初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试同步练习题

这是一份初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试同步练习题，共31页。试卷主要包含了已知点，，都在函数的图象上，则，同一直角坐标系中，函数和等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数定向练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、已知二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜4 B．a≤4 C．a＜4且a≠0 D．a≤4且a≠0
2、若二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点（﹣1，1），（4，6），（3，1），则（ ）
A．y≤3 B．y≤6 C．y≥-3 D．y≥6
3、将关于x的二次函数的图像向上平移1单位，得到的抛物线经过三点、、，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4、已知二次函数的图象经过，，则b的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
5、如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），且与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），此时抛物线与y轴交于点A′，则AA′的长度为（　　）

A．2 B．3 C．3 D．D3
6、已知二次函数，则关于该函数的下列说法正确的是（ ）
A．该函数图象与轴的交点坐标是
B．当时，的值随值的增大而减小
C．当取1和3时，所得到的的值相同
D．将的图象先向左平移两个单位，再向上平移5个单位得到该函数图象
7、已知点，，都在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
8、同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9、已知二次函数的图象上有三点，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10、将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、已知二次函数，当自变量x分别取1、4、5时，对应的函数值分别为，，，则，，的大小关系是________（用“＜”号连接）．
2、如果抛物线经过点A（3，6）和点B（﹣1，6），那么这条抛物线的对称轴是直线_____．
3、抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+4的最高点坐标是_____．
4、某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为______．
5、如图，平面直角坐标系中，以点C（2，）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．若二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式为 ____________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，△ADB与△BCD均为等边三角形，延长AD到E，使∠AEC＝90°，AD＝5，动点M从点B出发，沿BD方向运动，移动速度为1个单位/秒，同时，点N由点D向点C运动，移动速度为2个单位/秒，其中一个到终点，都停止运动，连接AM，CM，MN，NE，设运动时间为t（0≤t≤2.5）

(1)t为何值时，MN∥BC；
(2)连接BN，t为何值时，BNE三点共线；
(3)设四边形AMNE的面积为S，求S与t的函数关系式；
(4)是否存在某一时刻t，使N在∠CMD的角平分线上，若存在,求出t近似值；若不存在，说明理由．
2、如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，平行于x的直线与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，则抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的“准碗形”，线段AB称为碗宽，点M到线段AB的距离称为碗高．

(1)抛物线y＝x2对应的碗宽为 ；
(2)抛物线y＝ax2（a＞0）对应的碗宽为 ；抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a＞0）对应的碗高为 ；
(3)已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碗高为3．
①求碗顶M的坐标；
②如图2，将“准碗形AMB”绕点M顺时针旋转30°得到“准碗形”．过点作x轴的平行线交准碗形于点C，点P是线段上的动点，过点P作y轴的平行线交准碗形A'MB'于点Q．请直接写出线段PQ长度的最大值．
3、有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．
(1)求这条抛物线的解析式．
(2)一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？

4、已知抛物线y=x2+bx-3（b是常数）经过点A（-1，0）．
(1)求该抛物线的函数表达式和顶点坐标；
(2)抛物线与x轴另一交点为点B，与y轴交于点C，平行于x轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3）．
①求直线BC的解析式；
②若x3＜x1＜x2，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围．
5、已知二次函数．

(1)把它配方成的形式，并写出它的开口方向、顶点的坐标；
(2)作出函数的图象（列表描出五个关键点）．

…
0
1
2
3
4
…

…





…


-参考答案-
一、单选题
1、D
【解析】
【分析】
由二次函数的定义得a≠0，再由二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点得到Δ≥0，解不等式即可．
【详解】
解：∵二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，
∴Δ＝42﹣4a×1≥0，且a≠0，
解得：a≤4，且a≠0．
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与x轴的交点，关键是Δ＝b2−4ac决定抛物线与x轴交点的个数．
2、C
【解析】
【分析】
根据图像经过三点求出函数表达式，再根据最值的求法求出结果．
【详解】
解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c经过（﹣1，1），（4，6），（3，1），
∴，
解得：，
∴函数表达式为y＝x2-2x-2，开口向上，
∴函数的最小值为=，即y≥-3，
故选C．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的最值，属于基础题，解题的关键是掌握二次函数最值的求法．
3、C
【解析】
【分析】
根据题意求得平移后的二次函数的对称轴以及开口方向，根据三个点与对称轴的距离大小判断函数值的大小即可
【详解】
解：∵关于x的二次函数的图像向上平移1单位，得到的抛物线解析式为，
∴新抛物线的对称轴为，开口方向向上，则当抛物线上的点距离对称轴越远，其纵坐标越大，即函数值越大，
平移后的抛物线经过三点、、，


故选C
【点睛】
本题考查了二次函数的平移，二次函数的性质，二次函数的对称轴直线x=，图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线的开口向上，x＜时，y随x的增大而减小；x＞时，y随x的增大而增大；x=时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线的开口向下，x＜时，y随x的增大而增大；x＞时，y随x的增大而减小；x=时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点，掌握二次函数的性质是解题的关键．
4、C
【解析】
【分析】
由二次函数的图象经过，，可得二次函数图象的对称轴为 再结合对称轴方程的公式列方程求解即可.
【详解】
解： 二次函数的图象经过，，
二次函数图象的对称轴为：
解得：
故选C
【点睛】
本题考查的是二次函数的对称轴方程，掌握“利用纵坐标相等的两个点求解对称轴方程”是解本题的关键.
5、B
【解析】
【分析】
先运用待定系数法求出原抛物线的解析式，再根据平移不改变二次项系数，得出平移后的抛物线解析式，求出A′的坐标，进而得出AA′的长度．
【详解】
∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），
∴y＝a（x+2）2+2，
∵与y轴交于点A（0，3），
∴3＝a（0+2）2+2，解得a＝
∴原抛物线的解析式为：y＝（x+2）2+2，
∵平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），
∴平移后的抛物线为y＝（x﹣1）2﹣1，
∴当x＝0时，y＝，
∴A′的坐标为（0，），
∴AA′的长度为：3﹣（）＝3．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平移、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．
6、C
【解析】
【分析】
把，代入，即可判断A，由二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，即可判断B，当取和，代入，即可判断C，根据函数图象的平移规律，即可判断D．
【详解】
∵二次函数的图象与轴的交点坐标是，
∴A选项错误；
∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，
∴当时，的值随值的增大而增大，
∴B选项错误；
∵当取和时，所得到的的值都是11，
∴C选项正确；
∵将的图象先向左平移两个单位，再向上平移个单位得到的图象，
∴D选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的性质是解题的关键．
7、C
【解析】
【分析】
把点的坐标分别代入函数解析式可分别求得、、，再比较其大小即可．
【详解】
解：点，，都在函数的图象上，
，，，
，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
8、D
【解析】
【分析】
根据一次函数，二次函数的图象与性质逐一分析两个解析式中的的符号，再判断即可.
【详解】
解：选项A：由的图象可得：
由的图象可得：则 故A不符合题意；
选项B：由的图象可得：
由的图象可得：则
而抛物线的对称轴为： 则 故B不符合题意；
选项C：由的图象可得：
由的图象可得：则 故C不符合题意；
选项D：由的图象可得：
由的图象可得：则
而抛物线的对称轴为： 则 故D符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键.
9、A
【解析】
【分析】
分别求出、、的大小，再进行判断即可．
【详解】
解：




A、故选项正确，符合题意；
B、故选项错误，不符合题意；
C、故选项错误，不符合题意；
D、故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
此题考查了二次函数的大小比较问题，解题的关键是掌握二次函数的性质、利用代入法求出、、的大小．
10、B
【解析】
【分析】
由题意知，平移后的抛物线解析式为，将各选项中的横坐标代入，求出纵坐标并与各选项的纵坐标比较，纵坐标相同的即为正确答案．
【详解】
解：由题意知，平移后的抛物线解析式为
将代入解析式得，与A中点坐标不同，故不符合要求；
将代入解析式得，与B中点坐标相同，故符合要求；
将代入解析式得，与C中点坐标不同，故不符合要求；
将代入解析式得，与D中点坐标不同，故不符合要求；
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于写出平移后的二次函数解析式．
二、填空题
1、y1＜y2＜y3
【解析】
【分析】
利用二次函数图象上点的坐标特征可分别求出y1，y2，y3的值，结合a＞0，即可得出a+c＜4a+c＜9a+c，即y1＜y2＜y3．
【详解】
解：当x=1时，y1=a（1-2）2+c=a+c；
当x=4时，y2=a（4-2）2+c=4a+c；
当x=5时，y3=a（5-2）2+c=9a+c．
∵a＞0，
∴a+c＜4a+c＜9a+c，
∴y1＜y2＜y3．
故答案为：y1＜y2＜y3．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征，分别求出y1，y2，y3的值是解题的关键．
2、
【解析】
【分析】
根据点，的坐标，利用二次函数的性质可求出抛物线的对称轴，此题得解．
【详解】
解：抛物线经过点和点，
抛物线的对称轴为直线．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线的对称性，找出抛物线的对称轴．
3、
【解析】
【分析】
根据，顶点坐标是，可得答案．
【详解】
解：抛物线为，
开口向下，则最高点坐标是顶点坐标，
顶点坐标．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质以及顶点式，解题的关键是准确理解顶点式．
4、
【解析】
【分析】
某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，月平均增长率为x，则九月份的产量为万件，十月份医用防护服的产量为万件，从而可得答案.
【详解】
解：十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为

故答案为：
【点睛】
本题考查的是列二次函数关系式，掌握“两次变化后的量=原来量（1+增长率）2”是解本题的关键.
5、y=x2-4x+3
【解析】
【分析】
过点C作CH⊥AB于点H，然后利用垂径定理求出CH、AH和BH的长度，进而得到点A和点B的坐标，再将A、B的坐标代入函数解析式求得b与c，最后求得二次函数的解析式．
【详解】
解：过点C作CH⊥AB于点H，则AH=BH，

∵C（2，），
∴CH=，
∵半径为2，
∴AH=BH=＝1，
∵A（1，0），B（3，0），
∴二次函数的解析式为y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，
故答案为：y=x2-4x+3．
【点睛】
本题考查了圆的垂径定理、二次函数的解析式，解题的关键是过点C作CH⊥AB于点H，利用垂径定理求出点A和点B的坐标．
三、解答题
1、 (1)当秒；MN∥BC；
(2)t=时，B、N、E三点共线；
(3)S=（0≤t≤2.5）；
(4)存在某一时刻t≈1.148时，使N在∠CMD的角平分线上．
【解析】
【分析】
（1）根据MN∥BC；证明△MDN为等边三角形，得出DM=DN，即5-t=2t，解方程即可；
（2）根据∠ADE为平角，求出∠DCE=180°-∠CDE-∠CED=180°-60°-90°=30°，得出DE=，CE=，根据B、N、E三点共线；得出对顶角性质∠BNC=∠END，再证△BCN∽△EDN，得出即，求出DN即可；
（3）过点B作BF⊥AE与F，过点M作MG⊥AE于G，MH⊥DC于H，过N作NI⊥DE于I，先证BD为∠ADC的平分线，得出MG=MH，再证△MGD∽△BFD，，，求出，分别求出S△AMD=，S△MDN=S△DEN=，再根据S四边形AMNE=S△AMD+S△MDN+S△DEN=++=（0≤t≤2.5）即可；
（4）过点M作MK⊥BC于K，根据等边三角形性质可得∠KBM=60°，可求∠KMB=90°-60°=30°，利用30°直角三角形性质得出BK=，利用勾股定理得出MK=MC，根据角平分线定理使N在∠CMD的角平分线上，得出即，整理得：，化为两函数的交点，用描点法画函数图像，列表连线得出量函数图像Y=8t3随t增大而增大，Y=5(3t-5)2在0＜t≤随t的增大而减小，t≈1.148时，两函数值相等即可．
(1)
解：∵△ADB与△BCD均为等边三角形，AD=5，
∴BD=DC=AD=5，
∴BM=t，DN=2t，
∵MN∥BC；
∴∠NMD=∠DBC=60°=∠MDN，
∴△MDN为等边三角形，
∴DM=DN，即5-t=2t，
解得秒；
∴当秒；MN∥BC；
(2)
解：∵∠ADE为平角，
∴∠CDE=180°-∠ADB-∠BDC=180°-60°-60°=60°，
∵∠CEA=90°，
∴∠DCE=180°-∠CDE-∠CED=180°-60°-90°=30°，
∴DE=，CE=，
∵B、N、E三点共线；
∴∠BNC=∠END，
∵∠BCD=∠CDE=60°，
∴BC∥DE，
∴△BCN∽△EDN，
∴即，
解得DN=，
∴2t=，
解得t=，
∴t=时，B、N、E三点共线；

(3)
解：过点B作BF⊥AE与F，过点M作MG⊥AE于G，MH⊥DC于H，过N作NI⊥DE于I，
∵∠BDA=∠BDC=60°，
∴BD为∠ADC的平分线，
∵MG⊥AE于G，MH⊥DC于H，
∴MG=MH，
∵BF⊥AE，MG⊥AE，
∴BF∥MG，
∴△MGD∽△BFD，
∴，
∵△ABD为等边三角形，BF⊥AD，
∴AF=DF=2.5，
∴BF=，
∵MB=t，
∴MD=5-t，
∴，
解得：，
∴MH=，
∴S△AMD=，
S△MDN=，
∵NI⊥DE，∠CED=90°，
∴NI∥CE，
∴△DNI∽△DCE，
∴即，
∴解得NI=，
∴S△DEN=，
∴S四边形AMNE=S△AMD+S△MDN+S△DEN=++=（0≤t≤2.5）；

(4)
过点M作MK⊥BC于K，，过点C作CS∥MN，交DB延长线于S，

∵∠KBM=60°，
∴∠KMB=90°-60°=30°，
∴BK=，MK=，
∴MC，
∵使N在∠CMD的角平分线上，
∴∠CMN=∠DMN，
∵MN∥CS，
∴∠S=∠DMN，∠SCM=∠CMN，
∴∠S=∠SCM，
∴MS=MC，
∵MN∥CS，
∴
∴即，
整理得：，
两函数的交点，
用描点法画函数图像，
列表
t
0

1
1.145
Y=8t3
0
4
8
12．009
t
1
1.15
1.24

Y=5(3t-5)2
20
12.0125
8.19
0

Y=8t3随t增大而增大，Y=5(3t-5)2在0＜t≤随t的增大而减小，
∴t≈1.148时，两函数值相等，

∴是存在某一时刻t≈1.148时，使N在∠CMD的角平分线上．
【点睛】
本题考查等边三角形性质，平行线判定，三点共线，对顶角，三角形相似，三角形面积函数，勾股定理，角平分线定理，列表法函数式图形，利用图像求方程的解是解题关键．
2、 (1)4
(2)，
(3)（2，-3），
【解析】
【分析】
（1）根据碗宽的定义以及等腰直角三角形的性质可以假设B（m，m），代入抛物线的解析式，求出A、B两点坐标即可解决问题．
（2）利用（1）中方法可求碗宽，根据等腰直角三角形可知碗高是碗宽的一半．
（3）①由碗高为3求出a，再求顶点坐标即可；②作QS⊥BP于S，找到PQ和QS的关系后即可解决问题．
(1)
解：根据碗宽的定义以及等腰直角三角形的性质可以假设B（m，m）．
把B（m，m）代入y＝x2，得，解得，m＝2或0（舍去），
∴A（﹣2，2），B（2，2），
∴AB＝4，即碗宽为4；
故答案为：4．
(2)
解：类似（1）设B（n，n）,代入y＝a x2，得，解得，n＝或0（舍去），AB＝，即碗宽为；
抛物线y＝a（x﹣2）2+3是由抛物线y＝ax2平移得到的，所以，它们的碗宽一样为，根据等腰直角三角形的性质，可知可知碗高是碗宽的一半，即；
故答案为：，．
(3)
解：①抛物线y＝ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碗高为3．由（2）可知，
解得，，抛物线解析式为，化成顶点式为；
则M的坐标为（2，-3）；
②如图，作QS⊥BP于S，由旋转可知∠PBO=30°，因为过点P作y轴的平行线交准碗形A'MB'于点Q，
∴PQ⊥OB，
∴∠QPB=60°，∠PQS=30°，
∴PQ=2PS，，
当QS等于碗高时，QS最大，此时PQ长度的最大，
由（2）可知QS最大为3，则，；
PQ长度的最大值为．

【点睛】
本题考查了二次函数的性质和直角三角形的性质，解题关键是准确理解题意，熟练运用二次函数的性质和直角三角形的性质求解．
3、 (1)
(2)一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线经过原点，可设抛物线为再把把代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）把代入抛物线的解析式求解函数值，再与3米进行比较，即可得到答案.
(1)
解：根据题意抛物线经过了原点，设抛物线为：
把代入抛物线的解析式得：

解得：
所以抛物线为：
(2)
解：因为一艘宽为4米，高出水面3米的货船行驶时航线在正中间，
所以当时，

而
所以一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过.
【点睛】
本题考查的是二次函数的实际应用，熟练的把实际生活中的问题化为数学问题，建立数学模型是解本题的关键.
4、 (1)y=x2-2x-3，(1，−4)
(2)①y=x−3；②
【解析】
【分析】
（1）把A（-1，0）代入y=x2+bx-3其凷b得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标；
（2）①解方程x2-2x-3=0得B（3，0），再确定C（0，-3），然后利用待定系数法求直线BC的解析式；
②如图，利用对称性得到x2-1=1-x1，则x1+x2=2，所以x1+x2+x3=2+x3，利用函数图象得到-1＜x3＜0，从而得到1＜x1+x2+x3＜2．
(1)
解：把A（-1，0）代入y=x2+bx-3得1-b-3=0，解得b=-2，
∴抛物线解析式为y=x2-2x-3，
∵y=（x-1）2-4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）；
(2)
解：①当y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，则B（3，0），
当x=0时，y=x2-2x-3=-3，则C（0，-3），
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把B（3，0），C（0，-3）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y=x-3；
②如图，

x2-1=1-x1，
∴x1+x2=2，
∴x1+x2+x3=2+x3，
∵y3＜-3，即x3-3＜-3，
∴x3＜0，
∵y=-4时，x-3=-4，解得x=-1，
∴-1＜x3＜0，
∴1＜x1+x2+x3＜2．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
5、 (1)，开口向下，顶点的坐标为
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）按题目要求配方成顶点式，根据顶点式写出开口方向和顶点坐标；
（2）根据解析式列表、描点、连线画二次函数图象
(1)
解：∵，
∴开口向下，顶点的坐标为
(2)
列表：

…
0
1
2
3
4
…

…





…

描点、连线如图，

【点睛】
本题考查了将二次函数化为顶点式，画二次函数图象，掌握顶点式的图象的性质是解题的关键．