冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试练习题

这是一份冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试练习题，共28页。试卷主要包含了二次函数图像的顶点坐标是，二次函数y＝a+bx+c等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数章节练习 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知二次函数的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2、二次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（       ）A． B．C． D．3、一次函数与二次函数的图象交点（　　）A．只有一个 B．恰好有两个C．可以有一个，也可以有两个 D．无交点4、如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（       ）A．米 B．10米 C．米 D．12米5、二次函数图像的顶点坐标是（       ）A．（0，－2） B．（－2，0） C．（2，0） D．（0，2）6、已知二次函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，则下列命题中正确的是（       ）A．若a＝1，函数图象经过点(－1，1) B．若a＝－2，函数图象与x轴交于两点C．若a＜0，函数图象的顶点在x轴下方 D．若a＞0且x≥1，则y随x增大而减小7、二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x＞0时，函数值y的取值范围是（　　）A． B．y≤2 C．y＜2 D．y≤38、若函数，则当函数y=15时，自变量的值是（     ）A． B．5 C．或5 D．5或9、二次函数y＝a+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0，④4a-2b+c＞0；其中正确结论的个数是（　　）A．4 B．3 C．2 D．110、将函数的图像向上平移1个单位，向左平移2个单位，则所得函数表达式是（       ）A． B．C． D．第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在东京奥运会跳水比赛中，中国小花全红婵的表现，令人印象深刻．在正常情况下，跳水运动员进行10米跳台训练时，必须在距水面5米之前完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易出现失误．假设某运动员起跳后第t秒离水面的高度为h米，且．那么为了避免出现失误，这名运动员最多有_____秒时间，完成规定的翻腾动作．2、二次函数的对称轴是________．3、二次函数的图像与x轴公共点的个数是______．4、对于二次函数与，其自变量与函数值的两组对应值如下表所示，根据二次函数图象的相关性质可知______，______x﹣1ccd 5、已知多项式除以的余数分别为，则除以所得余式的最大值为_________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离路面的距离为．(1)求抛物线的函数表达式；(2)一大型货车装载设备后高为，宽为．如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？2、如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，点是拋物线在轴上方，对称轴右侧上的一个动点，设点D的横坐标为m．连接AC，BC，，DC．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当△BCD的面积与△AOC的面积和为时，求m的值；(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，为顶点的四边形是平行四边形．请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图，已知抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点．(1)求抛物线的表达式；(2)若M是抛物线上点A，C之间（含点A，C）的一个动点，直接写出点M的纵坐标的取值范围．(3)平移直线，设平移后的直线为l，记l与y轴的交点为，若l与上方的抛物线有唯一交点，求m的取值范围．4、在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)，直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝a+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．(1)判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；(2)求a，b的值；(3)平移抛物线y＝a+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．5、借鉴我们已有研究函数的经验，探索函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图像与性质，研究过程如下，请补充完整．(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣2﹣101234…y…m03n305…其中，m＝　 　，n＝　 　；(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图像；(3)观察函数图像：①写出该函数的一条性质 　 　；②已知函数y＝x＋4的图像如图所示根据函数图像，直接写出不等式x＋4＜|x2﹣2x﹣3|的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） -参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．【详解】解：抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2-4ac>0，故①是错误的；由图象可知，当x=-1时，y=a-b+c>0，因此③是错误的；由开口方向可得，a>0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，因此b<0，与y轴交点在负半轴，因此c<0，所有abc>0，因此②正确的；由关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有两个不相等的实数根，就是当y=m时，对应抛物线上有两个不同的点，即（x1，m），（x2，m），由图象可知此时m>-2因此④正确的，综上所述，正确的有2个，故选：B．【点睛】考查二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．2、D【解析】【分析】根据二次函数图象性质解题．【详解】解：A.由图可知，二次函数图象的对称轴为：x=1，即，故A不符合题意；B.二次函数图象与y轴交于负半轴，即c<0，故B不符合题意；C.由图象可知，当x=1时，y=，故C不符合题意，D.由图象的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），当x=-2时，，，故D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．3、B【解析】【分析】联立解析式得一元二次方程，利用判根公式判断方程的根，方程根的个数即为图象的交点个数．【详解】解：联立一次函数和二次函数的解析式可得：整理得：有两个不相等的实数根与的图象交点有两个故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，图象的交点与方程根的关系．解题的关键在于正确求解．4、B【解析】【分析】以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，由此可得A（-10，-4），B（10，-4），即可求函数解析式，再将y=-1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长．【详解】以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，∵O点到水面AB的距离为4米，∴A、B点的纵坐标为-4，∵水面AB宽为20米，∴A（-10，-4），B（10，-4），将A代入y=ax2，-4=100a，∴，∴，∵水位上升3米就达到警戒水位CD，∴C点的纵坐标为-1，∴∴x=±5，∴CD=10，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的应用，根据题意建立合适的直角坐标系，在该坐标系下求二次函数的解析式是解题的关键．5、C【解析】【分析】直接利用顶点式写出二次函数的顶点坐标即可得到正确的选项．【详解】解：抛物线的顶点坐标为，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解二次函数的顶点式，难度不大．6、B【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质逐项分析即可．【详解】A、当a=1，x=-1时，，故函数图象经过点(－1，2)，不经过点(－1，1)，故命题错误；B、a＝－2时，函数为，令y=0，即，由于，所以方程有两个不相等的实数根，从而函数图象与x轴有两个不同的交点，故命题正确；C、当a<0时， ，其顶点坐标为，当a=−1时，顶点坐标为(1，0 )，在x轴上，故命题错误；D、由于，抛物线的对称轴为直线x=1，当a＞0且x≥1时，y随x增大而增大，故命题错误．故选：B【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．7、A【解析】【分析】根据待定系数求解析式，进而求得顶点坐标，即的最大值，进而即可求得答案【详解】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为，与轴的交点为，与轴的一个交点为，∴另一交点为设抛物线解析式为，将点代入得解得抛物线解析式为则顶点坐标为当x＞0时，函数值y的取值范围是故选A【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，化为顶点式是解题的关键．8、D【解析】【分析】根据题意，利用分类讨论的方法可以求得当函数y=15时，自变量x的值．【详解】解：当x＜3时，令2x2-3=15，解得x=-3；当x≥3时，令3x=15，解得x=5；由上可得，x的值是-3或5，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．9、B【解析】【分析】看抛物线与x轴交点个数，判定判别式的符号；根据抛物线开口方向，对称轴与x轴的交点位置，与y轴的交点位置，确定a，b，c的符号；根据对称轴，确定a，b之间的关系；当x= -2时，利用图像，观察直线x=-2与抛物线的交点位置，判定函数值的正负即可．【详解】∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴﹣4ac＞0；故①正确；∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，＞0，∴a＜0，b＞0， c＞0，∴abc＜0；故②正确；∵，∴4a+b＝0，故③正确；x= -2时，y=4a-2b+c，根据函数的增减性，得4a-2b+c＜0；故④错误.故选B．【点睛】本题考查了抛物线的图像与各项系数的关系，抛物线与x轴的交点，对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．10、B【解析】【分析】由二次函数图象平移的规律即可求得平移后的解析式，再选择即可．【详解】解：将抛物线先向上平移1个单位，则函数解析式变为 再将向左平移2个单位，则函数解析式变为，故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．二、填空题1、##1.5【解析】【分析】根据题意，令，解一元二次方程求解即可．【详解】依题意整理得即解得（不符合题意，舍）故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意将代入关系式是解题的关键．2、直线【解析】【分析】抛物线的对称轴为直线 根据抛物线的顶点式可直接得到答案.【详解】解：二次函数的对称轴是直线（或轴）故答案为：直线【点睛】本题考查的是二次函数的对称轴方程，掌握“抛物线的顶点式”是解本题的关键.3、0【解析】【分析】令，得到一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】令，则二次函数的图像与x轴无公共点．故答案为：0【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点问题，转化为一元二次方程根的判别式求解是解题的关键．4、     1     3【解析】【分析】根据二次函数的性质可知m=1，将d用含c的式子表示出来即可．【详解】解由二次函数的性质可得的对称轴为y轴，故由表可得，∴m=1；∵二次函数的对称轴为y轴，∴d=c+3，∴3，故答案为：1，3．【点睛】此题考查二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5、5【解析】【分析】先根据已知得出，再设，从而可得一个关于的方程组，解方程组可得的值，然后利用二次函数的性质即可得出答案．【详解】解：多项式除以的余数为1，，当时，，同理可得：，设除以所得商式为，余式为（因为除式是三次的，所以余式至多是二次的），则，因此有，解得，所以余式为，由二次函数的性质得：当时，余式取得最大值，最大值为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了多项式的除法、二次函数的性质等知识点，正确设出余式的一般形式是解题关键．三、解答题1、 (1)(2)这辆货车能安全通过，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意得： ， ，抛物线的顶点坐标为点 ，从而得到点 ，设抛物线的函数表达式为 ，把点代入，即可求解；（2）根据题意得：当 时， ，即可求解．(1)解：∴ ，设抛物线的函数表达式为 ，∴ ，解得： ，∴抛物线的函数表达式为；(2)解：这辆货车能安全通过，理由如下：根据题意得：当 时， ，∴这辆货车能安全通过．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键．2、 (1)(2)m＝(3)存在，M点的坐标为或或或．【解析】【分析】（1）把，代入中进行求解即可；（2）如图，连接，求解对称轴为， 由题意可知，，，结合，与，利用即可得到答案；（3）由（2）得：D点为，再分两种情况讨论，①当BD是平行四边形的一条边时， 如图，当在轴的上方时，由平行四边形的性质与抛物线的性质可得关于抛物线的对称轴对称，重合， 设点， 如图，当在轴的下方时，由平行四边形对角线中点坐标相同得到，， 解方程求解，可得，；②如图，当BD是平行四边形的对角线时， 则，同理可得关于抛物线的对称轴对称，从而可得 从而可得答案．(1)（1）把，代入：，解得：∴抛物线表达式为：；(2)如图，连接，∵抛物线解析式为：，且抛物线与y轴交于点C∴抛物线的对称轴为， ∴OC=4，∵点D的横坐标为m，∴，∵，，∴AO=1，BO=2，∴又∵∴， 解得：，，当时，点在对称轴上，不合题意，舍去，所以取，综上，；(3)当时，D点为， ①当BD是平行四边形的一条边时， 如图，当在轴的上方时，由平行四边形可得，关于抛物线的对称轴对称， 重合， 如图，当在轴的下方时，设点， ，∴，（平行四边形对角线中点坐标相同），∴，解得或∴或，∴或； ②如图，当BD是平行四边形的对角线时， 则， ∴，关于抛物线的对称轴对称，， 综上，点的坐标为： 或或或．【点睛】主要考查了二次函数的综合，二次函数的性质，平行四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．3、 (1)；(2)；(3)-1<m<3或．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）将函数解析式化为顶点式，得到抛物线的顶点坐标，即可得到的取值范围；（3）利用待定系数法求出直线AC的解析式，得到直线l的解析式为y=-x+m，求出点B的坐标，由此得到当直线l与BC段相交时，m的取值范围；解，求出当时m的值，由此得到m的取值范围．(1)解：将点、代入中，得，解得，∴抛物线的表达式为；(2)解：∵，M是抛物线上点A，C之间（含点A，C）的一个动点，,∴抛物线的顶点坐标为（1,4），∴点M的纵坐标的取值范围为；(3)解：设直线AC的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线AC的解析式为y=-x+3，∵设平移后的直线为l，记l与y轴的交点为，∴直线l的解析式为y=-x+m，∵抛物线的对称轴为直线x=1，点A（3,0），∴B（-1,0），将点B坐标代入y=-x+m，得m=-1，当直线l与BC段相交时，m的取值范围是-1<m<3；当直线l与AC段相交时，则，整理得，当时，得；综上，若l与上方的抛物线有唯一交点，m的取值范围为-1<m<3或．【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，将一般式解析式化为顶点式，直线的平移，一元二次方程的判别式，图象交点问题，综合掌握一次函数与二次函数的知识是解题的关键．4、 (1)在，见解析(2)a＝﹣1，b＝2(3)当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为【解析】【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B（2，3）在直线y＝x+m上；（2）因为直线经过A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；（3）设平移后的抛物线为y＝﹣+px+q，其顶点坐标为（，），根据题意得出=，由抛物线y＝﹣+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q=-=，从而得出q的最大值．(1)点B是在直线y＝x+m上，理由如下：∵直线y＝x+m经过点A（1，2），∴2＝1+m，解得m＝1，∴直线为y＝x+1，把x＝2代入y＝x+1得y＝3，∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；(2)∵直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），且B、C两点的横坐标相同，∴抛物线只能经过A、C两点，把A（1，2），C（2，1）代入y＝a+bx+1得，解得a＝﹣1，b＝2；(3)由（2）知，抛物线为y＝﹣+2x+1，设平移后的抛物线为y＝﹣+px+q，∴顶点坐标为（，），∵其顶点仍在直线y＝x+1上，∴=，∴q=-=， ∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．【点睛】本题考查了图像与点的关系，待定系数法确定函数解析式，配方法求二次函数最值，熟练掌握待定系数法，灵活配方求最值是解题的关键．5、 (1)5，4(2)见解析(3)①图象具有对称性，对称轴是直线x=1；②x＜-1.6或x＞4.3【解析】【分析】（1）把x=-2和x=1分别代入y=|x2-2x-3|，即可求得；（2）描点、连线画出图象即可；（3）①根据图象即可求得；②根据图象即可求得．【小题1】解：把x=-2代入y=|x2-2x-3|，得y=5，∴m=5，把x=1代入y=|x2-2x-3|，得y=4，∴n=4，故答案为：5，4；【小题2】如图所示；【小题3】①函数的性质：图象具有对称性，对称轴是直线x=1；故答案为：图象具有对称性，对称轴是直线x=1；②由图象可知，不等式x+4＜|x2-2x-3|的解集为x＜-1.6或x＞4.3．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一次不等式，注意利用数形结合的思想是解此题的关键．