冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试同步达标检测题
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这是一份冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试同步达标检测题,共31页。试卷主要包含了二次函数y=a+bx+c,若二次函数y=a等内容,欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数综合练习
考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
考生注意:
1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)
一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
1、若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(﹣1,1),(4,6),(3,1),则( )
A.y≤3 B.y≤6 C.y≥-3 D.y≥6
2、将关于x的二次函数的图像向上平移1单位,得到的抛物线经过三点、、,则、、的大小关系是( )
A. B. C. D.
3、抛物线的顶点为( )
A. B. C. D.
4、二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表:
…
-3
-2
-1
0
1
…
…
-11
-3
1
1
-3
…
对于下列结论:①二次函数的图像开口向下;②当时,随的增大而减小;③二次函数的最大值是1;④若,是二次函数图像与轴交点的横坐标,则,其中,正确的是( )
A.①② B.③④ C.①③ D.①②④
5、二次函数y=a+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①﹣4ac>0;②abc<0;③4a+b=0,④4a-2b+c>0;其中正确结论的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
6、若二次函数y=a(x+b)2+c(a≠0)的图象,经过平移后可与y=(x+3)2的图象完全重合,则a,b,c的值可能为( )
A.a=1,b=0,c=﹣2 B.a=2,b=6,c=0
C.a=﹣1,b=﹣3,c=0 D.a=﹣2,b=﹣3,c=﹣2
7、二次函数的图象如图所示,那么下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
8、将二次函数y=2x2的图像先向左平移2个单位,再向上平移3个单位,得到的函数图像的表达式为( )
A.y=2(x+2)2+3 B.y=2(x-2)2+3 C.y=2(x+2)2-3 D.y=2(x-2)2-3
9、将函数的图像向上平移1个单位,向左平移2个单位,则所得函数表达式是( )
A. B.
C. D.
10、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则( )
A.b>0,c>0,Δ=0 B.b<0,c>0,Δ=0
C.b<0,c<0,Δ=0 D.b>0,c>0,Δ>0
第Ⅱ卷(非选择题 70分)
二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
1、抛物线y=﹣2(x﹣1)2+4的最高点坐标是_____.
2、将抛物线y=﹣2(x+2)2+5向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线的解析式为 _____.
3、如图,抛物线与直线的交点为,.当时,x的取值范围______.
4、已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)为函数y=﹣2(x﹣1)2+3的图象上的两点,若x1<x2<0,则y1_____y2(填“>”、“=”或“<”),
5、抛物线的对称轴是直线,则它的顶点坐标为______
三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)
1、已知二次函数y=ax2﹣4ax+3a.
(1)求该二次函数图象的对称轴以及抛物线与x轴的交点坐标;
(2)若该二次函数的图象开口向下,当1≤x≤4时,y的最大值是2,且当1≤x≤4时,函数图象的最高点为点P,最低点为点Q,求△OPQ的面积;
(3)若对于该抛物线上的两点P(x1,y1),Q(x2,y2),当t≤x1≤t+1,x2≥5时,均满足y1≥y2,请直接写出t的最大值.
2、如图,抛物线与轴交于两点(A点在B点的左侧),与y轴交于点C,连接AC,BC,A点的坐标是(,0),点P是抛物线上的一个动点,其横坐标为m,且m>0.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点Q是直线AC上的一个动点,且位于x轴的上方,当PQ∥y轴时,作PM⊥PQ,交抛物线于点M(点M在点P的右侧),以PQ,PM为邻边构造矩形PQNM,求该矩形周长的最小值;
(3)设抛物线在点C与点P之间的部分(含点C和P)最高点与最低点的纵坐标之差为h.
①求h关于m的函数解析式,并写出自变量m的取值范围;
②当h=16时,直接写出△BCP的面积.
3、如图1,抛物线C1: y=ax2+bx+2与x轴交于点A、B(3,0),与y轴交于点C,且过点D(2,2).
(1)求二次函数表达式;
(2)若点P为抛物线上第四象限内的点,且S△PBC=S△ABC,求点P的坐标;
(3)如图2,将抛物线C1平移,得到的新抛物线C2,使点A的对应点为点D,抛物线C1的对称轴与两条抛物线C1,C2围成的封闭图形为M.直线l:y=kx+m(k≠0)经过点A.若直线l与图形M有公共点,求k的取值范围.
4、如图,直线AB与抛物线y=x2+bx+c交于点A(﹣4,0),B(2,6),与y轴交于点C,且OA=OC,点D为线段AB上的一点,连结OD,OB.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若OD将△AOB的面积分成1:2的两部分,求点D的坐标;
(3)在坐标平面内是否存在点P,使以点A,O,B,P为顶点四边形是平行四边形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
5、如图,在平面直角坐标系中,开口向上的抛物线与轴交于、两点,为抛物线的顶点,为坐标原点.若、()的长分别是方程的两根,且.
(1)求抛物线对应的二次函数的解析式;
(2)过点作交抛物线于点,求点的坐标;
(3)在(2)的条件下,过点任作直线交线段于点,设点、点到直线的距离分别为、,试求的最大值.
-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
根据图像经过三点求出函数表达式,再根据最值的求法求出结果.
【详解】
解:∵二次函数y=ax2+bx+c经过(﹣1,1),(4,6),(3,1),
∴,
解得:,
∴函数表达式为y=x2-2x-2,开口向上,
∴函数的最小值为=,即y≥-3,
故选C.
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数表达式,二次函数的最值,属于基础题,解题的关键是掌握二次函数最值的求法.
2、C
【解析】
【分析】
根据题意求得平移后的二次函数的对称轴以及开口方向,根据三个点与对称轴的距离大小判断函数值的大小即可
【详解】
解:∵关于x的二次函数的图像向上平移1单位,得到的抛物线解析式为,
∴新抛物线的对称轴为,开口方向向上,则当抛物线上的点距离对称轴越远,其纵坐标越大,即函数值越大,
平移后的抛物线经过三点、、,
故选C
【点睛】
本题考查了二次函数的平移,二次函数的性质,二次函数的对称轴直线x=,图象具有如下性质:①当a>0时,抛物线的开口向上,x<时,y随x的增大而减小;x>时,y随x的增大而增大;x=时,y取得最小值,即顶点是抛物线的最低点.②当a<0时,抛物线的开口向下,x<时,y随x的增大而增大;x>时,y随x的增大而减小;x=时,y取得最大值,即顶点是抛物线的最高点,掌握二次函数的性质是解题的关键.
3、B
【解析】
【分析】
根据抛物线的顶点式y=a(x-h)2+k可得顶点坐标是(h,k).
【详解】
解:∵y=2(x-1)2+3,
∴抛物线的顶点坐标为(1,3),
故选:B.
【点睛】
本题考查二次函数的性质,解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式y=a(x-h)2+k,顶点坐标是(h,k).
4、A
【解析】
【分析】
根据待定系数法确定函数解析式,再根据函数的图象与性质求解即可.
【详解】
解:把(-1,1),(1,-3),(-2,-3)代入,得
解得,
∴二次函数式为:
∵
∴二次函数的图像开口向下,故①正确;
∵
∴对称轴为直线
∴当时,随的增大而减小,故②正确;
当时,二次函数的最大值是,故③错误;
若,是二次函数图像与轴交点的横坐标,则,故④错误
∴正确的是①②
故答案为①②
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.
5、B
【解析】
【分析】
看抛物线与x轴交点个数,判定判别式的符号;根据抛物线开口方向,对称轴与x轴的交点位置,与y轴的交点位置,确定a,b,c的符号;根据对称轴,确定a,b之间的关系;当x= -2时,利用图像,观察直线x=-2与抛物线的交点位置,判定函数值的正负即可.
【详解】
∵抛物线与x轴有两个不同的交点,
∴﹣4ac>0;
故①正确;
∵抛物线开口向下,与y轴交于正半轴,>0,
∴a<0,b>0, c>0,
∴abc<0;
故②正确;
∵,
∴4a+b=0,
故③正确;
x= -2时,y=4a-2b+c,
根据函数的增减性,得4a-2b+c<0;
故④错误.
故选B.
【点睛】
本题考查了抛物线的图像与各项系数的关系,抛物线与x轴的交点,对称性,增减性,熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.
6、A
【解析】
【分析】
根据二次函数的平移性质得出a不发生变化,即可判断a=1.
【详解】
解:∵二次函数y=a(x+b)2+c的图形,经过平移后可与y=(x+3)2的图形完全叠合,
∴a=1.
故选:A.
【点睛】
此题主要考查了二次函数的平移性质,根据已知得出a的值不变是解题关键.
7、D
【解析】
【分析】
根据二次函数图象性质解题.
【详解】
解:A.由图可知,二次函数图象的对称轴为:x=1,即,故A不符合题意;
B.二次函数图象与y轴交于负半轴,即c0.
点Q是直线AC上的一个动点,且位于x轴的上方,PQ∥y轴
点在点上方,
,,设直线的解析式为
解得
直线的解析式为
设,则
抛物线的解析式为
对称轴为,顶点坐标为,
根据对称性可得
设矩形的周长为,
①当时,,不能构成矩形,
②当时,
则
当时,
③当时,
则
对称轴为
则当时,不存在最小值
综上所述,矩形的周长的最小值为
(3)
①抛物线的解析式为
对称轴为,顶点坐标为,
又
当时,
解得,
当时,
当时,
②当时,
当时,
解得
则
如图,过点作轴交于点,过点作于点,
抛物线的解析式为
令,则
解得
【点睛】
本题考查了二次函数综合问题,待定系数法求二次函数解析式,二次函数与矩形问题,二次函数与三角形面积问题,掌握二次函数的性质与一次函数的性质是解题的关键.
3、 (1)抛物线
(2)
(3)或
【解析】
【分析】
(1)把点和点的坐标代入解析式,建立方程组求解即可;
(2)过点作的平行线与抛物线的交点即为点,求出直线的解析式,令,求解即可;
(3)根据题意可求出抛物线的对称轴即抛物线的解析式,并求出封闭图形的端点,点和点,根据一次函数的性质,可以求得的取值范围.()
(1)
解:抛物线过点,点,
,解得,
抛物线;
(2)
由(1)可知,抛物线,
抛物线的对称轴为直线,
,顶点坐标为,
令,可得,
,
直线的解析式为:,
如图,过点作的平行线,交抛物线于点,点即为所求;
直线的解析式为:,
令,
解得或0(舍去),
,
;
(3)
点到点,函数向右移动了3个单位,向上移动了2个单位,
则抛物线的顶点为,即为,
抛物线的解析式为:,
;
当直线经过点,点时,
,解得,
当直线经过点,点时,
,解得,
结合图象可知,若直线与图形有公共点,的取值范围或.
【点睛】
本题属于二次函数综合题,主要涉及待定系数法求函数解析式,三角形的面积,数形结合思想,图象的平移等知识,(3)中求出点和点的坐标,利用数形结合思想得出结论是解题关键.
4、 (1)
(2)(-2,2)或(0,4)
(3)存在,点P的坐标为(-2,6)或(6,6)或(-6,-6).
【解析】
【分析】
(1)根据待定系数法,将A(−4,0)、B(2,6)代入,计算即可;
(2)先确定点A点C坐标,再运用待定系数法先求出直线AB的解析式,设点D的坐标为(m,m+4),然后根据OD将△AOB的面积分成1:2的两部分计算即可;
(3)设点P的坐标为(xp,yp),分3种情况分析解答即可.
(1)
解:将A(−4,0)、B(2,6)代入可得:
,解得:,
∴抛物线的解析式为:;
(2)
解:∵ A点坐标为(-4,0),OA=OC
∴C点坐标为(0,4)
设直线AB的解析式为:,则
,解得:,
∴直线AB的解析式为:,
设点D的坐标为(m,m+4),
∵OD将△AOB的面积分成1:2的两部,即或,
∴或,解得:或m=0
∴点D的坐标为(-2,2)或(0,4);
(3)
解:存在;
设点P的坐标为(xp,yp),
①当四边形AOBP是平行四边形时,p1在第二象限时,
轴,,
∵B(2,6),
∴点P的坐标为(-2,6);
②当四边形AOPB是平行四边形时,p2在第一象限时,
点P的横坐标为2+4=6,点P的,纵坐标坐标为6,
点P的坐标为(6,6);
③当四边形APOB是平行四边形时,p3在第三象限时,
,,
∴,,
即,,
解得:,,
此时点P的坐标为(-6,-6);
综上,存在满足条件的点P的坐标为(-2,6)或(6,6)或(-6,-6).
【点睛】
本题属于二次函数与一次函数综合题,主要考查了运用待定系数法求解析式、三角形面积、平行四边形等知识点,正确求出二次函数、一次函数的解析式并掌握分类讨论思想成为解答本题的关键.
5、 (1)
(2)点的坐标为
(3)
【解析】
【分析】
(1)先求出的两根,可得点的坐标为,点的坐标为.从而得到的坐标为.再由.可得的坐标为.然后设抛物线对应的二次函数的解析式为.把点代入,即可求解;
(2)根据题意可设点的坐标为,则有.再由点在抛物线上,可得.从而得到,即可求解;
(3)由(2)知:,而,可得到,然后过点A作.根据三角形的面积,可得.再由,可得,即可求解.
(1)
解:如图,过点作轴于,则为的中点.
解方程得:或.
而,则点的坐标为,点的坐标为.
∴的坐标为.
又因为,
∴.
∴的坐标为.
设抛物线对应的二次函数的解析式为.
∵抛物线过点,则,解得:.
故抛物线对应的二次函数的解析式为.
(2)
∵,
∴.
又∵,
设点的坐标为,则有.
∵点在抛物线上,
∴.
化简得:.
解得:,(舍去).
故点的坐标为.
(3)
由(2)知:,而,
∴.
过点A作.
∵,
∴.
∵,
∴.
即此时的最大值为.
【点睛】
本题主要考查了二次函数与三角形的综合题,等腰三角形的性质,熟练掌握二次函数的图象和性质等腰三角形的性质是解题的关键.
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