冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试课时练习

九年级数学下册第三十章二次函数同步测试

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（       ）

A．

B．当时，随的增大而增大

C．

D．是一元二次方程的一个根

2、下列二次函数的图象中，顶点在第二象限的是（       ）

A． B．

C． D．

3、下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（       ）

A．正方体集装箱的体积，棱长xm

B．小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm

C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤

D．高为14m的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径xm

4、若二次函数y＝a（x＋b）2＋c（a≠0）的图象，经过平移后可与y＝（x＋3）2的图象完全重合，则a，b，c的值可能为（       ）

A．a＝1，b＝0，c＝﹣2 B．a＝2，b＝6，c＝0

C．a＝﹣1，b＝﹣3，c＝0 D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣2

5、二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x＞0时，函数值y的取值范围是（　　）

A． B．y≤2 C．y＜2 D．y≤3

6、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论正确的是（       ）

A．ac＞0 B．a+b＝1 C．4ac﹣b2≠4a D．a+b+c＞0

7、抛物线的顶点为（       ）

A． B． C． D．

8、已知二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，则a的取值范围是（       ）

A．a＜4 B．a≤4 C．a＜4且a≠0 D．a≤4且a≠0

9、下列函数中，随的增大而减小的是（       ）

A． B．

C． D．

10、已知二次函数y＝x2﹣2x+m，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）（x1＜x2）是图象上两点，下列结论正确的是（　　）

A．若x1+x2＜2，则y1＞y2 B．若x1+x2＞2，则y1＞y2

C．若x1+x2＜﹣2，则y1＜y2 D．若x1+x2＞﹣2，则y1＞y2

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、若抛物线与轴交于原点，则的值为 __．

2、二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如下：

则一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝﹣5的解为 _____．

3、如图，平面直角坐标系中，以点C（2，）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．若二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式为 ____________．

4、二次函数的图象的顶点坐标为______．

5、定义：直线y=ax+b(a≠0)称作抛物线y=ax2+bx(a≠0)的关联直线． 根据定义回答以下问题：

(1)已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)的关联直线为y=x+2， 则该抛物线的顶点坐标为_________；

(2)当a=1时， 请写出抛物线y=ax2+bx与其关联直线所共有的特征（写出一条即可）：___________________________________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、某商店销售甲、乙两种礼品，每件利润分别为20元、10元，每天卖出件数分别为40件、80件．为适应市场需求，该店决定降低甲种礼品的售价，同时提高乙种礼品的售价．售卖时发现，甲种礼品单价每降1元可多卖4件，乙种礼品单价每提高1元就少卖2件．若每天两种礼品共卖出140件，则每天销售的最大利润是多少？

(1)分析：设甲种礼品每件降低了x元，填写表格（用含x的式子表示，并化简）；

(2)解答：           

2、某运动员在推铅球时，铅球经过的路线是抛物线的一部分（如图），落地点B的坐标是（10，0），已知抛物线的函数解析式为y＝﹣+c．

(1)求c的值；

(2)计算铅球距离地面的最大高度．

3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为的中点．

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)若点是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值；

(3)是抛物线的对称轴上一点，是抛物线上一点，直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．

4、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离路面的距离为．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)一大型货车装载设备后高为，宽为．如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？

5、已知直线y1＝kx+1（k＞0）与抛物线y2＝x2．

(1)当﹣4≤x≤3时，函数y1与y2的最大值相等，求k的值；

(2)如图①，直线y1＝kx+1与抛物线y2＝x2交于A，B两点，与y轴交于F点，点C与点F关于原点对称，求证：S△ACF：S△BCF＝AC：BC；

(3)将抛物线y2＝x2先向上平移1个单位，再沿直线y1＝kx+1的方向移动，使向右平行移动的距离为t个单位，如图②所示，直线y1＝kx+1分别交x轴，y轴于E，F两点，交新抛物线于M，N两点，D是新抛物线与y轴的交点，当△OEF∽△DNF时，试探究t与k的关系．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

根据二次函数图象的开口方向向下可得是负数，对称轴位于轴的右侧可得、异号；与轴的交点在正半轴可得是正数，根据二次函数的增减性可得选项错误，根据抛物线的对称轴结合与轴的一个交点的坐标可以求出与轴的另一交点坐标，也就是一元二次方程的根，从而得解．

【详解】

解：、根据图象，二次函数开口方向向下，则，对称轴位于轴的右侧可得、异号，即，故本选项结论错误；

B、当时，随的增大而减小，故本选项结论错误；

C、根据图象，抛物线与轴的交点在正半轴，则，故本选项结论错误；

D、抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，

设另一交点为，

，

，

另一交点坐标是，

是一元二次方程的一个根，

故本选项结论正确．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的增减性，抛物线与轴的交点问题，熟记二次函数的性质以及函数图象与系数的关系是解题的关键．

2、C

【解析】

【分析】

根据二次函数的顶点式求得顶点坐标，即可判断．

【详解】

解：A．二次函数的顶点为（1，3），在第一象限，不合题意；

B．二次函数的顶点为（1，﹣3），在第四象限，不合题意；

C．二次函数的顶点为（﹣1，3），在第二象限，符合题意；

D．二次函数的顶点为（﹣1，﹣3），在第三象限，不合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查二次函数的图象、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

3、D

【解析】

【分析】

根据题意，列出关系式，即可判断是否是二次函数．

【详解】

A.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；

B.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；

C.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；

D.由题得：，是二次函数，故此选项符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数的定义，形如的形式为二次函数，掌握二次函数的定义是解题的关键．

4、A

【解析】

【分析】

根据二次函数的平移性质得出a不发生变化，即可判断a=1．

【详解】

解：∵二次函数y=a（x+b）2+c的图形，经过平移后可与y=（x+3）2的图形完全叠合，

∴a=1．

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了二次函数的平移性质，根据已知得出a的值不变是解题关键．

5、A

【解析】

【分析】

根据待定系数求解析式，进而求得顶点坐标，即的最大值，进而即可求得答案

【详解】

解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为，与轴的交点为，与轴的一个交点为，

∴另一交点为

设抛物线解析式为，将点代入得

解得

抛物线解析式为

则顶点坐标为

当x＞0时，函数值y的取值范围是

故选A

【点睛】

本题考查了待定系数法求抛物线解析式，化为顶点式是解题的关键．

6、D

【解析】

【分析】

由抛物线开口方向及抛物线与轴交点位置，即可得出、，进而判断结论A；由抛物线顶点的横坐标可得出，进而判断结论B；由抛物线顶点的纵坐标可得出，进而判断结论C；由、，进而判断结论D．由此即可得出结论．

【详解】

解：A、抛物线开口向下，且与轴正半轴相交，

，，

，结论A错误，不符合题意；

B、抛物线顶点坐标为，，

，

，即，结论B错误，不符合题意；

C、抛物线顶点坐标为，，

，

，结论C错误，不符合题意；

D、，，

，结论D正确，符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，解题的关键是观察函数图象，逐一分析四个选项的正误．

7、B

【解析】

【分析】

根据抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k可得顶点坐标是（h，k）．

【详解】

解：∵y=2（x-1）2+3，

∴抛物线的顶点坐标为（1，3），

故选：B．

【点睛】

本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）．

8、D

【解析】

【分析】

由二次函数的定义得a≠0，再由二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点得到Δ≥0，解不等式即可．

【详解】

解：∵二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，

∴Δ＝42﹣4a×1≥0，且a≠0，

解得：a≤4，且a≠0．

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数的图象与x轴的交点，关键是Δ＝b2−4ac决定抛物线与x轴交点的个数．

9、C

【解析】

【分析】

根据各个选项中的函数解析式，可以判断出y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．

【详解】

解：A．在中，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；

B．在中，y随x的增大与增大，不合题意；

C．在中，当x＞0时，y随x的增大而减小，符合题意；

D．在，x>2时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质，正确掌握相关函数增减性是解题关键．

10、A

【解析】

【分析】

由二次函数y＝x2﹣2x+m可知对称轴为x＝1，当x1+x2＜2时，点A与点B在对称轴的左边，或点A在左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离小，再结合抛物线开口方向，即可判断．

【详解】

解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m，

∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，

∵x1＜x2，

∴当x1+x2＜2时，点A与点B在对称轴的左边，或点A在左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大，

∴y1＞y2，

故选：A．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，灵活应用x1+x2与2的关系确定点A、点B与对称轴的关系是解决本题的关键．

二、填空题

1、-3

【解析】

【分析】

根据函数图象经过原点时，，，代入即可求出的值．

【详解】

解：抛物线与轴交于原点，

当时，，

，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，掌握函数图象经过原点，即当时，是解决问题的关键．

2、，

【解析】

【分析】

从表中找到三对数值，将三对数值分别代入y=ax2+bx+c组成方程组，求出a、b、c的值，然后再运用因式分解法求解方程即可得到结论．

【详解】

解：将（-3，7），（0，-8），（1，-9）代入y=ax2+bx+c得，

整理得，

②×3+①，得

∴

把代入②得，

∴

又

∴一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝﹣5可变形为：

即：

∴

∴，或

解得，，

故答案为：，

【点睛】

本题考查了待定系数法求函数解析式和一元二次方程的解法，从图表中找到相关的量是解题的关键．

3、y=x2-4x+3

【解析】

【分析】

过点C作CH⊥AB于点H，然后利用垂径定理求出CH、AH和BH的长度，进而得到点A和点B的坐标，再将A、B的坐标代入函数解析式求得b与c，最后求得二次函数的解析式．

【详解】

解：过点C作CH⊥AB于点H，则AH=BH，

∵C（2，），

∴CH=，

∵半径为2，

∴AH=BH=＝1，

∵A（1，0），B（3，0），

∴二次函数的解析式为y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，

故答案为：y=x2-4x+3．

【点睛】

本题考查了圆的垂径定理、二次函数的解析式，解题的关键是过点C作CH⊥AB于点H，利用垂径定理求出点A和点B的坐标．

4、

【解析】

【分析】

根据的意义直接解答即可．

【详解】

解：二次函数的图象的顶点坐标是．

故答案为．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：（a≠0）的顶点坐标为（0，c）．

5、     （-1，-1）     （1，1+b）．

【解析】

【分析】

（1）由关联直线的定义可求得a和b的值，可求得抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；

（2）由关联直线的定义可求得关联直线解析式，可写出其共有特征．

【详解】

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）的关联直线为y=x+2，

∴a=1，b=2，

∴抛物线解析式为y=x2+2x=（x+1）2-1，

∴抛物线顶点坐标为（-1，-1），

故答案为：（-1，-1）；

（2）当a=1时，抛物线解析式为y=x2+bx，则关联直线解析式为y=x+b，

∴当x=1时，函数值都为1+b，

∴抛物线及其关联直线都过点（1，1+b），

故答案为：过点（1，1+b）．

【点睛】

本题主要考查二次函数的性质，理解好题目中所给关联直线的解析式与抛物线解析式之间的关系是解题的关键．

三、解答题

1、 (1)①，②，③

(2)每天获得的最大利润为元.

【解析】

【分析】

（1）设甲种礼品每件降低了x元，则调价后的销售量为原销量加上增加的销量，可得乙的销量为件，再求解乙调价后的利润即可；

（2）设每天的销售利润为元，再利用总利润等于甲礼品的利润加上乙礼品的利润，可得函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案.

(1)

解：设甲种礼品每件降低了x元，则调价后的销售量为：件，

乙种礼品调价后的销售量为：件，

乙种礼品调价后的利润为：元，

填表如下：

(2)

解：设每天的销售利润为元，则

当时，

（元）

所以每天获得的最大利润为元.

【点睛】

本题考查的是列代数式，二次函数的实际应用，理解题意，列出二次函数的关系式是解本题的关键.

2、 (1)；

(2)铅球距离地面的最大高度为

【解析】

【分析】

（1）把（10，0）代入函数解析式中，即可求得c的值；

（2）直接利用对称轴的值，代入函数关系式进而得出答案．

(1)

把（10，0）代入函数解析式中得：

解得：

(2)

当x＝﹣时，y最大＝

所以铅球距离地面的最大高度为3m．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是关键，属于基础题．

3、 (1)

(2)最大值为2

(3)，，

【解析】

【分析】

（1）将点A，B坐标代入得方程组，求解即可；

（2）分别求出点B，C，D的坐标，运用待定系数法求出BC解析式，设，则，，根据三角形面积公式可得二次函数关系式，配方求解即可；

（3）分两种情况：①若AD是平行四边形的对角线，②若AD是平行四边形的边，分别进行讨论即可．

(1)

将，代入

，

解这个方程组得

∴该抛物线的函数表达式为

(2)

在中，当时，，

∴，

∵点D为线段BC的中点，且，

∴，即，

设直线BC的解析式为，

将，代入得，

解得，

∴直线BC的解析式为，

过点作轴交于点，

设，则

，

当时，有最大值为2

(3)

满足条件的点的坐标为：，，

由可得对称轴为：直线，

设，又，

①若AD是平行四边形的对角线，

当MN与AD互相平分时，四边形ANDM是平行四边形，

即MN经过AD的中点（），即（0，-1）

∴

∴n=-1，

∴，

②若AD是平行四边形的边，

Ⅰ．当NM∥AD且NM=AD时，四边形ANMD是平行四边形，

∵A（-2，0），D（2，2），点M的横坐标为1，

∴点N的横坐标为1-4=-3，

∴

∴点N的坐标为；

Ⅱ．当NM∥AD且NM=AD时，四边形AMND是平行四边形，

∵A（-2，0），D（2，2），点M的横坐标为1，

∴点N的横坐标为1+4=5，

∴

∴点N的坐标为；

综上所述，点M的坐标为，，．

【点睛】

本题是二次函数有关的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，平行四边形性质等，熟练掌握待定系数法、二次函数图象和性质及平行四边形性质等相关知识，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题关键．

4、 (1)

(2)这辆货车能安全通过，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意得： ， ，抛物线的顶点坐标为点 ，从而得到点 ，设抛物线的函数表达式为 ，把点代入，即可求解；

（2）根据题意得：当 时， ，即可求解．

(1)

解：∴ ，

设抛物线的函数表达式为 ，

∴ ，解得： ，

∴抛物线的函数表达式为；

(2)

解：这辆货车能安全通过，理由如下：

根据题意得：当 时，

，

∴这辆货车能安全通过．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键．

5、 (1)

(2)证明见解析

(3)

【解析】

【分析】

（1）根据函数图象的性质可知，当时，， ，，有，求解即可；

（2）如图，分别过点作交点分别为，设两点横坐标分别为，由题意知：，， ，，；有，，，，故可证；

（3）平移后的二次函数解析式为，与y轴的交点坐标为，可知，有相同的纵坐标，可得，解得，知点横纵标，在点一次函数与二次函数相交，有相同的纵坐标，可得，进而可得的关系．

(1)

解：∵，

∴根据函数图象的性质可知，当时，，

∵

∴

解得．

(2)

证明：如图，分别过点作交点分别为

∴

设两点横坐标分别为，

由题意知：

∴，

∵

∴

∵，

∴

∴

∴．

(3)

解：由题意知，平移后的二次函数解析式为，与y轴的交点坐标为，

∵

∴

∴有相同的纵坐标

∴

解得

故可知点横纵标

∵在点一次函数与二次函数相交，有相同的纵坐标

∴

解得．

【点睛】

本题考查了一次函数与二次函数的综合，相似三角形等知识．解题的关键在于灵活运用知识求解．