初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试同步训练题

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九年级数学下册第三十章二次函数难点解析 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），且与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），此时抛物线与y轴交于点A′，则AA′的长度为（　　）A．2 B．3 C．3 D．D32、已知二次函数的图象经过，，则b的值为（       ）A．2 B． C．4 D．3、一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）A． B．C． D．4、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①x＞0时，y随x的增大而增大；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④关于x的方程ax2+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根．其中，所有正确结论的序号为（　　）A．②③ B．②④ C．①②③ D．②③④5、已知点，，都在函数的图象上，则（       ）A． B． C． D．6、将函数的图像向上平移1个单位，向左平移2个单位，则所得函数表达式是（       ）A． B．C． D．7、已知二次函数y＝x2﹣2x+m，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）（x1＜x2）是图象上两点，下列结论正确的是（　　）A．若x1+x2＜2，则y1＞y2 B．若x1+x2＞2，则y1＞y2C．若x1+x2＜﹣2，则y1＜y2 D．若x1+x2＞﹣2，则y1＞y28、如图，在矩形ABCD中，，，动点P沿折线运动到点B，同时动点Q沿折线运动到点C，点P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（       ）A． B．C． D．9、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论正确的是（       ）A．ac＞0 B．a+b＝1 C．4ac﹣b2≠4a D．a+b+c＞010、若二次函数y＝a（x＋b）2＋c（a≠0）的图象，经过平移后可与y＝（x＋3）2的图象完全重合，则a，b，c的值可能为（       ）A．a＝1，b＝0，c＝﹣2 B．a＝2，b＝6，c＝0C．a＝﹣1，b＝﹣3，c＝0 D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣2第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为________．2、二次函数的图像的顶点在轴上，则的值为__________．3、将抛物线y＝﹣2（x+2）2+5向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为 _____．4、已知二次函数，当自变量x分别取1、4、5时，对应的函数值分别为，，，则，，的大小关系是________（用“＜”号连接）．5、将二次函数的图象先向左平移2个单位， 再向下平移5个单位， 则最终所得图象的函数表达式是____________.三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、生态水果是指在保护、改善农业生态环境的前提下，遵循生态学、生态经济学规律，运用现代科学技术，营养的、健康的水果．青岛市扶贫工作小组对李沧、胶州、即墨等多地果农进行精准投资建设，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了．批发销售总额比去年增加了20%(1)已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？(2)今年某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克．设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时该水果店一天的利润最大（利润计算时，其它费用忽略不计，并且售价为整数）2、某政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可看作一次函数：，已知当销售单价定为25元时，李明每月获得利润为1250元．(1)求的值；(2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？并求最大利润是多少？（注：利润=（销售单价-进价）×销售量）3、如图，二次函数（m是实数，且）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C，已知点D位于第一象限，且在对称轴上，，点E在x轴的正半轴上，．连接ED并延长交y轴于点F，连接AF．(1)求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）；(2)已知点Q在抛物线的对称轴上，当的周长的最小值等于，求m的值．4、如图，正比例函数y1=x与二次函数y2=x2-bx的图象相交于O（0，0），A（4，4）两点．(1)求 b 的值；(2)当 y1 y2 时，直接写出 x 的取值范围．5、如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．点P是线段BC上的动点（点P不与点B，C重合），连结AP并延长AP交抛物线于另一点Q，连结CQ，BQ，设点Q的横坐标为x．(1)①写出A，B，C的坐标：A（       ），B（       ），C（       ）；②求证：是直角三角形；(2)记的面积为S，求S关于x的函数表达式；(3)在点P的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由． -参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】先运用待定系数法求出原抛物线的解析式，再根据平移不改变二次项系数，得出平移后的抛物线解析式，求出A′的坐标，进而得出AA′的长度．【详解】∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），∴y＝a（x+2）2+2，∵与y轴交于点A（0，3），∴3＝a（0+2）2+2，解得a＝ ∴原抛物线的解析式为：y＝（x+2）2+2，∵平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），∴平移后的抛物线为y＝（x﹣1）2﹣1，∴当x＝0时，y＝，∴A′的坐标为（0，），∴AA′的长度为：3﹣（）＝3．故选：B．【点睛】本题考查了平移、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．2、C【解析】【分析】由二次函数的图象经过，，可得二次函数图象的对称轴为 再结合对称轴方程的公式列方程求解即可.【详解】解： 二次函数的图象经过，， 二次函数图象的对称轴为： 解得： 故选C【点睛】本题考查的是二次函数的对称轴方程，掌握“利用纵坐标相等的两个点求解对称轴方程”是解本题的关键.3、C【解析】【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．【详解】A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能；B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，B不可能；C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不可能．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限．4、D【解析】【分析】根据二次函数的图象及性质即可判断．【详解】解：由函数图象可知，抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（3，0），∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故①错误；∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②正确；当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③正确；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴﹣a＞c，∴直线y＝﹣a与抛物线y＝ax2+x+c有2个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c＝﹣a有两个不相等的实数根，即关于a的方程ax2+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根，故④正确；正确的有②③④，故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系，本题属于中等题型．5、C【解析】【分析】把点的坐标分别代入函数解析式可分别求得、、，再比较其大小即可．【详解】解：点，，都在函数的图象上，，，，，故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．6、B【解析】【分析】由二次函数图象平移的规律即可求得平移后的解析式，再选择即可．【详解】解：将抛物线先向上平移1个单位，则函数解析式变为 再将向左平移2个单位，则函数解析式变为，故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．7、A【解析】【分析】由二次函数y＝x2﹣2x+m可知对称轴为x＝1，当x1+x2＜2时，点A与点B在对称轴的左边，或点A在左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离小，再结合抛物线开口方向，即可判断．【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，∵x1＜x2，∴当x1+x2＜2时，点A与点B在对称轴的左边，或点A在左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大，∴y1＞y2，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，灵活应用x1+x2与2的关系确定点A、点B与对称轴的关系是解决本题的关键．8、D【解析】【分析】分别求出点P在AD，BD上，利用三角形面积公式构建关系式，可得结论．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=4，∠A=∠C=90°，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠CDB=30°，∴BD=2AD=8，当点P在AD上时，PE⊥BQS△PBQ =·BQ·PE=•（8-2t）•（4-t）•sin60°=（4-t）2（0＜t＜4），当点P在线段BD上时，QE’⊥BPS△PBQ=·BP·QE’=[12-2(t-4)]•（t-）sin60°=-t2+t-16（4＜t≤8），观察图象可知，选项D满足条件，故选：D．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．9、D【解析】【分析】由抛物线开口方向及抛物线与轴交点位置，即可得出、，进而判断结论A；由抛物线顶点的横坐标可得出，进而判断结论B；由抛物线顶点的纵坐标可得出，进而判断结论C；由、，进而判断结论D．由此即可得出结论．【详解】解：A、抛物线开口向下，且与轴正半轴相交，，，，结论A错误，不符合题意；B、抛物线顶点坐标为，，，，即，结论B错误，不符合题意；C、抛物线顶点坐标为，，，，结论C错误，不符合题意；D、，，，结论D正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，解题的关键是观察函数图象，逐一分析四个选项的正误．10、A【解析】【分析】根据二次函数的平移性质得出a不发生变化，即可判断a=1．【详解】解：∵二次函数y=a（x+b）2+c的图形，经过平移后可与y=（x+3）2的图形完全叠合，∴a=1．故选：A．【点睛】此题主要考查了二次函数的平移性质，根据已知得出a的值不变是解题关键．二、填空题1、【解析】【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移原则进行解答即可．【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为故答案为：（或）【点睛】本题考查了二次函数的平移，掌握函数平移规律是解题的关键．2、【解析】【分析】顶点在x轴上，即纵坐标为0．利用顶点坐标公式即可求出m的值．【详解】解：∵抛物线y=2x2-4x+3m的顶点在x轴上，∴，∴m=．故答案为．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-），应熟练掌握．3、y＝﹣2（x﹣1）2+3【解析】【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．【详解】解：将抛物线y＝﹣2（x+2）2+5向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+2﹣3）2+5﹣2，即y＝﹣2（x﹣1）2+3．故答案为：y＝﹣2（x﹣1）2+3．【点睛】此题考查了抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，熟记规律是正确解题的关键．4、y1＜y2＜y3【解析】【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可分别求出y1，y2，y3的值，结合a＞0，即可得出a+c＜4a+c＜9a+c，即y1＜y2＜y3．【详解】解：当x=1时，y1=a（1-2）2+c=a+c；当x=4时，y2=a（4-2）2+c=4a+c；当x=5时，y3=a（5-2）2+c=9a+c．∵a＞0，∴a+c＜4a+c＜9a+c，∴y1＜y2＜y3．故答案为：y1＜y2＜y3．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征，分别求出y1，y2，y3的值是解题的关键．5、【解析】【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式．【详解】解：由题意得，最终所得图象的函数表达式是=，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k (a，b，c为常数，a≠0)，确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本题的关键．三、解答题1、 (1)24元；(2)当m=35时，w最大=7260元．【解析】【分析】（1）设去年这种水果的批发价为x元/千克，今年的销量-去年的销量=1000列方程解方程即可；（2）设每千克的平均销售价为m元，根据总利润=每千克利润×销量列函数关系式w=(m-24)(300+)配方为顶点式，利用函数性质求即即可．(1)解：设去年这种水果的批发价为x元/千克，根据题意得：，整理得：3000-2400=24x，解得x=25，经检验符合题意，元；(2)解：设每千克的平均销售价为m元，w=(m-24)(300+)，=，=，∵a=-60＜0，抛物线开口向下，函数有最大值，当m=35时，w最大=7260元．【点睛】本题考查列分式方程解应用题，列二次函数解应用题，掌握列分式方程解应用题的方法与步骤，列二次函数解应用题方法是解题关键．2、 (1)的值是500；(2)当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元【解析】【分析】（1）根据利润=（销售单价-进价）×销售量列方程求解即可；（2）根据利润=（销售单价-进价）×销售量得到w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．(1)解：由题意可得，，解得：，答：的值是500；(2)解：设利润为w元，由题意：，，∵-10<0，∴时，取得最大值，此时， 答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元．【点睛】本题考查一元一次方程的应用、二次函数的实际应用，理解题意，根据等量关系正确得到一元一次方程和函数关系式是解答的关键．3、 (1)，，(2)【解析】【分析】（1）把代入函数解析式，可得，再利用因式分解法解方程可得的坐标，再求解函数的对称轴，可得的坐标；（2）先证明，利用相似三角形的性质求解，利用三角形的中位线定理再求解．再利用勾股定理求解，如图，当点、、三点共线时，的长最小，此时的周长最小．可得．再利用勾股定理列方程，解方程可得答案．(1)令 则， ∴，，∴对称轴为直线，∴．(2)在中， ，∴∠ODC=∠CBD， ， ，． ．∵轴，轴，∴．∵，∴．∴．在中，，∴，即．（负根舍去）∵点与点关于对称轴对称，∴．∴如图，当点、、三点共线时，的长最小，此时的周长最小．∴的周长的最小值为，∴的长最小值为，即．∵，∴．∴．∵，∴．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图象的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，根据对称性求最值，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．4、 (1)(2)或【解析】【分析】（1）将点A（4，4）代入进行解答即可得；（2）由图像即可得．(1)解：将点A（4，4）代入得，解得．(2)解：由图像可知，当或时，．【点睛】本题考查了正比函数，二次函数，解题的关键是掌握正比函数的性质和二次函数的性质．5、 (1)①-1，0；4，0；0，-2；②见解析(2)(3)存在，当时，最大，最大为.【解析】【分析】（1）①分别令即可求得抛物线与坐标轴的交点坐标；②根据点的坐标，分别求得进而勾股定理逆定理即可证明；（2）连接OQ，设点Q的坐标为，进而根据进行求解即可；（3）过点Q作于点H，证明，由（2）可得，进而列出关于的关系式，根据二次函数的性质求最值即可(1)①由，令，则，令，即解得，，故答案为：-1，0；4，0；0，-2； ②证明：∵，，∴，，∴∴是．(2)连接OQ，如图所示设点Q的坐标为(3)过点Q作于点H，如图所示∴∵∴∴当时，最大，最大为．【点睛】本题考查了二次函数坐标轴的交点问题，相似三角形的性质与判定，二次函数求面积问题，二次函数的最值问题，熟练运用以上知识是解题的关键．