初中第30章 二次函数综合与测试随堂练习题

九年级数学下册第三十章二次函数难点解析

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、抛物线的对称轴是（       ）

A．直线 B．直线 C．直线 D．直线

2、如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C，不正确的结论是（       ）

A． B． C． D．

3、对于二次函数，下列说法正确的是（       ）

A．若，则y随x的增大而增大 B．函数图象的顶点坐标是

C．当时，函数有最大值－4 D．函数图象与x轴有两个交点

4、已知二次函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，则下列命题中正确的是（       ）

A．若a＝1，函数图象经过点(－1，1) B．若a＝－2，函数图象与x轴交于两点

C．若a＜0，函数图象的顶点在x轴下方 D．若a＞0且x≥1，则y随x增大而减小

5、在抛物线的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

6、已知二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，则a的取值范围是（       ）

A．a＜4 B．a≤4 C．a＜4且a≠0 D．a≤4且a≠0

7、已知点、在二次函数的图象上，当，时，．若对于任意实数、都有，则的范围是（       ）．

A． B． C．或 D．

8、如图，在矩形ABCD中，，，动点P沿折线运动到点B，同时动点Q沿折线运动到点C，点P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（       ）

A． B．

C． D．

9、抛物线y＝4(2x﹣3)2+3的顶点坐标是（　　）

A．(，3) B．(4，3) C．(3，3) D．(﹣3，3)

10、已知平面直角坐标系中有点A（﹣4，﹣4），点B（a，0），二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k的图象必过一定点C，则AB+BC的最小值是（　　）

A．4 B．2 C．6 D．3

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、在平面直角坐标系中，设点P是抛物线的顶点，则点P到直线的距离的最大值为________．

2、抛物线y＝x2＋2x＋的对称轴是直线______．

3、已知二次函数y＝﹣x2+bx+c与一次函数y＝mx+n的图象相交于点A（﹣2，4）和点B（6，﹣2），则不等式﹣x2+bx+c＞mx+n的解集是 _____．

4、将抛物线y＝﹣2（x+2）2+5向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为 _____．

5、将抛物线向右平移4个单位，所得到的抛物线的函数解析式是________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知二次函数的图象经过点．

(1)求二次函数的表达式；

(2)求二次函数的图象与轴的交点坐标．

2、某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：

(1)求y与x的函数关系式；

(2)求公司销售该商品获得的最大日利润．

3、在平面直角坐标系xOy中的图形W与图形N，如果图形W与图形N有两个交点，我们则称图形W与图形N互为“友好图形”．

(1)已知A（－1，1），B（2，1）则下列图形中与线段AB互为“友好图形”的是　   　；

①抛物线y＝x2；

②双曲线；

③以O为圆心1为半径的圆．

(2)已知：图形W为以O为圆心，1为半径的圆，图形N为直线y＝x＋b，若图形W与图形N互为“友好图形”，求b的取值范围．

(3)如图，已知，，，图形W是以（t，0）为圆心，1为半径的圆，若图形W与△ABC互为“友好图形”，直接写出t的取值范围．

4、如图，因疫情防控需要，某校在足够大的空地利用旧墙MN和隔离带围成一个矩形隔离区ABCD，墙长为a米，AD≤MN，矩形隔离区的一边靠墙，其它三边一共用隔离带200米．

(1)a＝30，所围成的矩形隔离区的面积为1800平方米，求所利用旧墙AD的长；

(2)若a＝150．求矩形隔离区ABCD面积的最大值．

5、已知抛物线y＝ax2＋bx＋5（a为常数，a≠0）交x轴于点A（－1，0）和点B（5，0），交y轴于点C．

(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；

(2)若点P是抛物线上一点，且PB＝PC，求点P的坐标；

(3)点Q是抛物线的对称轴l上一点，当QA＋QC最小时，求点Q的坐标．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

抛物线的对称轴为：，根据公式直接计算即可得．

【详解】

解：，

其中：，，，

，

故选：C．

【点睛】

本题考查的是抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴的公式是解本题的关键，注意对称轴是直线．

2、D

【解析】

【分析】

由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴求出与的关系．

【详解】

解：A、由抛物线的开口向上知，

对称轴位于轴的右侧，

．

抛物线与轴交于负半轴，

，

；

故选项正确，不符合题意；

B、对称轴为直线，得，即，故选项正确，不符合题意；

C、如图，当时，，，故选项正确，不符合题意；

D、当时，，

，即，故选项错误，符合题意；

故选：D．

【点睛】

本题主要考查抛物线与轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．

3、A

【解析】

【分析】

先将二次函数的解析式化为顶点式，再逐项判断即可求解．

【详解】

解：∵，且 ，

∴二次函数图象开口向下，

∴A、若，则y随x的增大而增大，故本选项正确，符合题意；

B、函数图象的顶点坐标是，故本选项错误，不符合题意；

C、当时，函数有最大值-2，故本选项错误，不符合题意；

∵ ，

∴D、函数图象与x轴没有交点，故本选项错误，不符合题意；

故选：A

【点睛】

本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．

4、B

【解析】

【分析】

根据二次函数的图象与性质逐项分析即可．

【详解】

A、当a=1，x=-1时，，故函数图象经过点(－1，2)，不经过点(－1，1)，故命题错误；

B、a＝－2时，函数为，令y=0，即，由于，所以方程有两个不相等的实数根，从而函数图象与x轴有两个不同的交点，故命题正确；

C、当a<0时， ，其顶点坐标为，当a=−1时，顶点坐标为(1，0 )，在x轴上，故命题错误；

D、由于，抛物线的对称轴为直线x=1，当a＞0且x≥1时，y随x增大而增大，故命题错误．

故选：B

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．

5、C

【解析】

【分析】

把三个点，，的横坐标代入解析式，然后比较函数值大小即可．

【详解】

解：把三个点，，的横坐标代入解析式得，

；；；

所以，，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题关键是求出函数值，再比较大小．

6、D

【解析】

【分析】

由二次函数的定义得a≠0，再由二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点得到Δ≥0，解不等式即可．

【详解】

解：∵二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，

∴Δ＝42﹣4a×1≥0，且a≠0，

解得：a≤4，且a≠0．

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数的图象与x轴的交点，关键是Δ＝b2−4ac决定抛物线与x轴交点的个数．

7、A

【解析】

【分析】

先根据二次函数的对称性求出b的值，再根据对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，则二次函数y=x2-4x+n的最小值大于或等于1即可求解．

【详解】

解：∵当x1=1、x2=3时，y1=y2，

∴点A与点B为抛物线上的对称点，

∴，

∴b=-4；

∵对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，

∴二次函数y=x2-4x+n的最小值大于或等于1，

即，

∴c≥5．

故选：A．

【点睛】

本题考察了二次函数的图象和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其对称轴是直线：，顶点纵坐标是，抛物线上两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若有y1=y2，则P1，P2两点是关于抛物线对称轴对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线：．

8、D

【解析】

【分析】

分别求出点P在AD，BD上，利用三角形面积公式构建关系式，可得结论．

【详解】

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=4，∠A=∠C=90°，AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC=60°，

∴∠ABD=∠CDB=30°，

∴BD=2AD=8，

当点P在AD上时，PE⊥BQ

S△PBQ =·BQ·PE

=•（8-2t）•（4-t）•sin60°

=（4-t）2（0＜t＜4），

当点P在线段BD上时，QE’⊥BP

S△PBQ=·BP·QE’

=[12-2(t-4)]•（t-）sin60°

=-t2+t-16（4＜t≤8），

观察图象可知，选项D满足条件，

故选：D．

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．

9、A

【解析】

【分析】

根据顶点式的顶点坐标为求解即可

【详解】

解：抛物线的顶点坐标是

故选A

【点睛】

本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．

10、C

【解析】

【分析】

将抛物线解析式变形求出点C坐标，再根据两点之间线段最短求出AB+BC的最小值即可．

【详解】

解：二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k=(x-2)(x-1+k)-2

∴函数图象一定经过点C（2，-2）

点C关于x轴对称的点的坐标为（2，2），连接，如图，

∵

∴

故选：C

【点睛】

本题主要考查了二次函数的性质，两点之间线段最短以及勾股定理等知识，明确“两点之间线段最短”是解答本题的关键．

二、填空题

1、5

【解析】

【分析】

根据抛物线解析式求出点P坐标，由直线解析式可知直线恒过点B（0，-3），当PB与直线垂直时，点P到直线的距离最大，根据两点间距离公式可出最大距离．

【详解】

解：∵

∴P（3，1）

又直线恒过点B（0，-3），如图，

∴当PB与直线垂直时，点P到直线的距离最大，

此时，

∴点P到直线的距离的最大值为5

故答案为：5．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的性质，以及点到直线间的距离，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．

2、x＝﹣1

【解析】

【分析】

抛物线的对称轴方程为： 利用公式直接计算即可.

【详解】

解：抛物线y＝x2＋2x＋的对称轴是直线：

故答案为：

【点睛】

本题考查的是抛物线的对称轴方程，掌握“抛物线的对称轴方程的公式”是解本题的关键.

3、

【解析】

【分析】

不等式﹣x2+bx+c＞mx+n的解集是二次函数在一次函数的图象上方部分x的范围；结合图形，找出二次函数图象在一次函数上面的自变量的取值就是不等式的解集．

【详解】

解：如图，

∵两函数图象相交于点A（-2，4），B（6，-2），

∴不等式﹣x2+bx+c＞mx+n的解集是．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了二次函数与不等式的关系，解答该题时，要具备很强的读图能力．

4、y＝﹣2（x﹣1）2+3

【解析】

【分析】

按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．

【详解】

解：将抛物线y＝﹣2（x+2）2+5向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+2﹣3）2+5﹣2，即y＝﹣2（x﹣1）2+3．

故答案为：y＝﹣2（x﹣1）2+3．

【点睛】

此题考查了抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，熟记规律是正确解题的关键．

5、y=（x-4）2

【解析】

【分析】

先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．

【详解】

解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），

向右平移4个单位后的图象的顶点坐标为（4，0），

所以，所得图象的解析式为y=（x-4）2，

故答案为：y=（x-4）2．

【点睛】

本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．

三、解答题

1、 (1)y＝x 2+ x﹣；

(2)（0，﹣）．

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法，把代入函数解析式即可求；

（2）令x＝0，求得y的值即可得出结论．

(1)

解：∵二次函数y＝a（x+1）2﹣2的图象经过点（﹣5，6），

∴a（﹣5+1）2﹣2＝6．

解得：a＝．

∴二次函数的表达式为：y＝（x+1）2﹣2，即y＝x 2+ x﹣；

(2)

解：令x＝0，则y＝×（0+1）2﹣2＝﹣，

∴二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣）．

【点睛】

本题主要考查了待定系数法确定抛物线的解析式，二次函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键．

2、 (1)y=-x+120；

(2)最大日利润是2025元．

【解析】

【分析】

（1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式，也可以根据关系直接写出关系式；

（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值．

(1)

解：设解析式为y=kx+b，

将（40，80）和（60，60）代入，可得，

解得：，

所以y与x的关系式为y=-x+120；

(2)

解：设公司销售该商品获得的日利润为w元，

w=（x-30）y=（x-30）（-x+120）

=-x2+150x-3600

=-（x-75）2+2025，

∵x-30≥0，-x+120≥0，

∴30≤x≤120，

∵-1＜0，

∴抛物线开口向下，函数有最大值，

∴当x=75时，w最大=2025，

答：当销售单价是75元时，最大日利润是2025元．

【点睛】

本题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目．

3、 (1)①

(2)b的取值范围是

(3)t的取值范围是或．

【解析】

【分析】

（1）根据“友好图形”分别作出抛物线，双曲线，以及圆，根据定义进行判断即可；

（2）作⊙O的两条切线，过点O作OQ⊥KL，求得的值，根据对称性即可求得的取值范围；

（3）如图5，过点E作EQ⊥AC于Q，当图形W是⊙D时，⊙D与AB相切，此时，当图形W是⊙E时，⊙E与AB相切，此时，根据的坐标可得，BAy轴，BCx轴，可得出⊙E与AC相离，进而可得图形W与△ABC有两个交点时，t的取值是，如图6，当⊙E'与AC相切时，设切点为G，连接E'G，同理得，当⊙D'与AC相切时，设切点为H，连接D'H，同理得，t的取值是．综合2种情形即可得t的取值范围

(1)

①如图1，当y＝1时，x2＝1，

∴x＝±1，∴抛物线y＝x2与线段AB有两个交点为（1，1）和（－1，1），

∴抛物线y＝x2与线段AB互为“友好图形”；

②如图2，当y＝1时，，

∴x＝1，

∴双曲线与线段AB有1个交点为（1，1），

∴抛物线与线段AB不是互为“友好图形”．

③如图3，以O为圆心1为半径的圆与线段AB有1个交点为（0，1），

∴以O为圆心1为半径的圆与线段AB不是互为“友好图形”；

故答案为：①；

(2)

如图4，作⊙O的两条切线，这两条切线与直线y=kx+b平行，过点O作OQ⊥KL，

∵OQ＝1，△OQK是等腰直角三角形，

∴，

∴b的取值范围是．

(3)

如图5，过点E作EQ⊥AC于Q，

∵，，图形W是以（t，0）为圆心，1为半径的圆，

当图形W是⊙D时，⊙D与AB相切，此时，

当图形W是⊙E时，⊙E与AB相切，此时，

∵，，，

∴BAy轴，BCx轴，

∴∠ABC＝90°，

∵AB＝4，，

∴AC＝8，

∴∠C＝30°，

∴∠AFD＝∠C＝30°，

∴，

∴，

∴，

∴⊙E与AC相离，

∴图形W与△ABC有两个交点时，t的取值是．

如图6，当⊙E'与AC相切时，设切点为G，连接E'G，

同理得，

∴，

当⊙D'与AC相切时，设切点为H，连接D'H，同理得，

∴，

∴图形W与△ABC有两个交点时，t的取值是．

综上，若图形W与△ABC互为“友好图形”，t的取值范围是或．

【点睛】

本题考查了新定义，抛物线的性质，反比例函数图象的性质，圆的切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，直线与圆的位置关系，理解题意，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．

4、 (1)AD=20米；

(2)当x=100时，S最大=5000米2．

【解析】

【分析】

（1）设AD=x，AB=(200-x)÷2=100-，根据长方形面积公式列方程，解方程，根据墙长得出AD=20米；

（2）矩形隔离区ABCD面积用S表示，根据长方形面积公式列出面积函数S=然后配方为S即可．

(1)

解：设AD=x，AB=(200-x)÷2=100-，

∴根据题意得：，

整理得，

解得：，

∵a＝30，

∴AD=20米；

(2)

解：矩形隔离区ABCD面积用S表示，

则S=，

∵a＝150＞100，

∴当x=100时，S最大=5000米2．

【点睛】

本题考查长方形面积，列一元二次方程解图形问题应用题，列二次函数解图形问题的最值问题，掌握长方形面积，列一元二次方程解图形问题应用题，列二次函数解图形问题的最值问题是解题关键．

5、 (1)，

(2)或

(3)

【解析】

【分析】

（1）对于，当时，，求得，解方程组即可得到结论；

（2）根据，，得到，连接，设的中点为，求得，，得到直线的解析式为，设，解方程即可得到结论；

（3）由（1）知，抛物线的对称轴为直线，根据轴对称的性质得到，，当，，三点共线时，最小，即最小，求得直线的解析式为，把代入即可得到结论．

(1)

解：对于，当时，，

，

抛物线为常数，交轴于点和点，

，

解得，

抛物线的解析式为；

(2)

解：，，

，

连接，设的中点为，

，，

直线的解析式为，

，

点在直线上，

设，

点是抛物线上一点，

，

解得，

点的坐标为，或，；

(3)

解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线，

点与点关于对称，点在直线上，

，，

当，，三点共线时，最小，即最小，

设直线的解析式为，

，

解得，

直线的解析式为，

把代入得，，

，

当最小时，求点的坐标．

【点睛】

本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，轴对称最短路线问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式．