冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试当堂检测题

这是一份冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试当堂检测题，共32页。试卷主要包含了抛物线的对称轴是等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数专项测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、已知二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜4 B．a≤4 C．a＜4且a≠0 D．a≤4且a≠0
2、如图，若二次函敞的图象过点，且与x轴交点横坐标分别为，，其中，．得出结论：①；②；③；④．上述结论正确的有（ ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
3、如图，在矩形ABCD中，，，动点P沿折线运动到点B，同时动点Q沿折线运动到点C，点P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）

A． B．
C． D．
4、在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象大致如图（　　）
A． B．
C． D．
5、抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
6、二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表：

…
－3
－2
－1
0
1
…

…
－11
－3
1
1
－3
…
对于下列结论：①二次函数的图像开口向下；②当时，随的增大而减小；③二次函数的最大值是1；④若，是二次函数图像与轴交点的横坐标，则，其中，正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②④
7、抛物线的函数表达式为，若将y轴向左平移3个单位长度，将x轴向下平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
8、已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．无法确定
9、二次函数 的图像如图所示， 现有以下结论： （1） ： （2） ； （3）， （4） ； （5） ； 其中正确的结论有（ ）

A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个．
10、如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），且与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），此时抛物线与y轴交于点A′，则AA′的长度为（　　）

A．2 B．3 C．3 D．D3
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在平面直角坐标系中，，，且AC在x轴上，O为AC的中点．若抛物线与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是______．

2、如果抛物线的顶点在轴上，那么的值是_________．
3、将抛物线向右平移4个单位，所得到的抛物线的函数解析式是________．
4、某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为______．
5、二次函数的图像上横坐标与纵坐标相等的点的坐标为__________．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、已知二次函数的图像经过点，，．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为，则以，，，为顶点的四边形的面积为__________；
(3)将二次函数的图像向左平移个单位后恰好经过坐标原点，则的值为__________．
2、一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系．

(1)求抛物线的表达式；
(2)一辆货车高4m，宽2.4m，能否从该隧道内通过，为什么？
3、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2)若点P在第二象限内，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？判断此时△ABP的形状，并证明你的结论．
(3)在（2）的前提下，有一动点Q在抛物线上运动（线段AB的下方），当Q点运动到什么位置时，△ABQ的面积等于△ABP的面积．
4、如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线（）图象经过，，三点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)是抛物线对称轴上的一点，当的值最小时，求点坐标；
(3)若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值．
5、已知抛物线经过点，与y轴交于点C，连接．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线上方抛物线上取一点P，过点P作轴交边于点Q，求的最大值；
(3)在直线上方抛物线上取一点D，连接．交于点F，当时，求点D的坐标．

-参考答案-
一、单选题
1、D
【解析】
【分析】
由二次函数的定义得a≠0，再由二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点得到Δ≥0，解不等式即可．
【详解】
解：∵二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，
∴Δ＝42﹣4a×1≥0，且a≠0，
解得：a≤4，且a≠0．
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与x轴的交点，关键是Δ＝b2−4ac决定抛物线与x轴交点的个数．
2、C
【解析】
【分析】
由二次函数的图象开口向上，轴对称在轴的左侧，图象与轴交于负半轴，可判断①，二次函敞的图象过点，结合图象可得：在抛物线上，再求解抛物线的对称轴可判断②，二次函敞的顶点坐标为：可判断③，先利用时的函数值求解的取值范围，从而可判断④，从而可得答案.
【详解】
解：由二次函数的图象开口向上，轴对称在轴的左侧，图象与轴交于负半轴，

故①符合题意；
二次函敞的图象过点，结合图象可得：
在抛物线上，
抛物线的对称轴为：


故②符合题意；
二次函敞的顶点坐标为：结合图象可得：
而

故③不符合题意；
当时，


又由图象可得：时，

解得：

故④符合题意；
综上：符合题意的有：①②④
故选C
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的图象与性质判断代数式的符号”是解本题的关键.
3、D
【解析】
【分析】
分别求出点P在AD，BD上，利用三角形面积公式构建关系式，可得结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，∠A=∠C=90°，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠CDB=30°，
∴BD=2AD=8，
当点P在AD上时，PE⊥BQ

S△PBQ =·BQ·PE
=•（8-2t）•（4-t）•sin60°
=（4-t）2（0＜t＜4），
当点P在线段BD上时，QE’⊥BP

S△PBQ=·BP·QE’
=[12-2(t-4)]•（t-）sin60°
=-t2+t-16（4＜t≤8），
观察图象可知，选项D满足条件，
故选：D．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．
4、B
【解析】
【分析】
分别利用函数解析式分析图象得出答案．
【详解】
解：A、二次函数开口向下，k＜0；一次函数图象经过第一、三象限，k＞0，故此选项错误；
B、两函数图象符合题意；
C、二次函数开口向上，k＞0；一次函数图象经过第二、四象限，k＜0，故此选项错误；
D、一次函数解析式为：y=kx-2，图象应该与y轴交在负半轴上，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，正确得出k的符号是解题关键．
5、C
【解析】
【分析】
抛物线的对称轴为：，根据公式直接计算即可得．
【详解】
解：，
其中：，，，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴的公式是解本题的关键，注意对称轴是直线．
6、A
【解析】
【分析】
根据待定系数法确定函数解析式，再根据函数的图象与性质求解即可．
【详解】
解：把（-1，1），（1，-3），（-2，-3）代入，得

解得，
∴二次函数式为：
∵
∴二次函数的图像开口向下，故①正确；
∵
∴对称轴为直线
∴当时，随的增大而减小，故②正确；
当时，二次函数的最大值是，故③错误；
若，是二次函数图像与轴交点的横坐标，则，故④错误
∴正确的是①②
故答案为①②
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7、C
【解析】
【分析】
此题可以转化为求将抛物线“向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度”后所得抛物线解析式，将抛物线直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【详解】
解：∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴将抛物线向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度后得到的抛物线顶点坐标为 ，
∴将抛物线向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度后得到的抛物线的解析式为，
∴将y轴向左平移3个单位长度，将x轴向下平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为．
故选：C
【点睛】
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律——左加右减，上加下减是解题关键．
8、C
【解析】
【分析】
分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；
【详解】
当a＞0时，∵对称轴为x=，
当x=1时，y有最小值为2，当x=3时，y有最大值为4a+2，
∴4a+2-2=4．
∴a=1，
当a＜0时，同理可得
y有最大值为2； y有最小值为4a+2，
∴2-(4a+2)=4，
∴a=-1，
综上，a的值为
故选：C
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键．
9、C
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：（1）∵函数开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的右边，∴，∴b＞0，故命题正确；
（2）∵a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故命题正确；
（3）∵当x=-1时，y＜0，∴a-b+c＜0，故命题错误；
（4）∵当x=1时，y>0，∴a+b+c>0，故命题正确；
（5）∵抛物线与x轴于两个交点，∴b2-4ac＞0，故命题正确；
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
10、B
【解析】
【分析】
先运用待定系数法求出原抛物线的解析式，再根据平移不改变二次项系数，得出平移后的抛物线解析式，求出A′的坐标，进而得出AA′的长度．
【详解】
∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），
∴y＝a（x+2）2+2，
∵与y轴交于点A（0，3），
∴3＝a（0+2）2+2，解得a＝
∴原抛物线的解析式为：y＝（x+2）2+2，
∵平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），
∴平移后的抛物线为y＝（x﹣1）2﹣1，
∴当x＝0时，y＝，
∴A′的坐标为（0，），
∴AA′的长度为：3﹣（）＝3．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平移、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．
二、填空题
1、3≤a＜4或a≤-5
【解析】
【分析】
先确定A，B的坐标，确定直线AB的解析式，联立两个函数解析式构造一元二次方程，其判别式大于零，分a＜0和a＞0，两种情形计算即可．
【详解】
∵，，且AC在x轴上，O为AC的中点，
∴A（-1，0），B（1，2），∠BAC=45°，
∴直线AB与y轴的交点为（0，1），
设直线AB的解析式为y=kx+1，
∴-k+1=0，
解得k=1，
∴直线AB的解析式为y=x+1，
∵抛物线与线段AB有两个不同的交点，
∴x+1=有两个不相等实数根，
∴有两个不相等实数根，
∴，
解得a＜4；
当a＞0时，，
∴a≥3，
∴3≤a＜4，
当a＜0时，，
∴a≤-5，
∴3≤a＜4或a≤-5，
故答案为：3≤a＜4或a≤-5．
【点睛】
本题考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一元二次方程根的判别式，抛物线与一次函数的综合，不等式组的解法，熟练根的判别式和不等式组的解法是解题的关键．
2、2
【解析】
【分析】
把二次函数一般式转化为顶点式，求出其顶点坐标，再根据顶点在x轴上确定其纵坐标为0，进而求出m的值．
【详解】
解：∵，
∴二次函数顶点坐标为．
∵顶点在x轴上，
∴，
∴m=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查二次函数的一般式转化为顶点式的方法和坐标轴上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题关键．
3、y=（x-4）2
【解析】
【分析】
先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．
【详解】
解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），
向右平移4个单位后的图象的顶点坐标为（4，0），
所以，所得图象的解析式为y=（x-4）2，
故答案为：y=（x-4）2．
【点睛】
本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．
4、
【解析】
【分析】
某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，月平均增长率为x，则九月份的产量为万件，十月份医用防护服的产量为万件，从而可得答案.
【详解】
解：十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为

故答案为：
【点睛】
本题考查的是列二次函数关系式，掌握“两次变化后的量=原来量（1+增长率）2”是解本题的关键.
5、、
【解析】
【分析】
设函数的图象上，横坐标与纵坐标相等的点的坐标是，则，求出的值即可．
【详解】
解：设函数的图象上，横坐标与纵坐标相等的点的坐标是，则，即，
解得．
故符合条件的点的坐标是：、．
故答案为：、．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，解题的关键是掌握即二次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
三、解答题
1、 (1)
(2)18
(3)1或5
【解析】
【分析】
（1）把点，，代入二次函数解析式：y=ax2+bx+c，求出即可；
（2）分别求出A、B、C、P四点的坐标．利用S四边形ACBP=S△ABP+S△ABC进行计算；
（3）观察抛物线的图像可直接得到结果．
(1)
解：（1）设二次函数的表达式为（，，为常数，），
由题意知，该函数图象经过点，，，得
，
解得，
∴二次函数的表达式为.
(2)
解：∵
当y=0时，
解得：x1=1，x2=5
∴点A坐标为(1，0)、点B坐标为(5，0)；
当x=0时，y=-5，
∴点C坐标为(0，-5)；
把化为y=-(x-3)2+4
∴点P坐标为(3，4)；
由题意可画图如下：

∴S四边形ACBP=S△ABP+S△ABC
=
＝18，
故答案是：18；
(3)
由图像知：将抛物线向左平移1个单位长度或5个单位长度，抛物线经过原点．
故：m=1或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：二次函数的解析式可设为一般式、顶点式或交点式．也考查了二次函数的性质．解题的关键是掌握数形结合能力．
2、 (1)
(2)货车可以通过，说明见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标（4，6），设抛物线的解析式为，将A点坐标代入求解a的值，进而得到抛物线的表达式；
（2）令y=4，代入解析式，得到方程的两根，比较与2.4的大小即可判断货车是否可以通过．
(1)
解：由题意可知，抛物线的顶点坐标（4，6）
设抛物线的解析式为
又∵点A（0，2）在抛物线上
∴
解得
∴抛物线的表达式为：．
(2)
解：令y=4，则有
解得，
∵
∴货车可以通过．
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式与应用．解题的关键在于适当的设二次函数解析式的形式．
3、 (1)，C（1，0）；
(2)△ABP的形状为直角三角形，见解析；
(3)Q的坐标为（﹣2+2，﹣2+2）或（﹣2﹣2，﹣2﹣2）
【解析】
【分析】
（1）先通过直线求得与坐标轴的交点，然后应用待定系数法即可求得抛物线的解析式，进而求得抛物线与x轴的交点．
（2）设出D的坐标（t，0），根据已知表示点E、P的坐标，根据PD⊥x轴即可求得线段PE关于t的解析式，配方即可得最大值，再算出此时的△ABP的三边即可得知其形状．
（3）过P作AB的平行线l，通过平移得到直线l关于线段AB对称的直线l'，再求得l'与抛物线交点即可得Q的坐标．
(1)
解：如图1，

∵直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x+4，
令y＝0，则﹣x2﹣3x+4＝0，
解得x＝﹣4或x＝1，
∴C（1，0）；
(2)
解：如图2，

设D（t，0），
∴E（t，t+4），P（t，﹣t2﹣3t+4），
∴PE＝﹣t2﹣3t+4﹣t﹣4＝﹣（t+2）2+4，
∴当t＝﹣2时，线段PE有最大值是4，此时P（﹣2，6）；
△ABP的形状为直角三角形，
证明：∵AP2＝（﹣2+4）2+（6﹣0）2＝40，BA2＝（﹣4﹣0）2+（0﹣4）2＝32，BP2＝（﹣2﹣0）2+（6﹣4）2＝8，
∴BA2+BP2＝AP2，
∴△ABP的形状为直角三角形；
(3)
解：如图，过P作AB的平行线l，

设直线l的解析式为：y＝x+m，
代入（﹣2，6），得：6＝﹣2+m，
解得：m＝8，即直线l：y＝x+8，
∵直线AB：y＝x+4，直线l：y＝x+8，
∴将直线l向下平移8个单位即可得到直线l关于线段AB对称的直线l'，
∴直线l'：y＝x，
令y＝x＝﹣x2﹣3x+4，
解得：x＝﹣2+2或﹣2﹣2，
∴Q的坐标为（﹣2+2，﹣2+2）或（﹣2﹣2，﹣2﹣2）．
【点睛】
此题是一次函数与二次函数的综合题，考查了求一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，勾股定理的逆定理，二次函数的最值，一次函数的平移规律，一次函数与二次函数交点坐标，此题综合性比较强，较基础，综合掌握各知识点并应用是解题的关键．
4、 (1)；
(2)（）；
(3)点P（2，-6），PD最大值为
【解析】
【分析】
（1）根据点B的坐标，得出OB的长，进而根据即可得到OA、OC的长，利用待定系数法求出函数解析式；
（2）利用配方法求出抛物线的对称轴，连接AC，交对称轴于一点即为点M，此时的值最小，求出直线AC的解析式，当时求出y的值即可得到点M的坐标；
（3）过点P作PH平行于y轴，交AC于点H，根据等腰直角三角形的性质求出∠OAC=∠OCA=45°，根据平行线的性质求出∠PHD=∠OCA=45°，设点P（x，），则点H（x，x-4），根据正弦函数定义得到，根据函数的性质得解问题．
(1)
解：∵点的坐标为，
∴OB=1，
∵，
∴OA=OC=4，
∴点A的坐标为（4,0），点C的坐标为(0,-4),
将点A、B、C的坐标代入中，得
，解得，
∴抛物线的解析式为；
(2)
解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接AC，交对称轴于一点即为点M，此时的值最小，
设直线AC的解析式为，
∴，解得，
∴直线AC的解析式为y=x-4，
当时，，
∴点M的坐标为（）；
(3)
解：过点P作PH平行于y轴，交AC于点H，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴∠PHD=∠OCA=45°，
设点P（x，），则点H（x，x-4），
∴，
∵，
∴PD有最大值，当x=2时，PD最大值为，
此时点P（2，-6）．
．
【点睛】
此题考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线的对称轴，化一般式为顶点式，最短路径问题，二次函数的性质，锐角三角函数，正确掌握抛物线的各知识点是解题的关键，这是一道二次函数与一次函数的综合题．
5、 (1)
(2)
(3)（1，4）或（2，3）
【解析】
【分析】
（1）根据题意待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据二次函数解析式求得点得到坐标，进而求得直线的解析式，设P点坐标为，则Q点坐标为，进而表示出的长，根据二次函数的性质求得最大值即可；
（3）过点D作BC的平行线交x轴于G，交y轴于E，根据∆COF与∆CDF共高，面积比转化为底边比，求得,根据平行线分线段成比例求得，进而求得的长，即可求得的坐标，根据一次函数的平移可得直线EG解析式为：y= -x+5，联立直线与抛物线解析式，即可求得点的坐标
(1)
抛物线经过点，

解得
抛物线的解析式为：
(2)
抛物线的解析式为：
令，则


设直线的解析式为
则
解得
直线BC的解析式为：
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，设P点坐标为，

则Q点坐标为，
则


∴PQ的最大值是．
(3)
∵∆COF与∆CDF共高，面积比转化为底边比，
OF：DF=S△COF：S△CDF＝3：2
过点D作BC的平行线交x轴于G，交y轴于E，
根据平行线分线段成比例，
OF：FD=OC：CE=3：2

∵OC=3，
∴OE=5，
∴E（0，5）
∴直线EG解析式为：y= -x+5
联立方程，得：
解得：，
则点D的坐标为（1，4）或（2，3）；
【点睛】
本题考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数的性质求最值，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．