数学九年级下册第30章 二次函数综合与测试课后复习题

九年级数学下册第三十章二次函数章节测试

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于，两点，且过，两点．若，则ab的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

2、抛物线的对称轴是（     ）

A．直线 B．直线 C．直线 D．直线

3、如图，在矩形ABCD中，，，动点P沿折线运动到点B，同时动点Q沿折线运动到点C，点P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（       ）

A． B．

C． D．

4、在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象大致如图（　　）

A． B．

C． D．

5、已知，是抛物线上的点，且，下列命题正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

6、某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率，第3年的销售量为台，则关于的函数解析式为（       ）

A． B．

C． D．

7、将二次函数y=2x2的图像先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的函数图像的表达式为（     　）

A．y=2(x+2)2+3 B．y=2(x-2)2+3 C．y=2(x+2)2-3 D．y=2(x-2)2-3

8、抛物线的顶点坐标为（　　）

A．（﹣4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（4，﹣5） D．（4，5）

9、将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　）

A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3

10、将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是（       ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知点A（﹣7，m）、B（﹣5，n）都在二次函数y＝﹣x2+4的图像上，那么m、n的大小关系是：m_____n．（填“＞”、“＝”或“＜”）

2、当k－2≤x≤k时，函数y＝x2－4x＋4（k为常数）的最小值为4，则k的值是____．

3、如图边长为n的正方形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴的正半轴上，A1、A2、A3、...、An﹣1为OA的n等分点，B1、B2、B3、...、Bn﹣1为CB的n等分点，连接A1B1、A2B2、A3B3、...、An﹣1Bn﹣1，分别交于点C1、C2、C3、...、Cn﹣1.当B25C25＝8C25A25时，则n＝_____．

4、抛物线y＝（x﹣1）2＋3的顶点坐标为___．

5、二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，根据图中信息可求得该二次函数的解析式为______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C(0，3)，其对称轴是直线x＝1，点P是抛物线上第一象限内的点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交BC于点D，且点P的横坐标为m．

(1)求这条抛物线对应的函数表达式；

(2)如图1，PE⊥BC，垂足为E，当DE＝BD时，求m的值；

(3)如图2，连接AP，交BC于点H，则的最大值是      ．

2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x﹣4与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C．点B（12，0），联结BC．

(1)求该抛物线解析式；

(2)求∠ACB的正弦值；

(3)如图，点D为抛物线上一点，直线AD交y轴于点E，交线段BC于点F．若△ECA∽△EFC，求点D的坐标．

3、在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点，（点在点的左侧），点是抛物线上一点．

(1)若，时，用含的式子表示；

(2)若，，，的外接圆为，求点的坐标和弧的长；

(3)在（1）的条件下，若有最小值，求此时的抛物线解折式

4、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2－2ax＋4（a＞0）．

(1)抛物线的对称轴为x＝　   ；抛物线与y轴的交点坐标为　   ；

(2)若抛物线的顶点恰好在x轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式；

(3)若A（m－1，y1），B（m，y2），C（m＋2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，结合图象，求m的取值范围．

5、已知二次函数的图象经过点．

(1)求二次函数的表达式；

(2)求二次函数的图象与轴的交点坐标．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

由题意可设抛物线为y=（x-m）（x-n），则，再利用二次函数的性质可得答案.

【详解】

解：由已知二次项系数等于1的一个二次函数，

其图象与x轴交于两点（m，0），（n，0），

所以可设交点式y=（x-m）（x-n），

分别代入，，

∴

∵0＜m＜n＜3，

∴0＜≤4 ，0＜≤4 ，

∵m＜n，

∴ab不能取16 ，

∴0＜ab＜16 ，

故选D

【点睛】

本题考查的是二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质得到是解本题的关键.

2、B

【解析】

【分析】

由抛物线解析式的顶点式即可求得抛物线的对称轴．

【详解】

抛物线的对称轴是直线，

故选：B．

【点睛】

本题考查了抛物线的图象与性质，当抛物线的解析式为时，对称轴为直线；当抛物线的解析式为时，对称轴为直线x=h．

3、D

【解析】

【分析】

分别求出点P在AD，BD上，利用三角形面积公式构建关系式，可得结论．

【详解】

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=4，∠A=∠C=90°，AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC=60°，

∴∠ABD=∠CDB=30°，

∴BD=2AD=8，

当点P在AD上时，PE⊥BQ

S△PBQ =·BQ·PE

=•（8-2t）•（4-t）•sin60°

=（4-t）2（0＜t＜4），

当点P在线段BD上时，QE’⊥BP

S△PBQ=·BP·QE’

=[12-2(t-4)]•（t-）sin60°

=-t2+t-16（4＜t≤8），

观察图象可知，选项D满足条件，

故选：D．

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．

4、B

【解析】

【分析】

分别利用函数解析式分析图象得出答案．

【详解】

解：A、二次函数开口向下，k＜0；一次函数图象经过第一、三象限，k＞0，故此选项错误；

B、两函数图象符合题意；

C、二次函数开口向上，k＞0；一次函数图象经过第二、四象限，k＜0，故此选项错误；

D、一次函数解析式为：y=kx-2，图象应该与y轴交在负半轴上，故此选项错误．

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，正确得出k的符号是解题关键．

5、C

【解析】

【分析】

先求出抛物线对称轴，再根据两个点距对称轴距离判断即可．

【详解】

解：抛物线的对称轴为：直线，

∵，

当，点到对称轴的距离近，即，当，点到对称轴的距离远，即，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题关键是求出抛物线的对称轴，根据点距对称轴的远近，进行判断开口．

6、B

【解析】

【分析】

根据增长率问题的计算公式解答．

【详解】

解：第2年的销售量为，

第3年的销售量为，

故选：B．

【点睛】

此题考查了增长率问题的计算公式，a是前量，b是后量，x是增长率，熟记公式中各字母的意义是解题的关键．

7、A

【解析】

【分析】

按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．

【详解】

解：抛物线y=2x2先向左平移2个单位得到解析式：y=2（x+2）2，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y=2（x+2）2+3．

故选：A．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．

8、A

【解析】

【分析】

根据抛物线的顶点坐标为 ，即可求解．

【详解】

解：抛物线的顶点坐标为．

故选：A

【点睛】

本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线的顶点坐标为是解题的关键．

9、B

【解析】

【分析】

根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．

【详解】

解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，得：y＝（x﹣3）2；

再向上平移5个单位长度，得：y＝（x﹣3）2+5，

故选：B．

【点睛】

本题考察了二次函数抛物线的平移问题，解题的关键是根据左加右减，上加下减的平移规律进行求解．

10、C

【解析】

【分析】

根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．

【详解】

解：因为y=x2-2x+3=（x-1）2+2．

所以将抛物线y=（x-1）2+2先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y=（x-1+2）2+2-1，即y=（x+1）2+1．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

先利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为轴，然后根据二次函数的性质解决问题．

【详解】

解：二次函数可知，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为轴，

所以当时，随的增大而增大，

，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也考查了二次函数的性质．

2、0或6##6或0

【解析】

【分析】

先求出函数的顶点坐标，再根据题意分情况讨论即可求解．

【详解】

∵y=x2-4x+4=（x-2）2

∴顶点坐标为（2,0）

∴当k≤2时，x=k时，函数y=x2-4x+4的最小值为4

故k2-4k+4=4

解得k=0或k=4(舍去)

当k-2≥2时，x= k-2时，函数y=x2-4x+4的最小值为4

故（k-2）2-4（k-2）+4=4

解得k=6或k=2(舍去)

故答案为6或0．

【点睛】

此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是根据题意分情况讨论．

3、75

【解析】

【分析】

根据题意表示出OA25，B25A25的长，由B25C25=8C25A25确定点C25的坐标，代入解析式计算得到答案．

【详解】

解：∵正方形OABC的边长为n，点A1，A2，…，An-1为OA的n等分点，点B1，B2，…，Bn-1为CB的n等分点，

∴OA25= •n=25，A25B25=n，

∵B25C25=8C25A25，

∴C25（25，），

∵点C25在上，

∴，

解得n=75．

故答案为：75．

【点睛】

本题考查的是二次函数图象上点的特征和正方形的性质，根据正方形的性质表示出点C25的坐标是解题的关键．

4、（1，3）

【解析】

【分析】

根据顶点式判断顶点即可．

【详解】

解：∵抛物线解析式为y＝（x﹣1）2＋3

∴顶点坐标是（1，3）．

故答案为：（1，3）

【点睛】

本题考查了二次函数解析式---顶点式，明确的顶点坐标为（h，k）是解答本题的关键．

5、y=－x2－2x+3

【解析】

【分析】

根据图象与x、y轴的交点坐标和对称轴，利用待定系数法求二次函数的解析式即可．

【详解】

解：设该二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），

由图象知：当x=1时，y=0，当x=0时，y=3，又对称轴为直线x=－1，

则，解得：，

∴该二次函数的解析式为y=－x2－2x+3，

故答案为：y=－x2－2x+3．

【点睛】

本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解答的关键．

三、解答题

1、 (1)

(2)m=2

(3)

【解析】

【分析】

（1）根据对称轴是直线x=1，利用二次函数对称轴方程可求出b，再根据抛物线与y轴的交点坐标C（0，3）可求出c，即可求出二次函数解析式；

（2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，可得OB=OC，继而得出△OBC是等腰直角三角形，由PQ⊥OB，PE⊥BC，可得△DQB和△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BQ=DQ，BD=，DE=PD，由P的横坐标是m，用含m表示出DE、BD的长，再根据DE=BD列方程求解；

（3）过点A作垂直x轴直线交BC与点G，先直线BC解析式，再求AG，由 PQ⊥OB，AG⊥OB，可得 PQ∥AG，继而可得△PDH∽△AHG，由相似三角形的性质可得，再根据二次函数求最值求解即可

(1)

将C （0，3）代入y=-x2+bx+c可得c=3，

∵对称轴是直线x=1，

∴=1，即-=l，解得b=2，

∴二次函数解析式为y=-x2+2x+3；

(2)

令解得，

∴A(-1，0)，B（3，0），

∴OB=3，

∵OC=3，

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴∠OBC=45°，BC=，

∵PQ⊥OB，PE⊥BC，

∴∠PQB=∠PED=90°，

∴∠QDB=∠PDE=∠OBC=45°，

∴△DQB和△PED是等腰直角三角形，

∴BQ=DQ，BD=，DE=，

∵P点横坐标是m，且在抛物线上，

∴PQ=，OQ=m，

∴BQ=DQ=3-m，BD=，

∴PD=PQ-DQ=，DE=，

∵DE＝BD，

∴，

解得：（舍去），

∴m=2

(3)

过点A作x轴的垂线交BC于点G，

设直线BC的解析式为：y=kx+b，

将B（3，0），C（0，3）代入，可得：

，

解得，

∴直线BC的解析式为：y=-x+3，

∵A（-1，0），

∴G（-1，4），

∴AG=4，

∴PQ⊥OB，AG⊥OB，

∴PQ∥AG，

∴△PDH∽△AHG，

∴，

∴当a=时，有最大值，最大值是．

故答案为：

【点睛】

本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数最值问题，相似三角形的性质与判定等知识，第（3）问将比例转化是解题关键．

2、 (1)抛物线的解析式为

(2)∠ACB的正弦值为

(3)点D的坐标为

【解析】

【分析】

（1）将A点坐标代入，求出的值，然后回代抛物线的解析式即可；

（2）根据抛物线解析式求出点的坐标，知是等腰直角三角形，求出的值，如图，延长，作，垂足为，为等腰直角三角形，求出的值，在中，，由勾股定理知，，将线段值代入求解即可；

（3）由可知，，，在中，，解得的值，得到点坐标，设过两点的直线解析式为，将两点坐标代入求得解析式，然后与抛物线解析式联立求出D点坐标即可；

(1)

解：将代入中得

解得

∴抛物线的解析式为： ．

(2)

解：将代入解得

∴点坐标为

∵

∴

∴是等腰直角三角形

∴

∴

∵B点坐标为

∴

如图，延长，作，垂足为

∴

∴

∴为等腰直角三角形

∴

在中，，由勾股定理知

∴

∴的正弦值为．

(3)

解：∵

∴

∵，

∴

∴

∴在中，

∴解得

∴点坐标为

∴设过两点的直线解析式为

将两点坐标代入解析式得

解得

∴过两点的直线解析式为

联立一次函数解析式与抛物线解析式得

消得

解得或（舍去）

∴

∴D点坐标为．

【点睛】

本题考查了二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，正弦值，勾股定理，三角形相似，一次函数与二次函数的交点坐标等知识．解题的关键在于对知识的综合灵活运用．

3、 (1)

(2)E点坐标为，弧长为

(3)

【解析】

【分析】

（1）将，代入，计算求解即可；

（2）将与代入，得到，然后将解析式因式分解，得到点坐标分别为；如图，在直角坐标系中作，连接；点为中点，坐标为；点为中点，坐标为，，，有，，，，，得的值，进而可求出点坐标；，知，，AE= ，根据求解即可；

（3），知，， 最小时，有，解得值，故可得值，进而可得出抛物线的解析式．

(1)

解：将与代入

得

∴用含的式子表示为．

(2)

解：将与代入

得

∴

∴点坐标分别为

如图，作，连接

∴，

∴点为中点，坐标为即；点为中点，坐标为即

∵

∴

∴

∴

∵，，

∴

∴点坐标为

∵

∴

∴

∴AE=

∴的坐标为，的长为．

(3)

解：由题意知

∵，

∴

∵最小时，有解得

∴

∴．

【点睛】

本题考查了代数式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值，三角形相似的判定与性质，三角形的外接圆，弧长等知识．解题的关键与难点在于对知识的熟练掌握并能灵活运用．

4、 (1)1，（0，4）

(2)顶点坐标为（1，0），y＝4x2－8x＋4

(3)

【解析】

【分析】

（1）根据二次函数对称轴公式，以及与y轴的交点坐标公式；

（2）根据二次函数与x轴交点公式，以及待定系数法求解析式；

（3）先求对称点坐标根据函数的增减性解决本题．

(1)

解：，

当x＝0时，y＝ax2－2ax＋4＝4，

所以抛物线的对称轴是直线x＝1，抛物线与y轴的交点坐标是（0，4），

故答案为：1，（0，4）．

(2)

解：∵抛物线的顶点恰好在x轴上，

∴抛物线的顶点坐标为（1，0），

把（1，0）代入y＝ax2－2ax＋4得：0＝a×12－2a×1＋4，

解得：a＝4，

∴抛物线的解析式为y＝4x2－8x＋4．

(3)

解：A（m－1，y1）关于对称轴x＝1的对称点为A′（3－m，y1），

B（m，y2）关于对称轴x＝1的对称点为B′（2－m，y2），

若要y1＞y3＞y2，则3－m＞m＋2＞2－m，解得：．

【点睛】

本题考查二次函数图像求对称轴公式，以及与x轴，y轴的交点公式，以及函数的增减性，掌握数形结合的思想是解决本题的关键．

5、 (1)y＝x 2+ x﹣；

(2)（0，﹣）．

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法，把代入函数解析式即可求；

（2）令x＝0，求得y的值即可得出结论．

(1)

解：∵二次函数y＝a（x+1）2﹣2的图象经过点（﹣5，6），

∴a（﹣5+1）2﹣2＝6．

解得：a＝．

∴二次函数的表达式为：y＝（x+1）2﹣2，即y＝x 2+ x﹣；

(2)

解：令x＝0，则y＝×（0+1）2﹣2＝﹣，

∴二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣）．

【点睛】

本题主要考查了待定系数法确定抛物线的解析式，二次函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键．