初中第30章 二次函数综合与测试巩固练习

这是一份初中第30章 二次函数综合与测试巩固练习，共34页。试卷主要包含了下列函数中，二次函数是，二次函数的最大值是等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数专项攻克
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、在抛物线的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2、二次函数y＝a+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0，④4a-2b+c＞0；其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
3、对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y=x2+4x+c有两个相异的不动点x1，x2，且x1＜3＜x2，则c的取值范围是（ ）
A．c＜﹣6 B．c＜﹣18 C．c＜﹣8 D．c＜﹣11
4、下列函数中，二次函数是（ ）
A．y＝﹣3x+5 B．y＝x（4x﹣3）
C．y＝2（x+4）2﹣2x2 D．y＝
5、如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤若，是抛物线上两点，且，则实数的取值范围是．其中正确结论是（ ）

A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤
6、已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．无法确定
7、将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ）
A． B． C． D．
8、二次函数的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
9、已知抛物线y＝mx2+4mx+m﹣2（m≠0），点A（x1，y1），B（3，y2）在该抛物线上，且y1＜y2．给出下列结论①抛物线的对称轴为直线x＝﹣2；②当m＞0时，抛物线与x轴没有交点；③当m＞0时，﹣7＜x1＜3； ④当m＜0时，x1＜﹣7或x1＞3；其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10、在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（4，2） B．（﹣2，2） C．（4，﹣2） D．（﹣2，﹣2）
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为______．
2、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ．则线段OQ的最大值是______．

3、已知某函数的图象经过，两点，下面有四个推断：
①若此函数的图象为直线，则此函数的图象与直线平行；
②若此函数的图象为双曲线，则也在此函数的图象上；
③若此函数的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与y轴的负半轴相交；
④若此函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象对称轴在直线左侧．
所有合理推断的序号是______．
4、二次函数的对称轴是________．
5、最大值与最小值之和为_________．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、生态水果是指在保护、改善农业生态环境的前提下，遵循生态学、生态经济学规律，运用现代科学技术，营养的、健康的水果．青岛市扶贫工作小组对李沧、胶州、即墨等多地果农进行精准投资建设，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了．批发销售总额比去年增加了20%
(1)已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？
(2)今年某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克．设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时该水果店一天的利润最大（利润计算时，其它费用忽略不计，并且售价为整数）
2、如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线（）图象经过，，三点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)是抛物线对称轴上的一点，当的值最小时，求点坐标；
(3)若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值．
3、如图1，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点P是直线上一动点．

(1)求直线的解析式；
(2)若点P关于原点O的对称点Q刚好落在抛物线上，求点P的坐标；
(3)如图2，连接，过点P作PEBC交x轴于点E，连接，将沿对折，点P的对应点恰好落在x轴上时，求点E的坐标．
4、如图，抛物线与轴交于两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，A点的坐标是（，0），点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，且m>0．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点Q是直线AC上的一个动点，且位于x轴的上方，当PQ∥y轴时，作PM⊥PQ，交抛物线于点M（点M在点P的右侧），以PQ，PM为邻边构造矩形PQNM，求该矩形周长的最小值；
(3)设抛物线在点C与点P之间的部分（含点C和P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．
①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；
②当h=16时，直接写出△BCP的面积．
5、 “互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款电子玩具，其成本为每件100元，当售价为每件160元时，每月可销售200件．为了吸引更多买家，该网店采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降低1元，则每月可多销售5件，设每件电子玩具的售价为x元（x为正整数），每月销售量为y件．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
(3)该网店店主决定每月从利润中捐出500元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于11500元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定该电子玩具的价格？

-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
把三个点，，的横坐标代入解析式，然后比较函数值大小即可．
【详解】
解：把三个点，，的横坐标代入解析式得，
；；；
所以，，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题关键是求出函数值，再比较大小．
2、B
【解析】
【分析】
看抛物线与x轴交点个数，判定判别式的符号；根据抛物线开口方向，对称轴与x轴的交点位置，与y轴的交点位置，确定a，b，c的符号；根据对称轴，确定a，b之间的关系；当x= -2时，利用图像，观察直线x=-2与抛物线的交点位置，判定函数值的正负即可．
【详解】
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴﹣4ac＞0；
故①正确；
∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，＞0，
∴a＜0，b＞0， c＞0，
∴abc＜0；
故②正确；
∵，
∴4a+b＝0，
故③正确；
x= -2时，y=4a-2b+c，
根据函数的增减性，得4a-2b+c＜0；
故④错误.
故选B．
【点睛】
本题考查了抛物线的图像与各项系数的关系，抛物线与x轴的交点，对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
3、B
【解析】
【分析】
由题意得不动点的横纵坐标相等，即在直线y=x上，故二次函数与直线y=x有两个交点，且横坐标满足x1＜3＜x2，可以理解为x=3时，一次函数的值大于二次函数的值．
【详解】
解：由题意得：不动点在一次函数y=x图象上，
∴一次函数y=x与二次函数的图象有两个不同的交点，
∵两个不动点x1，x2满足x1＜3＜x2，
∴x=3时，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，
∴3＞32+4×3+c，
∴c＜-18．
故选：B．
【点睛】
本题以新定义为背景，考查了二次函数图象和一次函数图象的交点与系数间的关系，本题亦可以转化为方程的解来解题．
4、B
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】
解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．是二次函数，故本选项符合题意；
C．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D．不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握：形如、、为常数，的函数，叫二次函数．
5、C
【解析】
【分析】
根据开口方向，对称轴，以及与轴负半轴的交点位置判断的符号即可判断①，根据二次函数图象的对称性可知时的函数值与的函数值相等，进而可得，即可判断②，根据对称轴为以及顶点坐标公式即可判断③，根据二次函数图象与轴有两个交点，则，即可判断④，根据对称性可得时的函数值与时的函数值相等，进而根据抛物线的开口方向以及，即可判断，根据顶点位置的函数值最小，进而即可判断⑤
【详解】
解：∵抛物线的开口朝上，则，对称轴，可得，根据抛物线与轴交于负半轴，则
∴
故①正确；
∵二次函数的图象经过点，
则当时，
对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等，
时，
即
故②不正确
对称轴为直线，
∴，即
故③正确；
∵二次函数图象与轴有两个交点，则
即
故④错误；
对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等，

，是抛物线上两点，且，抛物线开口向上，

故⑤正确
故正确的是①③⑤
故选C
【点睛】
本题考查了二次函数图象的性质以及与各系数之间的关系，二次函数与一元一次不等式，根据图象判断方程的根的情况，二次函数的对称性，掌握二次根式图象的性质是解题的关键．
6、C
【解析】
【分析】
分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；
【详解】
当a＞0时，∵对称轴为x=，
当x=1时，y有最小值为2，当x=3时，y有最大值为4a+2，
∴4a+2-2=4．
∴a=1，
当a＜0时，同理可得
y有最大值为2； y有最小值为4a+2，
∴2-(4a+2)=4，
∴a=-1，
综上，a的值为
故选：C
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键．
7、B
【解析】
【分析】
由题意知，平移后的抛物线解析式为，将各选项中的横坐标代入，求出纵坐标并与各选项的纵坐标比较，纵坐标相同的即为正确答案．
【详解】
解：由题意知，平移后的抛物线解析式为
将代入解析式得，与A中点坐标不同，故不符合要求；
将代入解析式得，与B中点坐标相同，故符合要求；
将代入解析式得，与C中点坐标不同，故不符合要求；
将代入解析式得，与D中点坐标不同，故不符合要求；
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于写出平移后的二次函数解析式．
8、D
【解析】
【分析】
由图象的性质可知在直线处取得最大值，将代入解析式计算求解即可．
【详解】
解：由图象的性质可知，在直线处取得最大值
∴将代入中得
∴最大值为2
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值．解题的关键在于掌握二次函数的图象与性质．
9、C
【解析】
【分析】
利用抛物线的对称轴公式可判断①，计算 结合 可判断②，再分别画出符合③，④的图象，结合图象可判断③与④，从而可得答案.
【详解】
解： 抛物线y＝mx2+4mx+m﹣2（m≠0），
抛物线的对称轴为： 故①符合题意；


当时，
所以抛物线与轴有两个交点，故②不符合题意；
当时，抛物线的开口向上，如图，

则关于的对称点为： 而
故③符合题意；
当时，抛物线的开口向下，如图，

同理可得：由
则或 故④符合题意，
综上：符合题意的有：①③④
故选：C
【点睛】
本题考查的是抛物线的对称轴方程，抛物线与轴的交点的情况，二次函数的图象与性质，掌握“利用数形结合的方法求解符合条件的自变量的取值范围”是解本题的关键.
10、D
【解析】
【分析】
求出抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为 ，即可求解．
【详解】
解：∵ ，
∴抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为 ，
∴将抛物线y＝x2﹣2x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 ．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象平移法则“左加右减，上加下减”是解题的关键．
二、填空题
1、
【解析】
【分析】
某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，月平均增长率为x，则九月份的产量为万件，十月份医用防护服的产量为万件，从而可得答案.
【详解】
解：十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为

故答案为：
【点睛】
本题考查的是列二次函数关系式，掌握“两次变化后的量=原来量（1+增长率）2”是解本题的关键.
2、
【解析】
【分析】
连接PB，当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，而OQ是△ABP的中位线，即可求解．
【详解】
令，则x＝±4，
故点B（4，0），
∴OB=4
设圆的半径为r，则r＝2，
连接PB，如图，
∵点Q、O分别为AP、AB的中点，
∴OQ是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OQ最大，
∵C（0，3）
∴OC=3
在Rt△OBC中，由勾股定理得：
则，
故答案为3.5．

【点睛】
本题考查了抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识，连接PB并运用三角形中位线定理是本题的关键和难点．
3、①②④
【解析】
【分析】
分别根据过A、B两点的函数是一次函数、二次函数时，相应的函数的性质进行判断即可．
【详解】
解：①过，两点的直线的关系式为y=kx+b，则
，
解得，
所以直线的关系式为y=x-1，
直线y=x-1与直线y=x平行，
因此①正确；
②过，两点的双曲线的关系式为，则，
所以双曲线的关系式为
当时，
∴也在此函数的图象上，
故②正确；
③若过，两点的抛物线的关系式为y=ax2+bx+c，
当它经过原点时，则有
解得，
对称轴x=-，
∴当对称轴0＜x=-＜时，抛物线与y轴的交点在正半轴，
当-＞时，抛物线与y轴的交点在负半轴，
因此③说法不正确；
④当抛物线开口向上时，有a＞0，而a+b=1，即b=-a+1，
所以对称轴x=-=-=-，
因此函数图象对称轴在直线x＝左侧，
故④正确，
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查一次函数、二次函数的图象和性质，待定系数法求函数的关系式，理解各种函数的图象和性质是正确判断的前提．
4、直线
【解析】
【分析】
抛物线的对称轴为直线 根据抛物线的顶点式可直接得到答案.
【详解】
解：二次函数的对称轴是直线（或轴）
故答案为：直线
【点睛】
本题考查的是二次函数的对称轴方程，掌握“抛物线的顶点式”是解本题的关键.
5、##
【解析】
【分析】
将已知式子化成，分和两种情况，再利用一元二次方程根的判别式可得一个关于的不等式，然后利用二次函数的性质求出的取值范围，从而可得的最大值与最小值，由此即可得出答案．
【详解】
解：由得：，
①当时，；
②当时，则关于的方程根的判别式大于或等于0，
即，
整理得：，
解方程得：，
则对于二次函数，当时，的取值范围为，且，
综上，的取值范围为，
所以的最大值为3，最小值为，
所以的最大值与最小值之和为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式、二次函数的性质等知识，将求最值问题转化为一元二次方程问题是解题关键．
三、解答题
1、 (1)24元；
(2)当m=35时，w最大=7260元．
【解析】
【分析】
（1）设去年这种水果的批发价为x元/千克，今年的销量-去年的销量=1000列方程解方程即可；
（2）设每千克的平均销售价为m元，根据总利润=每千克利润×销量列函数关系式w=(m-24)(300+)配方为顶点式，利用函数性质求即即可．
(1)
解：设去年这种水果的批发价为x元/千克，
根据题意得：，
整理得：3000-2400=24x，
解得x=25，
经检验符合题意，
元；
(2)
解：设每千克的平均销售价为m元，
w=(m-24)(300+)，
=，
=，
∵a=-60＜0，
抛物线开口向下，函数有最大值，
当m=35时，w最大=7260元．
【点睛】
本题考查列分式方程解应用题，列二次函数解应用题，掌握列分式方程解应用题的方法与步骤，列二次函数解应用题方法是解题关键．
2、 (1)；
(2)（）；
(3)点P（2，-6），PD最大值为
【解析】
【分析】
（1）根据点B的坐标，得出OB的长，进而根据即可得到OA、OC的长，利用待定系数法求出函数解析式；
（2）利用配方法求出抛物线的对称轴，连接AC，交对称轴于一点即为点M，此时的值最小，求出直线AC的解析式，当时求出y的值即可得到点M的坐标；
（3）过点P作PH平行于y轴，交AC于点H，根据等腰直角三角形的性质求出∠OAC=∠OCA=45°，根据平行线的性质求出∠PHD=∠OCA=45°，设点P（x，），则点H（x，x-4），根据正弦函数定义得到，根据函数的性质得解问题．
(1)
解：∵点的坐标为，
∴OB=1，
∵，
∴OA=OC=4，
∴点A的坐标为（4,0），点C的坐标为(0,-4),
将点A、B、C的坐标代入中，得
，解得，
∴抛物线的解析式为；
(2)
解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接AC，交对称轴于一点即为点M，此时的值最小，
设直线AC的解析式为，
∴，解得，
∴直线AC的解析式为y=x-4，
当时，，
∴点M的坐标为（）；
(3)
解：过点P作PH平行于y轴，交AC于点H，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴∠PHD=∠OCA=45°，
设点P（x，），则点H（x，x-4），
∴，
∵，
∴PD有最大值，当x=2时，PD最大值为，
此时点P（2，-6）．
．
【点睛】
此题考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线的对称轴，化一般式为顶点式，最短路径问题，二次函数的性质，锐角三角函数，正确掌握抛物线的各知识点是解题的关键，这是一道二次函数与一次函数的综合题．
3、 (1)
(2)或
(3)或
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的解析式令即可求得的坐标，令即可求得点的坐标，进而待定系数法求得直线的解析式；
（2）由（1）设点，则在上，代入解方程即可求得的值，进而求得点的值；
（3）先求得直线的解析式，进而表示出解析式，得点的坐标为，进而根据平行得，根据相似三角形的性质可得，根据勾股定理及逆定理证明是直角三角形，进而可得对称后的点与重合，进而可得，求得点的纵坐标，进而根据求得的值，即可求得点的坐标．
(1)
解：已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，
令，得
即
令，即
解得

设直线的解析式为，将点代入得，

解得
直线的解析式为
(2)
点P是直线上一动点，直线的解析式为
设点，
点P关于原点O的对称点Q刚好落在抛物线上，
则在上
即
解得
或
或
(3)
依题意，设点，
设直线的解析式为，将点代入得，

解得
直线的解析式为
PEBC
设直线的解析式为
令，，则点的坐标为
，，
PEBC






是直角三角形


将沿对折，点P的对应点恰好落在x轴上时，
,

与点重合，
则
，

解得

或

即或
解得或
或

【点睛】
本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，轴对称问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，一次函数的平移问题，设参数求解是解题的关键．
4、 (1)
(2)
(3)①；②
【解析】
【分析】
（1）将点代入解析式，待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据两点求得直线的解析式，进而求得的长，根据的范围分类讨论求得的值，进而得到矩形周长与的二次函数关系式，根据二次函数的性质求得最小值即可；
（3）①根据抛物线解析式求得顶点坐标，进而根据的纵坐标与的纵坐标求得最大与最小值求得其差即可，根据的纵坐标大于3和小于等于3求解即可；②过点作轴交于点，过点作于点，根据①中的范围可得，当时，，进而求得点的坐标，根据计算即可
(1)
解：∵抛物线与轴交于两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，A点的坐标是（，0），
∴令，则，
将点代入得
解得
则抛物线的解析式为
(2)
点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，且m>0．
点Q是直线AC上的一个动点，且位于x轴的上方，PQ∥y轴
点在点上方，
,，设直线的解析式为

解得
直线的解析式为
设，则

抛物线的解析式为
对称轴为，顶点坐标为，


根据对称性可得
设矩形的周长为，
①当时，，不能构成矩形，
②当时，
则
当时，
③当时，
则
对称轴为
则当时，不存在最小值
综上所述，矩形的周长的最小值为
(3)
①抛物线的解析式为
对称轴为，顶点坐标为，
又
当时，
解得，

当时，
当时，

②当时，

当时，
解得


则

如图，过点作轴交于点，过点作于点，

抛物线的解析式为
令，则
解得






【点睛】
本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与矩形问题，二次函数与三角形面积问题，掌握二次函数的性质与一次函数的性质是解题的关键．
5、 (1)y= -5x+1000
(2)当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是12500元；
(3)140元
【解析】
【分析】
（1）根据总件数=基础件数+增加件数=200+5（160-x），列出关系式即可；
（2）根据总利润=单件利润×销售件数，构造二次函数，配方法求最值即可；
（3）先根据题意，构造出符合题意的不等式，把不等式转化为一元二次方程，求得两个根，根据抛物线的性质，确定不等式的解集，结合题意，确定价格即可．
(1)
∵售价为每件160元时，每月可销售200件，销售单价每降低1元，则每月可多销售5件，
∴y=200+5（160-x）=-5x+1000．
(2)
根据题意，得w=（x-100）（-5x+1000）
= ，
∵抛物线开口向下，
∴当x=150时，w有最大值，且为12500，
此时应降价160-150=10元，
故当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是12500元．
(3)
根据题意，得-500≥11500，
当-500=11500时，
解得，，
∵抛物线w= 开口向下，
∴-500≥11500的解集为140≤x≤160，
∴让消费者得到最大的实惠，该如何确定该电子玩具的价格x=140元．
【点睛】
本题考查了销售数量与价格的关系，二次函数解决利润问题，二次函数图像与不等式解集的关系，一元二次方程的解法，熟练掌握二次函数的构造方法和性质是解题的关键．