0,c>0,Δ=0 B.b<0,c>0,Δ=0
    C.b<0,c<0,Δ=0 D.b>0,c>0,Δ>0
    第Ⅱ卷(非选择题 70分)
    二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
    1、抛物线y=﹣2(x﹣1)2+4的最高点坐标是_____.
    2、将抛物线y=﹣2(x+2)2+5向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线的解析式为 _____.
    3、如图,抛物线与直线的交点为,.当时,x的取值范围______.

    4、已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)为函数y=﹣2(x﹣1)2+3的图象上的两点,若x1<x2<0,则y1_____y2(填“>”、“=”或“<”),
    5、抛物线的对称轴是直线,则它的顶点坐标为______
    三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)
    1、已知二次函数y=ax2﹣4ax+3a.
    (1)求该二次函数图象的对称轴以及抛物线与x轴的交点坐标;
    (2)若该二次函数的图象开口向下,当1≤x≤4时,y的最大值是2,且当1≤x≤4时,函数图象的最高点为点P,最低点为点Q,求△OPQ的面积;
    (3)若对于该抛物线上的两点P(x1,y1),Q(x2,y2),当t≤x1≤t+1,x2≥5时,均满足y1≥y2,请直接写出t的最大值.
    2、如图,抛物线与轴交于两点(A点在B点的左侧),与y轴交于点C,连接AC,BC,A点的坐标是(,0),点P是抛物线上的一个动点,其横坐标为m,且m>0.

    (1)求此抛物线的解析式;
    (2)若点Q是直线AC上的一个动点,且位于x轴的上方,当PQ∥y轴时,作PM⊥PQ,交抛物线于点M(点M在点P的右侧),以PQ,PM为邻边构造矩形PQNM,求该矩形周长的最小值;
    (3)设抛物线在点C与点P之间的部分(含点C和P)最高点与最低点的纵坐标之差为h.
    ①求h关于m的函数解析式,并写出自变量m的取值范围;
    ②当h=16时,直接写出△BCP的面积.
    3、如图1,抛物线C1: y=ax2+bx+2与x轴交于点A、B(3,0),与y轴交于点C,且过点D(2,2).

    (1)求二次函数表达式;
    (2)若点P为抛物线上第四象限内的点,且S△PBC=S△ABC,求点P的坐标;
    (3)如图2,将抛物线C1平移,得到的新抛物线C2,使点A的对应点为点D,抛物线C1的对称轴与两条抛物线C1,C2围成的封闭图形为M.直线l:y=kx+m(k≠0)经过点A.若直线l与图形M有公共点,求k的取值范围.
    4、如图,直线AB与抛物线y=x2+bx+c交于点A(﹣4,0),B(2,6),与y轴交于点C,且OA=OC,点D为线段AB上的一点,连结OD,OB.

    (1)求抛物线的解析式;
    (2)若OD将△AOB的面积分成1:2的两部分,求点D的坐标;
    (3)在坐标平面内是否存在点P,使以点A,O,B,P为顶点四边形是平行四边形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
    5、如图,在平面直角坐标系中,开口向上的抛物线与轴交于、两点,为抛物线的顶点,为坐标原点.若、()的长分别是方程的两根,且.

    (1)求抛物线对应的二次函数的解析式;
    (2)过点作交抛物线于点,求点的坐标;
    (3)在(2)的条件下,过点任作直线交线段于点,设点、点到直线的距离分别为、,试求的最大值.

    -参考答案-
    一、单选题
    1、C
    【解析】
    【分析】
    根据图像经过三点求出函数表达式,再根据最值的求法求出结果.
    【详解】
    解:∵二次函数y=ax2+bx+c经过(﹣1,1),(4,6),(3,1),
    ∴,
    解得:,
    ∴函数表达式为y=x2-2x-2,开口向上,
    ∴函数的最小值为=,即y≥-3,
    故选C.
    【点睛】
    本题考查了待定系数法求二次函数表达式,二次函数的最值,属于基础题,解题的关键是掌握二次函数最值的求法.
    2、C
    【解析】
    【分析】
    根据题意求得平移后的二次函数的对称轴以及开口方向,根据三个点与对称轴的距离大小判断函数值的大小即可
    【详解】
    解:∵关于x的二次函数的图像向上平移1单位,得到的抛物线解析式为,
    ∴新抛物线的对称轴为,开口方向向上,则当抛物线上的点距离对称轴越远,其纵坐标越大,即函数值越大,
    平移后的抛物线经过三点、、,


    故选C
    【点睛】
    本题考查了二次函数的平移,二次函数的性质,二次函数的对称轴直线x=,图象具有如下性质:①当a>0时,抛物线的开口向上,x<时,y随x的增大而减小;x>时,y随x的增大而增大;x=时,y取得最小值,即顶点是抛物线的最低点.②当a<0时,抛物线的开口向下,x<时,y随x的增大而增大;x>时,y随x的增大而减小;x=时,y取得最大值,即顶点是抛物线的最高点,掌握二次函数的性质是解题的关键.
    3、B
    【解析】
    【分析】
    根据抛物线的顶点式y=a(x-h)2+k可得顶点坐标是(h,k).
    【详解】
    解:∵y=2(x-1)2+3,
    ∴抛物线的顶点坐标为(1,3),
    故选:B.
    【点睛】
    本题考查二次函数的性质,解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式y=a(x-h)2+k,顶点坐标是(h,k).
    4、A
    【解析】
    【分析】
    根据待定系数法确定函数解析式,再根据函数的图象与性质求解即可.
    【详解】
    解:把(-1,1),(1,-3),(-2,-3)代入,得

    解得,
    ∴二次函数式为:

    ∴二次函数的图像开口向下,故①正确;

    ∴对称轴为直线
    ∴当时,随的增大而减小,故②正确;
    当时,二次函数的最大值是,故③错误;
    若,是二次函数图像与轴交点的横坐标,则,故④错误
    ∴正确的是①②
    故答案为①②
    【点睛】
    本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.
    5、B
    【解析】
    【分析】
    看抛物线与x轴交点个数,判定判别式的符号;根据抛物线开口方向,对称轴与x轴的交点位置,与y轴的交点位置,确定a,b,c的符号;根据对称轴,确定a,b之间的关系;当x= -2时,利用图像,观察直线x=-2与抛物线的交点位置,判定函数值的正负即可.
    【详解】
    ∵抛物线与x轴有两个不同的交点,
    ∴﹣4ac>0;
    故①正确;
    ∵抛物线开口向下,与y轴交于正半轴,>0,
    ∴a<0,b>0, c>0,
    ∴abc<0;
    故②正确;
    ∵,
    ∴4a+b=0,
    故③正确;
    x= -2时,y=4a-2b+c,
    根据函数的增减性,得4a-2b+c<0;
    故④错误.
    故选B.
    【点睛】
    本题考查了抛物线的图像与各项系数的关系,抛物线与x轴的交点,对称性,增减性,熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.
    6、A
    【解析】
    【分析】
    根据二次函数的平移性质得出a不发生变化,即可判断a=1.
    【详解】
    解:∵二次函数y=a(x+b)2+c的图形,经过平移后可与y=(x+3)2的图形完全叠合,
    ∴a=1.
    故选:A.
    【点睛】
    此题主要考查了二次函数的平移性质,根据已知得出a的值不变是解题关键.
    7、D
    【解析】
    【分析】
    根据二次函数图象性质解题.
    【详解】
    解:A.由图可知,二次函数图象的对称轴为:x=1,即,故A不符合题意;
    B.二次函数图象与y轴交于负半轴,即c0.
    点Q是直线AC上的一个动点,且位于x轴的上方,PQ∥y轴
    点在点上方,
    ,,设直线的解析式为

    解得
    直线的解析式为
    设,则

    抛物线的解析式为
    对称轴为,顶点坐标为,


    根据对称性可得
    设矩形的周长为,
    ①当时,,不能构成矩形,
    ②当时,

    当时,
    ③当时,

    对称轴为
    则当时,不存在最小值
    综上所述,矩形的周长的最小值为
    (3)
    ①抛物线的解析式为
    对称轴为,顶点坐标为,

    当时,
    解得,

    当时,
    当时,

    ②当时,

    当时,
    解得




    如图,过点作轴交于点,过点作于点,

    抛物线的解析式为
    令,则
    解得






    【点睛】
    本题考查了二次函数综合问题,待定系数法求二次函数解析式,二次函数与矩形问题,二次函数与三角形面积问题,掌握二次函数的性质与一次函数的性质是解题的关键.
    3、 (1)抛物线
    (2)
    (3)或
    【解析】
    【分析】
    (1)把点和点的坐标代入解析式,建立方程组求解即可;
    (2)过点作的平行线与抛物线的交点即为点,求出直线的解析式,令,求解即可;
    (3)根据题意可求出抛物线的对称轴即抛物线的解析式,并求出封闭图形的端点,点和点,根据一次函数的性质,可以求得的取值范围.()
    (1)
    解:抛物线过点,点,
    ,解得,
    抛物线;
    (2)
    由(1)可知,抛物线,
    抛物线的对称轴为直线,
    ,顶点坐标为,
    令,可得,

    直线的解析式为:,
    如图,过点作的平行线,交抛物线于点,点即为所求;

    直线的解析式为:,
    令,
    解得或0(舍去),


    (3)
    点到点,函数向右移动了3个单位,向上移动了2个单位,
    则抛物线的顶点为,即为,
    抛物线的解析式为:,


    当直线经过点,点时,
    ,解得,
    当直线经过点,点时,
    ,解得,
    结合图象可知,若直线与图形有公共点,的取值范围或.
    【点睛】
    本题属于二次函数综合题,主要涉及待定系数法求函数解析式,三角形的面积,数形结合思想,图象的平移等知识,(3)中求出点和点的坐标,利用数形结合思想得出结论是解题关键.
    4、 (1)
    (2)(-2,2)或(0,4)
    (3)存在,点P的坐标为(-2,6)或(6,6)或(-6,-6).
    【解析】
    【分析】
    (1)根据待定系数法,将A(−4,0)、B(2,6)代入,计算即可;
    (2)先确定点A点C坐标,再运用待定系数法先求出直线AB的解析式,设点D的坐标为(m,m+4),然后根据OD将△AOB的面积分成1:2的两部分计算即可;
    (3)设点P的坐标为(xp,yp),分3种情况分析解答即可.
    (1)
    解:将A(−4,0)、B(2,6)代入可得:
    ,解得:,
    ∴抛物线的解析式为:;
    (2)
    解:∵ A点坐标为(-4,0),OA=OC
    ∴C点坐标为(0,4)
    设直线AB的解析式为:,则
    ,解得:,
    ∴直线AB的解析式为:,
    设点D的坐标为(m,m+4),
    ∵OD将△AOB的面积分成1:2的两部,即或,
    ∴或,解得:或m=0
    ∴点D的坐标为(-2,2)或(0,4);
    (3)
    解:存在;
    设点P的坐标为(xp,yp),
    ①当四边形AOBP是平行四边形时,p1在第二象限时,
    轴,,
    ∵B(2,6),
    ∴点P的坐标为(-2,6);
    ②当四边形AOPB是平行四边形时,p2在第一象限时,
    点P的横坐标为2+4=6,点P的,纵坐标坐标为6,
    点P的坐标为(6,6);
    ③当四边形APOB是平行四边形时,p3在第三象限时,
    ,,
    ∴,,
    即,,
    解得:,,
    此时点P的坐标为(-6,-6);
    综上,存在满足条件的点P的坐标为(-2,6)或(6,6)或(-6,-6).

    【点睛】
    本题属于二次函数与一次函数综合题,主要考查了运用待定系数法求解析式、三角形面积、平行四边形等知识点,正确求出二次函数、一次函数的解析式并掌握分类讨论思想成为解答本题的关键.
    5、 (1)
    (2)点的坐标为
    (3)
    【解析】
    【分析】
    (1)先求出的两根,可得点的坐标为,点的坐标为.从而得到的坐标为.再由.可得的坐标为.然后设抛物线对应的二次函数的解析式为.把点代入,即可求解;
    (2)根据题意可设点的坐标为,则有.再由点在抛物线上,可得.从而得到,即可求解;
    (3)由(2)知:,而,可得到,然后过点A作.根据三角形的面积,可得.再由,可得,即可求解.
    (1)
    解:如图,过点作轴于,则为的中点.

    解方程得:或.
    而,则点的坐标为,点的坐标为.
    ∴的坐标为.
    又因为,
    ∴.
    ∴的坐标为.
    设抛物线对应的二次函数的解析式为.
    ∵抛物线过点,则,解得:.
    故抛物线对应的二次函数的解析式为.
    (2)
    ∵,
    ∴.
    又∵,
    设点的坐标为,则有.
    ∵点在抛物线上,
    ∴.
    化简得:.
    解得:,(舍去).
    故点的坐标为.
    (3)
    由(2)知:,而,
    ∴.
    过点A作.

    ∵,
    ∴.
    ∵,
    ∴.

    即此时的最大值为.
    【点睛】
    本题主要考查了二次函数与三角形的综合题,等腰三角形的性质,熟练掌握二次函数的图象和性质等腰三角形的性质是解题的关键.

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