2021学年第30章 二次函数综合与测试达标测试

这是一份2021学年第30章 二次函数综合与测试达标测试，共31页。试卷主要包含了若二次函数y＝a等内容，欢迎下载使用。

九年级数学下册第三十章二次函数定向攻克
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．，， B．，， C．，， D．，，
2、若二次函数y=-x2+mx在-2≤x≤1时的最大值为5，则m的值是（　 　）
A．或6 B．或6 C．或6 D．或
3、二次函数y＝ax2﹣4ax＋c（a＞0）的图象过A（﹣2，y1），B（0，y2），C（3，y3），D（5，y4）四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0
C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0
4、已知二次函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，则下列命题中正确的是（ ）
A．若a＝1，函数图象经过点(－1，1) B．若a＝－2，函数图象与x轴交于两点
C．若a＜0，函数图象的顶点在x轴下方 D．若a＞0且x≥1，则y随x增大而减小
5、某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率，第3年的销售量为台，则关于的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6、如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤若，是抛物线上两点，且，则实数的取值范围是．其中正确结论是（ ）

A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤
7、如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），且与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），此时抛物线与y轴交于点A′，则AA′的长度为（　　）

A．2 B．3 C．3 D．D3
8、若二次函数y＝a（x＋b）2＋c（a≠0）的图象，经过平移后可与y＝（x＋3）2的图象完全重合，则a，b，c的值可能为（ ）
A．a＝1，b＝0，c＝﹣2 B．a＝2，b＝6，c＝0
C．a＝﹣1，b＝﹣3，c＝0 D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣2
9、将二次函数y=2x2的图像先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的函数图像的表达式为（ 　）
A．y=2(x+2)2+3 B．y=2(x-2)2+3 C．y=2(x+2)2-3 D．y=2(x-2)2-3
10、如图，若二次函敞的图象过点，且与x轴交点横坐标分别为，，其中，．得出结论：①；②；③；④．上述结论正确的有（ ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、将二次函数的图象先向左平移2个单位， 再向下平移5个单位， 则最终所得图象的函数表达式是____________.
2、已知二次函数y1＝x2－2x＋b的图象过点(－2，5)，另有直线y2＝5，则符合条件y1＞y2的x的范围是________．
3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a、k为常数）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，CD∥x轴，与抛物线交于点D．若点A的坐标为（﹣1，0），则线段OB与线段CD的长度和为_____．

4、如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD为12米时，球移动的水平距离PD为9米．已知山坡PA的坡度为1：2（即），洞口A离点P的水平距离PC为12米，则小明这一杆球移动到洞口A正上方时离洞口A的距离AE为______米．

5、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ．则线段OQ的最大值是______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线AB交于A、B两点，A（1，-），B（-2，0），其中点A是抛物线y=ax2+bx+c的顶点，交y轴于点D．

(1)求二次函数解析式；
(2)如图1，点P是第四象限抛物线上一点，且满足BP∥AD，抛物线交x轴于点C．M为直线AB下方抛物线上一点，过点M作PC的平行线交BP于点N，求MN最大值；
(3)如图2，点Q是抛物线第三象限上一点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正方形BEFQ，当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标．
2、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2－2ax＋4（a＞0）．

(1)抛物线的对称轴为x＝　 ；抛物线与y轴的交点坐标为　 ；
(2)若抛物线的顶点恰好在x轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式；
(3)若A（m－1，y1），B（m，y2），C（m＋2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，结合图象，求m的取值范围．
3、某商场一种商品的进价为每件元，售价为每件元．每天可以销售件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，求两次下降的百分率；
(2)经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得最大利润，每件售价应多少元?最大利润是多少?
4、已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C(0，3)，其对称轴是直线x＝1，点P是抛物线上第一象限内的点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交BC于点D，且点P的横坐标为m．

(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)如图1，PE⊥BC，垂足为E，当DE＝BD时，求m的值；
(3)如图2，连接AP，交BC于点H，则的最大值是 ．
5、已知二次函数的图像经过点（1，4）和点（2，3）．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求该二次函数图像的顶点坐标．
(3)当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？

-参考答案-
一、单选题
1、D
【解析】
【分析】
首先根据二次函数图象的开口方向确定，再根据对称轴在轴右，可确定与异号，然后再根据二次函数与轴的交点可以确定．
【详解】
解：抛物线开口向上，
，
对称轴在轴右侧，
与异号，
，
抛物线与轴交于正半轴，
，
故选：．
【点睛】
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握二次函数，
①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．
当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．
②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．
当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）
③．常数项决定抛物线与轴交点． 抛物线与轴交于．
2、C
【解析】
【分析】
表示出对称轴，分三种情况，找出关于m的方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：∵y=-x2+mx，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x=-，
①当≤-2，即m≤-4时，当x=-2时，函数最大值为5，
∴-(-2)2-2m=5，
解得：m=-；
②当≥1，即m≥2时，当x=1时，函数最大值为5，
∴-12+m=5，
解得：m=6．
③当-2＜＜1，即-4＜m＜2时，当x=时，函数最大值为5，
∴-()2+m•=5
解得m=2（舍去）或m=-2（舍去），
综上所述，m=-或6，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值、解一元二次方程，解题的关键是：分三种情况，找出关于m的方程．
3、C
【解析】
【分析】
根据函数表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而得到y3＜y2＜y4＜y1，再结合题目一一判断即可．
【详解】
解：由函数表达式可知：函数图像开口向上，对称轴为直线x==2，
∵-2＜0＜2＜3＜5，
∴y3＜y2＜y4＜y1，
若y1y2＞0，则y3y4＞0或y3y4＜0，选项A不符合题意，
若y1y4＞0，则y2y3＞0或y2y3＜0，选项B不符合题意，
若y2y4＜0，则y1y3＜0，选项C符合题意，
若y3y4＜0，则y1y2＜0或y1y2＞0，选项D不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
4、B
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质逐项分析即可．
【详解】
A、当a=1，x=-1时，，故函数图象经过点(－1，2)，不经过点(－1，1)，故命题错误；
B、a＝－2时，函数为，令y=0，即，由于，所以方程有两个不相等的实数根，从而函数图象与x轴有两个不同的交点，故命题正确；
C、当a<0时， ，其顶点坐标为，当a=−1时，顶点坐标为(1，0 )，在x轴上，故命题错误；
D、由于，抛物线的对称轴为直线x=1，当a＞0且x≥1时，y随x增大而增大，故命题错误．
故选：B
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．
5、B
【解析】
【分析】
根据增长率问题的计算公式解答．
【详解】
解：第2年的销售量为，
第3年的销售量为，
故选：B．
【点睛】
此题考查了增长率问题的计算公式，a是前量，b是后量，x是增长率，熟记公式中各字母的意义是解题的关键．
6、C
【解析】
【分析】
根据开口方向，对称轴，以及与轴负半轴的交点位置判断的符号即可判断①，根据二次函数图象的对称性可知时的函数值与的函数值相等，进而可得，即可判断②，根据对称轴为以及顶点坐标公式即可判断③，根据二次函数图象与轴有两个交点，则，即可判断④，根据对称性可得时的函数值与时的函数值相等，进而根据抛物线的开口方向以及，即可判断，根据顶点位置的函数值最小，进而即可判断⑤
【详解】
解：∵抛物线的开口朝上，则，对称轴，可得，根据抛物线与轴交于负半轴，则
∴
故①正确；
∵二次函数的图象经过点，
则当时，
对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等，
时，
即
故②不正确
对称轴为直线，
∴，即
故③正确；
∵二次函数图象与轴有两个交点，则
即
故④错误；
对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等，

，是抛物线上两点，且，抛物线开口向上，

故⑤正确
故正确的是①③⑤
故选C
【点睛】
本题考查了二次函数图象的性质以及与各系数之间的关系，二次函数与一元一次不等式，根据图象判断方程的根的情况，二次函数的对称性，掌握二次根式图象的性质是解题的关键．
7、B
【解析】
【分析】
先运用待定系数法求出原抛物线的解析式，再根据平移不改变二次项系数，得出平移后的抛物线解析式，求出A′的坐标，进而得出AA′的长度．
【详解】
∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），
∴y＝a（x+2）2+2，
∵与y轴交于点A（0，3），
∴3＝a（0+2）2+2，解得a＝
∴原抛物线的解析式为：y＝（x+2）2+2，
∵平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），
∴平移后的抛物线为y＝（x﹣1）2﹣1，
∴当x＝0时，y＝，
∴A′的坐标为（0，），
∴AA′的长度为：3﹣（）＝3．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平移、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．
8、A
【解析】
【分析】
根据二次函数的平移性质得出a不发生变化，即可判断a=1．
【详解】
解：∵二次函数y=a（x+b）2+c的图形，经过平移后可与y=（x+3）2的图形完全叠合，
∴a=1．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的平移性质，根据已知得出a的值不变是解题关键．
9、A
【解析】
【分析】
按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
【详解】
解：抛物线y=2x2先向左平移2个单位得到解析式：y=2（x+2）2，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y=2（x+2）2+3．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
10、C
【解析】
【分析】
由二次函数的图象开口向上，轴对称在轴的左侧，图象与轴交于负半轴，可判断①，二次函敞的图象过点，结合图象可得：在抛物线上，再求解抛物线的对称轴可判断②，二次函敞的顶点坐标为：可判断③，先利用时的函数值求解的取值范围，从而可判断④，从而可得答案.
【详解】
解：由二次函数的图象开口向上，轴对称在轴的左侧，图象与轴交于负半轴，

故①符合题意；
二次函敞的图象过点，结合图象可得：
在抛物线上，
抛物线的对称轴为：


故②符合题意；
二次函敞的顶点坐标为：结合图象可得：
而

故③不符合题意；
当时，


又由图象可得：时，

解得：

故④符合题意；
综上：符合题意的有：①②④
故选C
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的图象与性质判断代数式的符号”是解本题的关键.
二、填空题
1、
【解析】
【分析】
按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式．
【详解】
解：由题意得，最终所得图象的函数表达式是=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k (a，b，c为常数，a≠0)，确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本题的关键．
2、x<−2或x>4## x＞4或x＜-2
【解析】
【分析】
先根据抛物线经过点（-2，5），求出函数解析式，再求出抛物线的对称轴，根据函数的对称性，找到抛物线经过另一点（4，5），从而得出结论．
【详解】
解：∵二次函数y1=x2-2x+b的图象过点（-2，5），
∴5=（-2）2-2×（-2）+b，
解得：b=-3，
∴二次函数解析式y1=x2-2x-3，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=-=1，
∴抛物线过点（4，5），
∴符合条件y1＞y2的x的范围是x＜-2或x＞4．
故答案为：x＜-2或x＞4．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式（组），关键是对二次函数的图象与性质的掌握和应用．
3、5
【解析】
【分析】
先求出抛物线y= a(x-1)2+k（a、k为常数）的对称轴，然后根据A和B、C和D均关于对称轴直线x=1对称，分别求出B和D点的坐标，即可求出OB和CD的长．
【详解】
解：∵抛物线y=a(x-1)2+k（a、k为常数），
∴对称轴为直线x=1，
∵点A和点B关于直线x=1对称，且点A(-1，0)，
∴点B(3，0)，
∴OB=3，
∵C点和D点关于x=1对称，且点C(0，a+k)，
∴点D(2，a+k)，
∴CD=2，
∴线段OB与线段CD的长度和为5，
故答案为5．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与与坐标轴交点的知识，解答本题的关键求出抛物线y=a(x-1)2+k（a、k为常数）的对称轴为x=1，此题难度不大．
4、##
【解析】
【分析】
分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求抛物线的解析式，在Rt△PAC中，利用PA的坡度为1：2求出AC的长度，把点A的横坐标x=12代入抛物线解析式，求出CE，最后利用AE=CE-AC得出结果．
【详解】
解：以P为原点，PC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，

可知：顶点B（9，12），抛物线经过原点，
设抛物线的解析式为y=a（x-9）2+12，
将点P（0，0）的坐标代入可得：0=a（0-9）2+12，求得a＝−，
故抛物线的解析式为：y=-(x−9)²+12，
∵PC=12，=1：2，
∴点C的坐标为（12，0），AC＝6，
即可得点A的坐标为(12，6)，
当x=12时，y＝−(12−9)²+12＝=CE，
∵E在A的正上方，
∴AE=CE-AC=-6=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用及解直角三角形的知识，涉及了待定系数法求函数解析式的知识，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．
5、
【解析】
【分析】
连接PB，当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，而OQ是△ABP的中位线，即可求解．
【详解】
令，则x＝±4，
故点B（4，0），
∴OB=4
设圆的半径为r，则r＝2，
连接PB，如图，
∵点Q、O分别为AP、AB的中点，
∴OQ是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OQ最大，
∵C（0，3）
∴OC=3
在Rt△OBC中，由勾股定理得：
则，
故答案为3.5．

【点睛】
本题考查了抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识，连接PB并运用三角形中位线定理是本题的关键和难点．
三、解答题
1、 (1)y=x2-x-4；
(2)MN的最大值为；
(3)点Q的坐标为：（2-，1-）或（1-，-3）．
【解析】
【分析】
（1）设抛物线为顶点式，用待定系数法求得函数解析式；
（2）先用两点间距离公式求得PC的长，再利用相似三角形将MN用含ME的式子表示，并把MN表示成关于M点横坐标的二次函数，从而求得MN的最大值；
（3）先设出点Q的坐标，再利用三角形全等用含点Q横坐标的式子表示E、F的坐标，最后根据点E、F在抛物线对称轴上时横坐标为1求出点Q的横坐标，进而求得点Q的坐标．
(1)
解：∵点A（1，-）是抛物线y=ax2+bx+c的顶点，
∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-，
由于抛物线经过点B（-2，0），
∴a（-2-1）2-=0，
解得：a=，
∴二次函数的解析式为y=（x-1）2-=x2-x-4；
(2)
解：令x=0，则y=x2-x-4=4，
∴D点坐标为（0，-4），
设直线AD的函数解析式为y=kx-4，
把点A（1，-）代入得：-=k-4，
∴k=-，
∴直线AD的函数解析式为y=-x-4，
由于BP∥AD，故可设直线BP的函数解析式为：y=-x+b1，
又直线BP经过点B（-2，0），得：-×（-2）+ b1=0，
解得：b1=-1，
从而BP的解析式为y=-x-1，
解方程组，得：或，
∴该直线与抛物线的交点P的坐标为（3，-），
令y=0，则x2-x-4=0，
解得：．
∴点C（4，0），
∴PC=，
过点M作ME∥x轴交直线BP于点E，

设点M的坐标为（m，n），则点E的纵坐标为n，
∴点E的横坐标为-2n-2，
∴ME=-2n-2-m，
∵ME∥BC，MN∥PC，
∴∠E=∠PBC，∠MNE=∠BPC，
∴△MNE∽△CPB，
∴，
∴

，
∴当m=时，MN有最大值；
(3)
解：设点Q的坐标为（a，b），过点Q作QM∥x轴，过点B作BM∥y轴，交QM于点M，过点F作FN∥y轴交QM于点N，过点E作EK∥x轴交BM于点K，

∴△BMQ≌△QNF≌△EKB，
∴NF=KB=MQ=|a+2|，QN=EK=BM=|b|，
∴点F的坐标为（a-b，a+b+2），
点E的坐标为（-2-b，a+2），
当点F在抛物线的对称轴上时，a-b=1，
∴a-（a2-a-4）=1，
解得：a=2-（舍去正值），
得点Q的坐标为（2-，1-），
当点E在抛物线的对称轴上时，-2-b=1，
∴-2-（a2-a-4）=1，
解得：a=1-（舍去正值），
得点Q的坐标为（1-，-3）．
故点Q的坐标为：（2-，1-）或（1-，-3）．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质及与相似三角形、正方形的综合，其中设出抛物线上一个点的坐标，根据条件表示出其它点或线段，再利用相应的知识点解决相关问题．
2、 (1)1，（0，4）
(2)顶点坐标为（1，0），y＝4x2－8x＋4
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数对称轴公式，以及与y轴的交点坐标公式；
（2）根据二次函数与x轴交点公式，以及待定系数法求解析式；
（3）先求对称点坐标根据函数的增减性解决本题．
(1)
解：，
当x＝0时，y＝ax2－2ax＋4＝4，
所以抛物线的对称轴是直线x＝1，抛物线与y轴的交点坐标是（0，4），
故答案为：1，（0，4）．
(2)
解：∵抛物线的顶点恰好在x轴上，
∴抛物线的顶点坐标为（1，0），
把（1，0）代入y＝ax2－2ax＋4得：0＝a×12－2a×1＋4，
解得：a＝4，
∴抛物线的解析式为y＝4x2－8x＋4．
(3)
解：A（m－1，y1）关于对称轴x＝1的对称点为A′（3－m，y1），
B（m，y2）关于对称轴x＝1的对称点为B′（2－m，y2），
若要y1＞y3＞y2，则3－m＞m＋2＞2－m，解得：．
【点睛】
本题考查二次函数图像求对称轴公式，以及与x轴，y轴的交点公式，以及函数的增减性，掌握数形结合的思想是解决本题的关键．
3、 (1)
(2)售价为元时，可获最大利润元
【解析】
【分析】
（1）设每次降价的百分率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解；
（2）设降价元，利润为元，根据题意列出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质即可求解．
(1)
设每次降价的百分率为，由题意得
，
（不符合题意，舍去），
答：该商品连续两次下降的百分率为；
(2)
设降价元，利润为元，由题意得
S=(50-30-m)(48+8m)

，
，即售价为元时，可获最大利润元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，以及二次函数的应用，解决本题的关键是根据题目中的等量关系列出方程和二次函数关系式．
4、 (1)
(2)m=2
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据对称轴是直线x=1，利用二次函数对称轴方程可求出b，再根据抛物线与y轴的交点坐标C（0，3）可求出c，即可求出二次函数解析式；
（2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，可得OB=OC，继而得出△OBC是等腰直角三角形，由PQ⊥OB，PE⊥BC，可得△DQB和△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BQ=DQ，BD=，DE=PD，由P的横坐标是m，用含m表示出DE、BD的长，再根据DE=BD列方程求解；
（3）过点A作垂直x轴直线交BC与点G，先直线BC解析式，再求AG，由 PQ⊥OB，AG⊥OB，可得 PQ∥AG，继而可得△PDH∽△AHG，由相似三角形的性质可得，再根据二次函数求最值求解即可
(1)
将C （0，3）代入y=-x2+bx+c可得c=3，
∵对称轴是直线x=1，
∴=1，即-=l，解得b=2，
∴二次函数解析式为y=-x2+2x+3；
(2)
令解得，
∴A(-1，0)，B（3，0），
∴OB=3，
∵OC=3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，BC=，
∵PQ⊥OB，PE⊥BC，
∴∠PQB=∠PED=90°，
∴∠QDB=∠PDE=∠OBC=45°，
∴△DQB和△PED是等腰直角三角形，
∴BQ=DQ，BD=，DE=，
∵P点横坐标是m，且在抛物线上，
∴PQ=，OQ=m，
∴BQ=DQ=3-m，BD=，
∴PD=PQ-DQ=，DE=，
∵DE＝BD，
∴，
解得：（舍去），
∴m=2
(3)
过点A作x轴的垂线交BC于点G，

设直线BC的解析式为：y=kx+b，
将B（3，0），C（0，3）代入，可得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
∵A（-1，0），
∴G（-1，4），
∴AG=4，
∴PQ⊥OB，AG⊥OB，
∴PQ∥AG，
∴△PDH∽△AHG，
∴，
∴当a=时，有最大值，最大值是．
故答案为：
【点睛】
本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数最值问题，相似三角形的性质与判定等知识，第（3）问将比例转化是解题关键．
5、 (1)
(2)
(3)当时，y随x的增大而减小
【解析】
【分析】
（1）将点（1，4）和（2，3）代入中，得，进行计算即可得；
（2）将配方得，即可得；
（3）根据二次函数的性质得即可得．
(1)
解：将点（1，4）和（2，3）代入中，得

解得
则该二次函数表达式为．
(2)
解：
配方得：，
则顶点坐标为（1，4）．
(3)
解：根据二次函数的性质得，当时，y随x的增大而减小．
【点睛】
本题考查了二次函数，解题的关键是掌握二次函数的性质．