初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试当堂达标检测题
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九年级数学下册第三十章二次函数专项攻克 考试时间:90分钟;命题人:数学教研组考生注意:1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。第I卷(选择题 30分)一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)1、已知平面直角坐标系中有点A(﹣4,﹣4),点B(a,0),二次函数y=x2+(k﹣3)x﹣2k的图象必过一定点C,则AB+BC的最小值是( )A.4 B.2 C.6 D.32、已知二次函数的部分图象如图所示,图象过点,对称轴为直线,下列结论错误的是( )A. B. C. D.3、已知关于的二次函数,当时,随的增大而减小,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.4、已知二次函数的图象上有三点,,,则、、的大小关系为( )A. B. C. D.5、二次函数的图象如图所示,则下列结论正确的是( )A.,, B.,, C.,, D.,,6、如图所示,一座抛物线形的拱桥在正常水位时,水面AB宽为20米,拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米.如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD,那么CD宽为( )A.4米 B.10米 C.4米 D.12米7、已知二次函数,当时,随的增大而减小,则的取值范围是( )A. B. C. D.8、如图,在矩形ABCD中,,,动点P沿折线运动到点B,同时动点Q沿折线运动到点C,点P,Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度,点P,Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度.设运动时间为t秒,的面积为S,则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是( )A. B.C. D.9、若点,都在二次函数的图象上,且,则的取值范围是( )A. B. C. D.10、若二次函数与轴的一个交点为,则代数式的值为( )A. B. C. D.第Ⅱ卷(非选择题 70分)二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)1、中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩.某跳水运动员从起跳至人水的运动路线可以看作是抛物线的一部分.如图所示,该运动员起跳点A距离水面10m,运动过程中的最高点B距池边2.5m,入水点C距池边4m,根据上述信息,可推断出点B距离水面______m.2、已知抛物线,点在抛物线上,则的最小值是______.3、抛物线的顶点坐标是______.4、已知二次函数的图象经过点,那么a的值为_____.5、已知的三个顶点为, 将向右平移 个单位后, 某一边的中点恰好落在二次函数的图象上, 则的值为____________.三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)1、已知直线y1=kx+1(k>0)与抛物线y2=x2.(1)当﹣4≤x≤3时,函数y1与y2的最大值相等,求k的值;(2)如图①,直线y1=kx+1与抛物线y2=x2交于A,B两点,与y轴交于F点,点C与点F关于原点对称,求证:S△ACF:S△BCF=AC:BC;(3)将抛物线y2=x2先向上平移1个单位,再沿直线y1=kx+1的方向移动,使向右平行移动的距离为t个单位,如图②所示,直线y1=kx+1分别交x轴,y轴于E,F两点,交新抛物线于M,N两点,D是新抛物线与y轴的交点,当△OEF∽△DNF时,试探究t与k的关系.2、在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣4mx+m(m≠0)与y交于点P,将抛物线y=x2﹣4mx+m(m≠0)上点P及点P左边的部分图象沿y轴平移,使点P平移后的对应点Q落在(0,﹣m)处,将平移后的图象与原图象剩余部分合称为图象G(1)当m=1时,①求图象G与x轴正半轴的交点坐标;②图象G对应的函数值y随x增大而减小时x的取值范围为 ;(2)当图象G的最低点到x轴的距离为时,求m的值.(3)当过点Q且与y轴垂直的直线与图象G有三个交点时,设另外两个交点为A、B.当Q、A、B三点中,有一点到另外两点的距离之比是1:1时,直接写出线段AB的长度.3、(1)解方程:2x2﹣3x﹣1=0;(2)用配方法求抛物线y=x2+4x﹣5的开口方向、对称轴和顶点坐标.4、如图,抛物线y=ax2+bx﹣3经过A、B、C三点,点A(﹣3,0)、C(1,0),点B在y轴上.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A、B重合).(1)求此抛物线的解析式;(2)过点P作x轴的垂线,垂足为D,交直线AB于点E,动点P在什么位置时,PE最大,求出此时P点的坐标;(3)点Q是抛物线对称轴上一动点,是否存在点Q,使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形?若存在,请求出点Q坐标;若不存在,请说明理由.5、已知二次函数的图象经过点,对称轴是经过且平行于轴的直线.(1)求,的值,(2)如图,一次函数的图象经过点,与轴相交于点,与二次函数的图象相交于另一点,若点与点关于抛物线对称轴对称,求一次函数的表达式.(3)根据函数图象直接写出时,的取值范围. -参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】将抛物线解析式变形求出点C坐标,再根据两点之间线段最短求出AB+BC的最小值即可.【详解】解:二次函数y=x2+(k﹣3)x﹣2k=(x-2)(x-1+k)-2∴函数图象一定经过点C(2,-2)点C关于x轴对称的点的坐标为(2,2),连接,如图,∵∴故选:C【点睛】本题主要考查了二次函数的性质,两点之间线段最短以及勾股定理等知识,明确“两点之间线段最短”是解答本题的关键.2、B【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.【详解】解:A、函数的对称轴在y轴右侧,则ab<0,而c>0,故abc<0,故A正确,不符合题意;B、函数的对称轴为:x=−=1,故2a+b=0,即,图象与x轴交于点A(−1,0),故当时,,即,故B错误,符合题意;C、图象与x轴交于点A(−1,0),其对称轴为直线x=1,则图象与x轴另外一个交点坐标为:(3,0),故当x=2时,y=4a+2b+c>0,故C正确,不符合题意;D、图象与x轴另外一个交点坐标为:(3,0),即x=3时,y=9a+3b+c=0,正确,不符合题意;故选:B.【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系,要求学生熟悉函数的基本性质,能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等.3、C【解析】【分析】由二次函数的性质,取得开口方向以及对称轴,进而可确定出的范围.【详解】解:,抛物线开口向上,对称轴为,当时,随的增大而减小,在时,随的增大而减小,,解得,故选:C.【点睛】本题考查二次函数图象性质,不等式的解法.能够得出关于的不等式,并正确求解不等式是解题关键.4、A【解析】【分析】分别求出、、的大小,再进行判断即可.【详解】解:A、故选项正确,符合题意;B、故选项错误,不符合题意;C、故选项错误,不符合题意;D、故选项错误,不符合题意.故选:A.【点睛】此题考查了二次函数的大小比较问题,解题的关键是掌握二次函数的性质、利用代入法求出、、的大小.5、D【解析】【分析】首先根据二次函数图象的开口方向确定,再根据对称轴在轴右,可确定与异号,然后再根据二次函数与轴的交点可以确定.【详解】解:抛物线开口向上,,对称轴在轴右侧,与异号,,抛物线与轴交于正半轴,,故选:.【点睛】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,关键是掌握二次函数,①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小.当时,抛物线向上开口;当时,抛物线向下开口.②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置.当与同号时(即,对称轴在轴左; 当与异号时(即,对称轴在轴右.(简称:左同右异)③.常数项决定抛物线与轴交点. 抛物线与轴交于.6、B【解析】【分析】以O点为坐标原点,AB的垂直平分线为y轴,过O点作y轴的垂线,建立直角坐标系,设抛物线的解析式为y=ax²,由此可得A(﹣10,﹣4),B(10,﹣4),即可求函数解析式为y=﹣ x²,再将y=﹣1代入解析式,求出C、D点的横坐标即可求CD的长.【详解】解:以O点为坐标原点,AB的垂直平分线为y轴,过O点作y轴的垂线,建立直角坐标系,设抛物线的解析式为y=ax2,∵O点到水面AB的距离为4米,∴A、B点的纵坐标为﹣4,∵水面AB宽为20米,∴A(﹣10,﹣4),B(10,﹣4),将A代入y=ax2,﹣4=100a,∴a=﹣,∴y=﹣x2,∵水位上升3米就达到警戒水位CD,∴C点的纵坐标为﹣1,∴﹣1=﹣x2,∴x=±5,∴CD=10,故选:B.【点睛】本题考查二次函数在实际问题中的应用,找对位置建立坐标系再求解二次函数是关键.7、D【解析】【分析】先求出对称轴x=,再由已知可得 b≥1,即可求b的范围.【详解】解:∵,∴对称轴为直线x=b,开口向下,在对称轴右侧,y随x的增大而减小,∵当x>1时,y随x的增大而减小,∴1不在对称轴左侧,∴b≤1,故选:D.【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系,熟练掌握二次函数的图象及性质,充分理解对称轴与函数增减性之间的关系是解题的关键.8、D【解析】【分析】分别求出点P在AD,BD上,利用三角形面积公式构建关系式,可得结论.【详解】解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=4,∠A=∠C=90°,AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC=60°,∴∠ABD=∠CDB=30°,∴BD=2AD=8,当点P在AD上时,PE⊥BQS△PBQ =·BQ·PE=•(8-2t)•(4-t)•sin60°=(4-t)2(0<t<4),当点P在线段BD上时,QE’⊥BPS△PBQ=·BP·QE’=[12-2(t-4)]•(t-)sin60°=-t2+t-16(4<t≤8),观察图象可知,选项D满足条件,故选:D.【点睛】本题考查了动点问题的函数图象:先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系,然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象,注意自变量的取值范围.9、D【解析】【分析】先求出抛物线的对称轴,再根据二次函数的性质,当点和在直线的右侧时;当点和在直线的两侧时,然后分别解两个不等式即可得到的范围.【详解】抛物线的对称轴为直线,∵,,当点和在直线的右侧,则,解得,当点和在直线的两侧,则,解得,综上所述,的范围为.故选:D.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键.10、D【解析】【分析】把代入即可求出,则,进而可求出代数式的值.【详解】解:二次函数与轴的一个交点为,时,,,,故选:D.【点睛】本题主要考查抛物线与轴的交点,解题的关键是把代入求出的值.二、填空题1、【解析】【分析】如图建立平面直角坐标系,求出抛物线解析式,再求顶点坐标即可.【详解】解:建立平面直角坐标系如图:根据题意可知,点A的坐标为(3,10),点C的坐标为(5,0),抛物线的对称轴为直线x=3.5,设抛物线的的解析式为y=ax2+bx+c,把上面信息代入得,,解得,,抛物线解析式为:,把代入得,;故答案为:【点睛】本题考查了二次函数的应用,解题关键是建立平面直角坐标系,求出二次函数解析式,利用二次函数解析式的性质求解.2、1【解析】【分析】把点代入得,再代入进行配方求解即可.【详解】解:∵点在抛物线上,∴∴∵ ∴的最小值是1,故答案为:1【点睛】本题主要考查了二次函数的性质,能用含a的代数式表示出2a+b是解答本题的关键.3、 (2,-1)【解析】【分析】先把抛物线配方为顶点式,再确定顶点坐标即可.【详解】解:,∴抛物线的顶点坐标为(2,-1).故答案为(2,-1).【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标,掌握抛物线配方为顶点式的方法是解题关键.4、【解析】【分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式可得到的值.【详解】解:二次函数的图象经过点,,解得:.故答案为:.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式.5、【解析】【分析】求得三角形三边中点的坐标,然后根据平移规律可得平移后的中点坐标,再根据平移后的中点在二次函数的图象上,进而算出m的值.【详解】解:∵△ABC的三个顶点为A(-1,-1),B(-1,3),C(-3,-3),∴AB边的中点(-1,1),BC边的中点(-2,0),AC边的中点(-2,-2),∵将△ABC向右平移m(m>0)个单位后,∴AB边的中点平移后的坐标为(-1+m,1),BC边的中点平移后的坐标为(-2+m,0),AC边的中点平移后的坐标为(-2+m,-2),∵二次函数的图象在x轴的下方,点(-1+m,1)在x轴的上方,∴AB边的中点不可能在二次函数的图象上,把(-2+m,0)代入,得-2(-2+m)2=0,解得m=2;把(-2+m,-2)代入,得-2(-2+m)2=-2,解得m1=1,m2=3;∴的值为1,2,3,故答案为1,2,3.【点睛】此题主要考查了平移的性质,中点坐标公式,二次函数图象上点的坐标特点,关键是掌握二次函数图象上的点(x,y)的横纵坐标满足二次函数解析式.三、解答题1、 (1)(2)证明见解析(3)【解析】【分析】(1)根据函数图象的性质可知,当时,, ,,有,求解即可;(2)如图,分别过点作交点分别为,设两点横坐标分别为,由题意知:,, ,,;有,,,,故可证;(3)平移后的二次函数解析式为,与y轴的交点坐标为,可知,有相同的纵坐标,可得,解得,知点横纵标,在点一次函数与二次函数相交,有相同的纵坐标,可得,进而可得的关系.(1)解:∵,∴根据函数图象的性质可知,当时,, ∵∴解得.(2)证明:如图,分别过点作交点分别为∴设两点横坐标分别为,由题意知:∴, ∵∴∵,∴∴∴.(3)解:由题意知,平移后的二次函数解析式为,与y轴的交点坐标为,∵∴∴有相同的纵坐标∴解得故可知点横纵标∵在点一次函数与二次函数相交,有相同的纵坐标∴解得.【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合,相似三角形等知识.解题的关键在于灵活运用知识求解.2、 (1)①(,0),(,0);②或(2)或(3)或【解析】【分析】(1)①令y=0,得一元二次方程,求出方程的解即可解决问题;②将抛物线解析式配方找出对称轴,结合函数图象解答问题即可;(2)分两种情况结合图象G的最低点到x轴的距离为列出方程求解即可;(3)分两种情况求出点A,B的坐标,根据Q、A、B三点中,有一点到另外两点的距离之比是1:1列方程求出mr wfhg,gmf fiy AB的长即可(1)①当m=1时,y=x2﹣4mx+m=x2﹣4x+1令y=0,则x2﹣4x+1=0解得,,∴图象G与x轴正半轴的交点坐标(,0),(,0)②y=x2﹣4x+1= ∴函数y=x2﹣4x+1对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-3),且开口向上如图,∴图象G对应的函数值y随x增大而减小时x的取值范围为或 故答案为:或(2)当时,∵y=x2﹣4mx+m又∵ ∴①当0<m<时,>0,即点Q是图象G的最低点,∴,不符合题意舍去,②当m≥时,≤0,即抛物线的顶点是图象G的最低点,∴ 解得,,(舍去)当时,同理可得,综上,m的值为或(3)当时,如图所示,当时,则有 配方得, 解得, ∴ ∴ ∵ ∴ ∴整理得, 解得,经检验,是原方程的根,但m≠0∴∴;当时,如图,当时,则有 配方得, 解得, ∴ 平移后的图象解析式为 当时,则有解得, ∴ ∴ ∵,即 ∴解得, 经检验是原方程的根,但m≠0∴∴综上所述,AB的长为:或【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质,解题的关键是理解题意,学会用转化的思想思考问题,学会利用参数构建方程确定交点坐标.3、(1) ;(2)抛物线的开口向上,对称轴为直线 ,顶点坐标为【解析】【分析】(1)利用公式法,即可求解;(2)先将抛物线解析式化为顶点式,即可求解.【详解】解:(1) ∵ ,∴ ,∴ ,∴ ;(2) ∴抛物线的开口向上,对称轴为直线 ,顶点坐标为 .【点睛】本题主要考查了解一元二次方程,二次函数的图象和性质,熟练掌握一元二次方程的解法,二次函数的图象和性质是解题的关键.4、 (1)y=x2+2x﹣3;(2)(﹣,)(3)(-1,2)或(-1,﹣4)或(-1,)或(-1,)【解析】【分析】(1)把点A,B代入y=ax2+bx﹣3即可;(2)设P(x,x2+2x﹣3),求出直线AB的解析,用含x的代数式表示出点E坐标,即可用含x的代数式表示出PE的长度,由函数的思想可求出点P的横坐标,进一步求出其纵坐标;(3)设点Q(-1,a),然后分类讨论利用勾股定理列出关于a的方程求解.(1)解:把A(﹣3,0)和C(1,0)代入y=ax2+bx﹣3,得,,解得,,∴抛物线解析式为y=x2+2x﹣3;(2)解:设P(x,x2+2x﹣3),直线AB的解析式为y=kx+b,由抛物线解析式y=x2+2x﹣3,令x=0,则y=﹣3,∴B(0,﹣3),把A(﹣3,0)和B(0,﹣3)代入y=kx+b,得,,解得,,∴直线AB的解析式为y=﹣x﹣3,∵PE⊥x轴,∴E(x,﹣x﹣3),∵P在直线AB下方,∴PE=﹣x﹣3﹣( x2+2x﹣3)=﹣x2﹣3x=﹣(x+)2+,当x=﹣时,y=x2+2x﹣3=,∴当PE最大时,P点坐标为(﹣,);(3)存在,理由如下,∵x=﹣=-1,∴抛物线的对称轴为直线x=-1,设Q(-1,a),∵B(0,-3),A(-3,0),①当∠QAB=90°时,AQ2+AB2=BQ2,∴22+a2+32+32=12+(3+a)2,解得:a=2,∴Q1(-1,2),②当∠QBA=90°时,BQ2+AB2=AQ2,∴12+(3+a)2+32+32=22+a2,解得:a=﹣4,∴Q2(-1,﹣4),③当∠AQB=90°时,BQ2+AQ2=AB2,∴12+(3+a)2+22+a2=32+32,解得:a1=或a1=,∴Q3(-1,),Q4(-1,),综上所述:点Q的坐标是(-1,2)或(-1,﹣4)或(-1,)或(-1,).【点睛】本题是二次函数的综合题,主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理,解题的关键是用含有未知数的代数式表达点的坐标和线段的长度.5、 (1)(2)(3)或
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