初中数学第30章 二次函数综合与测试巩固练习

九年级数学下册第三十章二次函数同步测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、一次函数与二次函数的图象交点（　　）

A．只有一个 B．恰好有两个

C．可以有一个，也可以有两个 D．无交点

2、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论正确的是（       ）

A．ac＞0 B．a+b＝1 C．4ac﹣b2≠4a D．a+b+c＞0

3、已知点，，都在函数的图象上，则（       ）

A． B． C． D．

4、如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），且与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），此时抛物线与y轴交于点A′，则AA′的长度为（　　）

A．2 B．3 C．3 D．D3

5、如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（       ）

A．

B．当时，随的增大而增大

C．

D．是一元二次方程的一个根

6、某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率，第3年的销售量为台，则关于的函数解析式为（       ）

A． B．

C． D．

7、如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤若，是抛物线上两点，且，则实数的取值范围是．其中正确结论是（       ）

A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤

8、已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数图象经过点，则p的值不可能是（       ）

A．-2 B．-1 C．4 D．7

9、已知二次函数的图象上有三点，，，则、、的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

10、已知，是抛物线上的点，且，下列命题正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、二次函数的图像与x轴公共点的个数是______．

2、如果抛物线经过点A（3，6）和点B（﹣1，6），那么这条抛物线的对称轴是直线_____．

3、二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，根据图中信息可求得该二次函数的解析式为______．

4、如图，在平面直角坐标系中，，，且AC在x轴上，O为AC的中点．若抛物线与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是______．

5、二次函数的图像上横坐标与纵坐标相等的点的坐标为__________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、2022年北京冬奥会即将召开，敢起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴建立平而直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点О正上方3米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．

(1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时离水平线的高度为7米．求抛物线的函数表达式（不要求写出自变量工的取值范围）；

(2)在（1）的条件下．当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员恰好落在小山坡的B处？

2、 “互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款电子玩具，其成本为每件100元，当售价为每件160元时，每月可销售200件．为了吸引更多买家，该网店采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降低1元，则每月可多销售5件，设每件电子玩具的售价为x元（x为正整数），每月销售量为y件．

(1)直接写出y与x之间的函数关系式；

(2)设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？

(3)该网店店主决定每月从利润中捐出500元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于11500元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定该电子玩具的价格？

3、超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部分规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件，根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，设销售单价增加元，每天售出件

(1)请写出与之间的函数表达式

(2)设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？

4、已知如图，二次函数的图像与x轴相交于点A、B两点，与y轴相交于点C，连接AC、BC，，抛物线的顶点为D．

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线的对称轴上有一动点E，当取得最小值时，E点坐标为________；此时AE与BC的位置关系是________，________；

(3)抛物线对称轴右侧的函数图像上是否存在点M，满足，若存在求M点的横坐标；若不存在，请说明理由；

(4)若抛物线上一动点Q，当时，直接写出Q点坐标________．

5、如图，因疫情防控需要，某校在足够大的空地利用旧墙MN和隔离带围成一个矩形隔离区ABCD，墙长为a米，AD≤MN，矩形隔离区的一边靠墙，其它三边一共用隔离带200米．

(1)a＝30，所围成的矩形隔离区的面积为1800平方米，求所利用旧墙AD的长；

(2)若a＝150．求矩形隔离区ABCD面积的最大值．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【解析】

【分析】

联立解析式得一元二次方程，利用判根公式判断方程的根，方程根的个数即为图象的交点个数．

【详解】

解：联立一次函数和二次函数的解析式可得：

整理得：

有两个不相等的实数根

与的图象交点有两个

故选：B．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根，图象的交点与方程根的关系．解题的关键在于正确求解．

2、D

【解析】

【分析】

由抛物线开口方向及抛物线与轴交点位置，即可得出、，进而判断结论A；由抛物线顶点的横坐标可得出，进而判断结论B；由抛物线顶点的纵坐标可得出，进而判断结论C；由、，进而判断结论D．由此即可得出结论．

【详解】

解：A、抛物线开口向下，且与轴正半轴相交，

，，

，结论A错误，不符合题意；

B、抛物线顶点坐标为，，

，

，即，结论B错误，不符合题意；

C、抛物线顶点坐标为，，

，

，结论C错误，不符合题意；

D、，，

，结论D正确，符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，解题的关键是观察函数图象，逐一分析四个选项的正误．

3、C

【解析】

【分析】

把点的坐标分别代入函数解析式可分别求得、、，再比较其大小即可．

【详解】

解：点，，都在函数的图象上，

，，，

，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．

4、B

【解析】

【分析】

先运用待定系数法求出原抛物线的解析式，再根据平移不改变二次项系数，得出平移后的抛物线解析式，求出A′的坐标，进而得出AA′的长度．

【详解】

∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），

∴y＝a（x+2）2+2，

∵与y轴交于点A（0，3），

∴3＝a（0+2）2+2，解得a＝

∴原抛物线的解析式为：y＝（x+2）2+2，

∵平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），

∴平移后的抛物线为y＝（x﹣1）2﹣1，

∴当x＝0时，y＝，

∴A′的坐标为（0，），

∴AA′的长度为：3﹣（）＝3．

故选：B．

【点睛】

本题考查了平移、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．

5、D

【解析】

【分析】

根据二次函数图象的开口方向向下可得是负数，对称轴位于轴的右侧可得、异号；与轴的交点在正半轴可得是正数，根据二次函数的增减性可得选项错误，根据抛物线的对称轴结合与轴的一个交点的坐标可以求出与轴的另一交点坐标，也就是一元二次方程的根，从而得解．

【详解】

解：、根据图象，二次函数开口方向向下，则，对称轴位于轴的右侧可得、异号，即，故本选项结论错误；

B、当时，随的增大而减小，故本选项结论错误；

C、根据图象，抛物线与轴的交点在正半轴，则，故本选项结论错误；

D、抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，

设另一交点为，

，

，

另一交点坐标是，

是一元二次方程的一个根，

故本选项结论正确．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的增减性，抛物线与轴的交点问题，熟记二次函数的性质以及函数图象与系数的关系是解题的关键．

6、B

【解析】

【分析】

根据增长率问题的计算公式解答．

【详解】

解：第2年的销售量为，

第3年的销售量为，

故选：B．

【点睛】

此题考查了增长率问题的计算公式，a是前量，b是后量，x是增长率，熟记公式中各字母的意义是解题的关键．

7、C

【解析】

【分析】

根据开口方向，对称轴，以及与轴负半轴的交点位置判断的符号即可判断①，根据二次函数图象的对称性可知时的函数值与的函数值相等，进而可得，即可判断②，根据对称轴为以及顶点坐标公式即可判断③，根据二次函数图象与轴有两个交点，则，即可判断④，根据对称性可得时的函数值与时的函数值相等，进而根据抛物线的开口方向以及，即可判断，根据顶点位置的函数值最小，进而即可判断⑤

【详解】

解：∵抛物线的开口朝上，则，对称轴，可得，根据抛物线与轴交于负半轴，则

∴

故①正确；

∵二次函数的图象经过点，

则当时，

对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等，

时，

即

故②不正确

对称轴为直线，

∴，即

故③正确；

∵二次函数图象与轴有两个交点，则

即

故④错误；

对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等，

，是抛物线上两点，且，抛物线开口向上，

故⑤正确

故正确的是①③⑤

故选C

【点睛】

本题考查了二次函数图象的性质以及与各系数之间的关系，二次函数与一元一次不等式，根据图象判断方程的根的情况，二次函数的对称性，掌握二次根式图象的性质是解题的关键．

8、C

【解析】

【分析】

根据题意求得抛物线的对称轴，进而求得时，的取值范围，根据的纵坐标小于0，即可判断的范围，进而求解

【详解】

解：∵二次函数，当时，x的取值范围是，

∴，二次函数开口向下

解得，对称轴为

当时，，

经过原点，

根据函数图象可知，当，，

根据对称性可得时，

二次函数图象经过点，

或

不可能是4

故选C

【点睛】

本题考查了抛物线与一元一次不等式问题，求得抛物线的对称轴是解题的关键．

9、A

【解析】

【分析】

分别求出、、的大小，再进行判断即可．

【详解】

解：

A、故选项正确，符合题意；

B、故选项错误，不符合题意；

C、故选项错误，不符合题意；

D、故选项错误，不符合题意．

故选：A．

【点睛】

此题考查了二次函数的大小比较问题，解题的关键是掌握二次函数的性质、利用代入法求出、、的大小．

10、A

【解析】

【分析】

根据抛物线解析式可确定对称轴为，根据点与对称轴的距离的大小以及函数值的大小关系即可判断的符号，即开口方向

【详解】

解：∵的对称轴为，且

∴若，

则离对称轴远，则抛物线的开口朝下，即，故A正确

若，

则离对称轴远，则抛物线的开口朝上，即，故C不正确

对于B,D选项不能判断的符号

故选A

【点睛】

本题考查了二次函数图象的性质，掌握的性质是解题的关键．

二、填空题

1、0

【解析】

【分析】

令，得到一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式求解即可．

【详解】

令，则

二次函数的图像与x轴无公共点．

故答案为：0

【点睛】

本题考查了二次函数与轴的交点问题，转化为一元二次方程根的判别式求解是解题的关键．

2、

【解析】

【分析】

根据点，的坐标，利用二次函数的性质可求出抛物线的对称轴，此题得解．

【详解】

解：抛物线经过点和点，

抛物线的对称轴为直线．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线的对称性，找出抛物线的对称轴．

3、y=－x2－2x+3

【解析】

【分析】

根据图象与x、y轴的交点坐标和对称轴，利用待定系数法求二次函数的解析式即可．

【详解】

解：设该二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），

由图象知：当x=1时，y=0，当x=0时，y=3，又对称轴为直线x=－1，

则，解得：，

∴该二次函数的解析式为y=－x2－2x+3，

故答案为：y=－x2－2x+3．

【点睛】

本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解答的关键．

4、3≤a＜4或a≤-5

【解析】

【分析】

先确定A，B的坐标，确定直线AB的解析式，联立两个函数解析式构造一元二次方程，其判别式大于零，分a＜0和a＞0，两种情形计算即可．

【详解】

∵，，且AC在x轴上，O为AC的中点，

∴A（-1，0），B（1，2），∠BAC=45°，

∴直线AB与y轴的交点为（0，1），

设直线AB的解析式为y=kx+1，

∴-k+1=0，

解得k=1，

∴直线AB的解析式为y=x+1，

∵抛物线与线段AB有两个不同的交点，

∴x+1=有两个不相等实数根，

∴有两个不相等实数根，

∴，

解得a＜4；

当a＞0时，，

∴a≥3，

∴3≤a＜4，

当a＜0时，，

∴a≤-5，

∴3≤a＜4或a≤-5，

故答案为：3≤a＜4或a≤-5．

【点睛】

本题考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一元二次方程根的判别式，抛物线与一次函数的综合，不等式组的解法，熟练根的判别式和不等式组的解法是解题的关键．

5、、

【解析】

【分析】

设函数的图象上，横坐标与纵坐标相等的点的坐标是，则，求出的值即可．

【详解】

解：设函数的图象上，横坐标与纵坐标相等的点的坐标是，则，即，

解得．

故符合条件的点的坐标是：、．

故答案为：、．

【点睛】

本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，解题的关键是掌握即二次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．

三、解答题

1、 (1)

(2)运动员运动的水平距离为12米时，运动员恰好落在小山坡的B处

【解析】

【分析】

（1）运用待定系数法求解即可；

（2）设运动员运动的水平距离为m米时，依题意列出方程求解即可．

(1)

由题意可知抛物线过点和，将其代人得：

，

解得： ，

∴抛物线的函数表达式为：

(2)

设运动员运动的水平距离为m米时，依题意得：

整理得：，

解得： （舍去），

故运动员运动的水平距离为12米时，运动员恰好落在小山坡的B处．

【点睛】

本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．

2、 (1)y= -5x+1000

(2)当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是12500元；

(3)140元

【解析】

【分析】

（1）根据总件数=基础件数+增加件数=200+5（160-x），列出关系式即可；

（2）根据总利润=单件利润×销售件数，构造二次函数，配方法求最值即可；

（3）先根据题意，构造出符合题意的不等式，把不等式转化为一元二次方程，求得两个根，根据抛物线的性质，确定不等式的解集，结合题意，确定价格即可．

(1)

∵售价为每件160元时，每月可销售200件，销售单价每降低1元，则每月可多销售5件，

∴y=200+5（160-x）=-5x+1000．

(2)

根据题意，得w=（x-100）（-5x+1000）

= ，

∵抛物线开口向下，

∴当x=150时，w有最大值，且为12500，

此时应降价160-150=10元，

故当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是12500元．

(3)

根据题意，得-500≥11500，

当-500=11500时，

解得，，

∵抛物线w= 开口向下，

∴-500≥11500的解集为140≤x≤160，

∴让消费者得到最大的实惠，该如何确定该电子玩具的价格x=140元．

【点睛】

本题考查了销售数量与价格的关系，二次函数解决利润问题，二次函数图像与不等式解集的关系，一元二次方程的解法，熟练掌握二次函数的构造方法和性质是解题的关键．

3、 (1)

(2)当x为20时w最大，最大值是2400元

【解析】

【分析】

（1）根据“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”列函数关系式即可；

（2）根据题意得到w=，根据二次函数的性质得到当x＜30时，w随x的增大而增大，于是得到结论．

(1)

解：根据题意得，；

(2)

根据题意得，w==，

∵a=＜0，

∴当x＜30时，w随x的增大而增大，

∵40+x≤60，x≤20，

∴当x=20时，w最大=2400，

答：当x为20时w最大，最大值是2400元．

【点睛】

本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键．

4、 (1)y=x2-4x+3；

(2)（2，1）；AE⊥BC，；

(3)存在，M点的横坐标为或；

(4)Q点的坐标为(，)或(，) ．

【解析】

【分析】

（1）求得点C的坐标和点B的坐标，利用待定系数法即可求解；

（2）连接BC交对称轴于点E，此时AE+CE取得最小值，求得直线BC的解析式，即可求得E点坐标，进一步计算即可求解；

（3）分类求解，利用tan∠ACB= tan∠BAM，求得G点坐标，利用待定系数法求得直线AG的解析式，联立方程即可求解；

（4）先求得tan∠ACO=，同（3）的方法即可求解．

(1)

解：令x=0，则y=3，

∴点C的坐标为（0，3），即OC=1，

∵tan∠ABC=1，即，

∴OC=OB=1，

∴点B的坐标为（3，0），

把B（3，0）代入y=x2+bx+3得32+3b+3=0，

解得：b=-4，

∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3；

(2)

解：y=x2-4x+3=(x-2)2-1，

∴顶点D的坐标为（2，-1），对称轴为x=2，

解方程(x-2)2-1=0，得：x1=1，x2=3，

∴点A的坐标为（1，0），

连接BC交对称轴于点E，此时，AE=BE，

∴AE+CE=BE+CE=BC，

∴AE+CE的最小值为BC，

设直线BC的解析式为y=kx+3，

把B（3，0）代入y=kx+3，得：0=3k+3，

解得：k=-1，

∴直线BC的解析式为y=-x+3，

当x=2时，y=1，

∴E点坐标为（2，1），

∵AE=，BE=，AB=3-1=2，

，

∴AE2+BE2=AB2，AE=BE，

∴△AEB为等腰直角三角形，

∴AE与BC的位置关系是：AE⊥BC，

∵CE=，

∴tan∠ACE=，

故答案为：（2，1）；AE⊥BC，；

，

(3)

解：设对称轴与x轴交于点F，交AM于点G，

∵∠ACB=∠BAM，

∴tan∠ACB= tan∠BAM，

由（2）得tan∠ACE，

∴tan∠BAM=，

∵AF=OF-OA=1，

∴GF=，

∴G点坐标为（2，），

同理求得直线AG的解析式为y=x-，

解方程x-=x2-4x+3，得x1=1，x2=，

∴M点的横坐标为；

当AM在x轴下方时，

同理求得直线AG1的解析式为y=x+，

解方程x+=x2-4x+3，得x1=1，x2=，

∴M1点的横坐标为；

综上，存在，M点的横坐标为或；

，

(4)

解：∵OA=1，OC=3，

∴tan∠ACO=，

同（3）得H点坐标为（2，），

直线AQ的解析式为y=x-，

解方程x-=x2-4x+3，得x1=1，x2=，

∴Q点的坐标为(，)；

当AQ在x轴下方时，

同理求得直线AQ1的解析式为y=x+，

解方程x+=x2-4x+3，得x1=1，x2=，

∴Q1点的坐标为(，)；

综上，Q点的坐标为(，)或(，)．

,

【点睛】

本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、解直角三角形等，要注意分类求解，避免遗漏．

5、 (1)AD=20米；

(2)当x=100时，S最大=5000米2．

【解析】

【分析】

（1）设AD=x，AB=(200-x)÷2=100-，根据长方形面积公式列方程，解方程，根据墙长得出AD=20米；

（2）矩形隔离区ABCD面积用S表示，根据长方形面积公式列出面积函数S=然后配方为S即可．

(1)

解：设AD=x，AB=(200-x)÷2=100-，

∴根据题意得：，

整理得，

解得：，

∵a＝30，

∴AD=20米；

(2)

解：矩形隔离区ABCD面积用S表示，

则S=，

∵a＝150＞100，

∴当x=100时，S最大=5000米2．

【点睛】

本题考查长方形面积，列一元二次方程解图形问题应用题，列二次函数解图形问题的最值问题，掌握长方形面积，列一元二次方程解图形问题应用题，列二次函数解图形问题的最值问题是解题关键．