初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试同步练习题

九年级数学下册第三十章二次函数定向训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别为－1和5，则二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是（       ）

A．x＝－3 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝3

2、将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（       ）

A． B． C． D．

3、函数向左平移个单位后其图象恰好经过坐标原点，则的值为（       ）

A． B． C．3 D．或3

4、如图，若二次函敞的图象过点，且与x轴交点横坐标分别为，，其中，．得出结论：①；②；③；④．上述结论正确的有（       ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

5、已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则（　　）

A．b＞0，c＞0，Δ＝0 B．b＜0，c＞0，Δ＝0

C．b＜0，c＜0，Δ＝0 D．b＞0，c＞0，Δ＞0

6、对于抛物线下列说法正确的是（       ）

A．开口向下 B．其最大值为-2 C．顶点坐标 D．与x轴有交点

7、下列二次函数的图象中，顶点在第二象限的是（       ）

A． B．

C． D．

8、已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论错误的是（       ）

A． B． C． D．

9、已知二次函数的图象经过，，则b的值为（       ）

A．2 B． C．4 D．

10、二次函数y＝ax2+bx+c的图像全部在x轴的上方，下列判断中正确的是（       ）

A．a＜0，c＜0 B．a＜0，c＞0 C．a＞0，c＜0 D．a＞0，c＞0

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、定义：直线y=ax+b(a≠0)称作抛物线y=ax2+bx(a≠0)的关联直线． 根据定义回答以下问题：

(1)已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)的关联直线为y=x+2， 则该抛物线的顶点坐标为_________；

(2)当a=1时， 请写出抛物线y=ax2+bx与其关联直线所共有的特征（写出一条即可）：___________________________________．

2、若将二次函数y＝x2﹣2x+3配方为y＝（x﹣h）2+k的形式，则y＝___________．

3、二次函数 y  2x21 的图象开口方向______．（填“向上”或“向下”）

4、已知抛物线，将其图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则得到的抛物线解析式为________．

5、已知二次函数的图象顶点坐标是，还经过点，它的图象与轴交于、两点，则线段的长为______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．点P是线段BC上的动点（点P不与点B，C重合），连结AP并延长AP交抛物线于另一点Q，连结CQ，BQ，设点Q的横坐标为x．

(1)①写出A，B，C的坐标：A（       ），B（       ），C（       ）；

②求证：是直角三角形；

(2)记的面积为S，求S关于x的函数表达式；

(3)在点P的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．

2、已知二次函数y＝x2－2x－3的图象为抛物线C．

(1)写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(2)当2≤x≤4时，求该二次函数的函数值y的取值范围；

(3)将抛物线C先向右平移2个单位长度，得到抛物线C1；再将抛物线C1向下平移1个单位长度，得到抛物线C2，请直接写出抛物线C1，C2对应的函数解析式．

3、某商店销售甲、乙两种礼品，每件利润分别为20元、10元，每天卖出件数分别为40件、80件．为适应市场需求，该店决定降低甲种礼品的售价，同时提高乙种礼品的售价．售卖时发现，甲种礼品单价每降1元可多卖4件，乙种礼品单价每提高1元就少卖2件．若每天两种礼品共卖出140件，则每天销售的最大利润是多少？

(1)分析：设甲种礼品每件降低了x元，填写表格（用含x的式子表示，并化简）；

(2)解答：           

4、已知二次函数（a、b、c是常数，）中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

(1)求该二次函数的表达式；

(2)该二次函数图像关于y轴对称的图像所对应的函数表达式是______．

5、二次函数（、、是常数，）的自变量和函数值部分对应值如下表：

根据以上列表，回答下列问题：

(1)直接写出、的值；

(2)求此二次函数的解析式．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

一元二次方程的两个根分别是和5，则二次函数图象与轴的交点坐标为、，根据函数的对称性即可求解．

【详解】

解：一元二次方程的两个根分别是和5，

则二次函数图象与轴的交点坐标为、，

根据函数的对称性，函数的对称轴为直线，

故选：C．

【点睛】

本题考查抛物线与轴的交点与对称轴的关系，解题的关键是掌握若抛物线与轴交点的横坐标为和，则抛物线的对称轴为．

2、B

【解析】

【分析】

由题意知，平移后的抛物线解析式为，将各选项中的横坐标代入，求出纵坐标并与各选项的纵坐标比较，纵坐标相同的即为正确答案．

【详解】

解：由题意知，平移后的抛物线解析式为

将代入解析式得，与A中点坐标不同，故不符合要求；

将代入解析式得，与B中点坐标相同，故符合要求；

将代入解析式得，与C中点坐标不同，故不符合要求；

将代入解析式得，与D中点坐标不同，故不符合要求；

故选B．

【点睛】

本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于写出平移后的二次函数解析式．

3、C

【解析】

【分析】

把函数解析式整理成顶点式形式，再根据向左平移横坐标减表示出平移后的抛物线解析式，再把原点的坐标代入计算即可得解．

【详解】

解：，

向左平移个单位后的函数解析式为，

函数图象经过坐标原点，

，

解得．

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化求解更加简便，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．

4、C

【解析】

【分析】

由二次函数的图象开口向上，轴对称在轴的左侧，图象与轴交于负半轴，可判断①，二次函敞的图象过点，结合图象可得：在抛物线上，再求解抛物线的对称轴可判断②，二次函敞的顶点坐标为：可判断③，先利用时的函数值求解的取值范围，从而可判断④，从而可得答案.

【详解】

解：由二次函数的图象开口向上，轴对称在轴的左侧，图象与轴交于负半轴，

故①符合题意；

二次函敞的图象过点，结合图象可得：

在抛物线上，

抛物线的对称轴为：

故②符合题意；

二次函敞的顶点坐标为：结合图象可得：

而

故③不符合题意；

当时，

又由图象可得：时，

解得：

故④符合题意；

综上：符合题意的有：①②④

故选C

【点睛】

本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的图象与性质判断代数式的符号”是解本题的关键.

5、B

【解析】

【分析】

根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定b的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定△的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案．

【详解】

解：∵抛物线的开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，

∴＞0，

∴b＜0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，

∴c＞0，

∵抛物线与x轴有一个交点，

∴Δ=0，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与系数的关系，牢记抛物线的对称轴公式．

6、D

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质对各选项分析判断即可得解．

【详解】

解：由y=（x-1）2-2，可知，a=1＞0，则抛物线的开口向上，

∴A选项不正确；

由抛物线，可知其最小值为-2，∴B选项不正确；

由抛物线，可知其顶点坐标，∴C选项不正确；

在抛物线中，△=b²-4ac=8>0，与与x轴有交点，∴D选项正确；

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，掌握开口方向，对称轴、顶点坐标以及与x轴的交点坐标的求法是解决问题的关键．

7、C

【解析】

【分析】

根据二次函数的顶点式求得顶点坐标，即可判断．

【详解】

解：A．二次函数的顶点为（1，3），在第一象限，不合题意；

B．二次函数的顶点为（1，﹣3），在第四象限，不合题意；

C．二次函数的顶点为（﹣1，3），在第二象限，符合题意；

D．二次函数的顶点为（﹣1，﹣3），在第三象限，不合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查二次函数的图象、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

8、B

【解析】

【分析】

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【详解】

解：A、函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故A正确，不符合题意；

B、函数的对称轴为：x＝−＝1，故2a+b＝0，即，图象与x轴交于点A（−1，0），

故当时，，即，故B错误，符合题意；

C、图象与x轴交于点A（−1，0），其对称轴为直线x＝1，则图象与x轴另外一个交点坐标为：（3，0），故当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＞0，故C正确，不符合题意；

D、图象与x轴另外一个交点坐标为：（3，0），即x＝3时，y＝9a＋3b＋c＝0，正确，不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．

9、C

【解析】

【分析】

由二次函数的图象经过，，可得二次函数图象的对称轴为 再结合对称轴方程的公式列方程求解即可.

【详解】

解： 二次函数的图象经过，，

二次函数图象的对称轴为：

解得：

故选C

【点睛】

本题考查的是二次函数的对称轴方程，掌握“利用纵坐标相等的两个点求解对称轴方程”是解本题的关键.

10、D

【解析】

【分析】

由抛物线全部在轴的上方，即可得出抛物线与轴无交点且，进而即可得出、，此题得解．

【详解】

解：二次函数的图象全部在轴的上方，

，，

，

，

．

，．

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的性质．

二、填空题

1、     （-1，-1）     （1，1+b）．

【解析】

【分析】

（1）由关联直线的定义可求得a和b的值，可求得抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；

（2）由关联直线的定义可求得关联直线解析式，可写出其共有特征．

【详解】

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）的关联直线为y=x+2，

∴a=1，b=2，

∴抛物线解析式为y=x2+2x=（x+1）2-1，

∴抛物线顶点坐标为（-1，-1），

故答案为：（-1，-1）；

（2）当a=1时，抛物线解析式为y=x2+bx，则关联直线解析式为y=x+b，

∴当x=1时，函数值都为1+b，

∴抛物线及其关联直线都过点（1，1+b），

故答案为：过点（1，1+b）．

【点睛】

本题主要考查二次函数的性质，理解好题目中所给关联直线的解析式与抛物线解析式之间的关系是解题的关键．

2、

【解析】

【分析】

利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．

【详解】

y＝x2﹣2x+3＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2

故本题答案为：y＝（x﹣1）2+2．

【点睛】

本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式，关键是配方法的运用．

3、向上

【解析】

【分析】

根据二次函数图象的性质，a＞0，抛物线开口向上，a＜0，抛物线开口向下可求解．

【详解】

∵a=2>0，

∴二次函数y=2x2+1图象的开口方向是向上，

故答案为：向上．

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象与性质，由a的符号确定抛物线的开口方向是解题的关键．

4、

【解析】

【分析】

根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．

【详解】

解：∵抛物线的顶点坐标为（0,2），

其图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，

得到的抛物线解析式为

即

故答案为：

【点睛】

本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．

5、6

【解析】

【分析】

求出抛物线解析式，再求出、两点横坐标，利用坐标求出线段的长即可．

【详解】

解：二次函数的图象顶点坐标是，

设抛物线解析式为，把代入得，

，解得，

抛物线解析式为，

当y=0时，，解得，，，

线段的长为2+4=6；

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了求二次函数解析式和抛物线与x轴交点，解题关键是求出抛物线解析式，熟练求出抛物线与x轴交点横坐标．

三、解答题

1、 (1)①-1，0；4，0；0，-2；②见解析

(2)

(3)存在，当时，最大，最大为.

【解析】

【分析】

（1）①分别令即可求得抛物线与坐标轴的交点坐标；②根据点的坐标，分别求得进而勾股定理逆定理即可证明；

（2）连接OQ，设点Q的坐标为，进而根据进行求解即可；

（3）过点Q作于点H，证明，由（2）可得，进而列出关于的关系式，根据二次函数的性质求最值即可

(1)

①由，

令，则，

令，即

解得

，，

故答案为：-1，0；4，0；0，-2；

②证明：∵，，

∴，，

∴

∴是．

(2)

连接OQ，如图所示

设点Q的坐标为

(3)

过点Q作于点H，如图所示

∴

∵

∴

∴当时，最大，最大为．

【点睛】

本题考查了二次函数坐标轴的交点问题，相似三角形的性质与判定，二次函数求面积问题，二次函数的最值问题，熟练运用以上知识是解题的关键．

2、 (1)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为

(2)

(3)，

【解析】

【分析】

（1）将二次函数化为顶点式，由此可得答案；

（2）分别求出时，时的函数值，根据函数的增减性解答；

（3）根据二次函数的平移规律解答．

(1)

解：∵，∴抛物线C的开口向上．

∵，

∴抛物线C的对称轴为直线，顶点坐标为．

(2)

解：当时，y随x的增大而增大；

∵当时，；当时，．

∴函数值y的取值范围是．

(3)

解：抛物线对应的函数解析式为；

抛物线对应的函数解析式为．

【点睛】

此题考查了将二次函数化为顶点式，二次函数的性质，利用函数的增减求出函数值的取值范围，二次函数的平移规律，熟记各知识点是解题的关键．

3、 (1)①，②，③

(2)每天获得的最大利润为元.

【解析】

【分析】

（1）设甲种礼品每件降低了x元，则调价后的销售量为原销量加上增加的销量，可得乙的销量为件，再求解乙调价后的利润即可；

（2）设每天的销售利润为元，再利用总利润等于甲礼品的利润加上乙礼品的利润，可得函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案.

(1)

解：设甲种礼品每件降低了x元，则调价后的销售量为：件，

乙种礼品调价后的销售量为：件，

乙种礼品调价后的利润为：元，

填表如下：

(2)

解：设每天的销售利润为元，则

当时，

（元）

所以每天获得的最大利润为元.

【点睛】

本题考查的是列代数式，二次函数的实际应用，理解题意，列出二次函数的关系式是解本题的关键.

4、 (1)二次函数的表达式为： ；

(2)．

【解析】

【分析】

（1）观察表格数据，由、可知，二次函数图象的顶点坐标为，设二次函数的表达式为，再选一组值代入即可求出a值，解析式即可确定；

（2）先根据顶点坐标求出关于y轴对称的顶点坐标，然后设抛物线解析式为，结合表中数据可得函数图象经过，代入求解即可确定抛物线解析式．

(1)

解：观察表格数据，由、可知，二次函数图象的顶点坐标为，

设二次函数的表达式为，

把代入得，

，

∴，

∴，

即 ；

(2)

解：抛物线的顶点是，关于y轴的对称点，开口方向与原抛物线相同，

设二次函数的表达式为，

在y轴上且在函数图象上，

将其代入函数表达式为：，

解得：，

∴关于y轴对称的图象所对应的函数表达式为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式及抛物线的轴对称变换问题，求出关键点的对称点坐标是解题关键．

5、 (1)c=5，m=8

(2)y=x²+2x+5

【解析】

【分析】

(1)根据抛物线的对称性及表格中函数值x相等可求出对称轴进而求出m的值；根据自变量x=0可求出抛物线与y轴的交点，即可求得c的值；

(2)根据对称轴为x=-1，得到抛物线顶点为(-1,4)，设顶点式为y=a(x+1)2+4，代入其中一个点求出a的值即可求出二次函数解析式．

(1)

解：根据图表可知：

二次函数的图象过点(0，5)，(-2，5)，

∴二次函数的对称轴为：直线，

∵直线x=-3到对称轴x=-1的距离为2，直线x=1到对称轴x=-1的距离也为3，

∴(-3，8)的对称点为(1，8)，

∴m=8，

当x=0时，由表格中数据可知：c=5．

(2)

解：∵对称轴是直线x=-1，

∴由表格中数据可知：顶点为(-1，4)，

设y=a(x+1)2+4，

将(0，5)代入y=a(x+1)2+4得，a+4=5，

解得a=1，

∴这个二次函数的解析式为y=(x+1)2+4=x²+2x+5．

【点睛】

本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求出函数对称轴是解本题的关键．