冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试测试题

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九年级数学下册第三十章二次函数章节练习 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、抛物线的对称轴是（       ）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线2、对于二次函数，下列说法正确的是（       ）A．若，则y随x的增大而增大 B．函数图象的顶点坐标是C．当时，函数有最大值－4 D．函数图象与x轴有两个交点3、如图，要在二次函数的图象上找一点，针对b的不同取值，所找点M的个数，有下列三种说法：①如果，那么点M的个数为0；②如果．那么点M的个数为1；③如果，那么点M的个数为2．上述说法中正确的序号是（       ）A．① B．② C．③ D．②③4、如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（       ）A．米 B．10米 C．米 D．12米5、抛物线的函数表达式为，若将y轴向左平移3个单位长度，将x轴向下平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（       ）A． B．C． D．6、二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x＞0时，函数值y的取值范围是（　　）A． B．y≤2 C．y＜2 D．y≤37、二次函数的图像如图所示，那么点在（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8、已知点，，都在函数的图象上，则（       ）A． B． C． D．9、抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴是（　　）A．直线x＝3 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝4 D．直线x＝﹣410、如图，在中，，，，是边上一动点，沿的路径移动，过点作，垂足为．设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（       ）A． B．C． D．第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知点A（﹣7，m）、B（﹣5，n）都在二次函数y＝﹣x2+4的图像上，那么m、n的大小关系是：m_____n．（填“＞”、“＝”或“＜”）2、如图，院子里有块直角三角形空地ABC，∠C＝90°．直角边AC＝3m、BC＝4m，现准备修一个如图所示的矩形DEFG的养鱼池，当矩形DEFG面积最大时，EF的长为 _____．3、某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留宽的门，所有围栏的总长（不含门）为，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为______．4、抛物线的对称轴是直线，则它的顶点坐标为______5、如图，在矩形中，，点E是的中点，连接，以点为原点，建立平面直角坐标系，点M是上一动点，取的中点为N，连接，则的最小值是________．（提示：两点间距离公式 ）三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知抛物线y＝ax2＋bx＋5（a为常数，a≠0）交x轴于点A（－1，0）和点B（5，0），交y轴于点C．(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；(2)若点P是抛物线上一点，且PB＝PC，求点P的坐标；(3)点Q是抛物线的对称轴l上一点，当QA＋QC最小时，求点Q的坐标．2、2022年北京冬奥会即将召开，敢起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴建立平而直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点О正上方3米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．(1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时离水平线的高度为7米．求抛物线的函数表达式（不要求写出自变量工的取值范围）；(2)在（1）的条件下．当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员恰好落在小山坡的B处？3、二次函数（、、是常数，）的自变量和函数值部分对应值如下表：…-3-2-101……8545…根据以上列表，回答下列问题：(1)直接写出、的值；(2)求此二次函数的解析式．4、已知二次函数y＝x2＋2x．(1)写出该二次函数图象的对称轴．(2)已知该函数图象经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个不同的点．①当x1＝3n＋4，x2＝2n﹣1，且y1＝y2时，求n的值．②当x1＞﹣1，x2＞﹣1时，求证：（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞05、如图1，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点P是直线上一动点．(1)求直线的解析式；(2)若点P关于原点O的对称点Q刚好落在抛物线上，求点P的坐标；(3)如图2，连接，过点P作PEBC交x轴于点E，连接，将沿对折，点P的对应点恰好落在x轴上时，求点E的坐标． -参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】抛物线的对称轴为：，根据公式直接计算即可得．【详解】解：，其中：，，，，故选：C．【点睛】本题考查的是抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴的公式是解本题的关键，注意对称轴是直线．2、A【解析】【分析】先将二次函数的解析式化为顶点式，再逐项判断即可求解．【详解】解：∵，且 ，∴二次函数图象开口向下，∴A、若，则y随x的增大而增大，故本选项正确，符合题意；B、函数图象的顶点坐标是，故本选项错误，不符合题意；C、当时，函数有最大值-2，故本选项错误，不符合题意；∵ ，∴D、函数图象与x轴没有交点，故本选项错误，不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．3、B【解析】【分析】把点M的坐标代入抛物线解析式，即可得到关于a的一元二次方程，根据根的判别式即可判断．【详解】解：∵点M（a，b）在抛物线y=x（2-x）上， 当b=-3时，-3=a（2-a），整理得a2-2a-3=0，∵△=4-4×（-3）＞0，∴有两个不相等的值，∴点M的个数为2，故①错误；当b=1时，1=a（2-a），整理得a2-2a+1=0，∵△=4-4×1=0，∴a有两个相同的值，∴点M的个数为1，故②正确；当b=3时，3=a（2-a），整理得a2-2a+3=0，∵△=4-4×3＜0，∴点M的个数为0，故③错误；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．4、B【解析】【分析】以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，由此可得A（-10，-4），B（10，-4），即可求函数解析式，再将y=-1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长．【详解】以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，∵O点到水面AB的距离为4米，∴A、B点的纵坐标为-4，∵水面AB宽为20米，∴A（-10，-4），B（10，-4），将A代入y=ax2，-4=100a，∴，∴，∵水位上升3米就达到警戒水位CD，∴C点的纵坐标为-1，∴∴x=±5，∴CD=10，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的应用，根据题意建立合适的直角坐标系，在该坐标系下求二次函数的解析式是解题的关键．5、C【解析】【分析】此题可以转化为求将抛物线“向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度”后所得抛物线解析式，将抛物线直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为 ，∴将抛物线向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度后得到的抛物线顶点坐标为 ，∴将抛物线向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度后得到的抛物线的解析式为，∴将y轴向左平移3个单位长度，将x轴向下平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为．故选：C【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律——左加右减，上加下减是解题关键．6、A【解析】【分析】根据待定系数求解析式，进而求得顶点坐标，即的最大值，进而即可求得答案【详解】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为，与轴的交点为，与轴的一个交点为，∴另一交点为设抛物线解析式为，将点代入得解得抛物线解析式为则顶点坐标为当x＞0时，函数值y的取值范围是故选A【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，化为顶点式是解题的关键．7、C【解析】【分析】根据对称轴的位置、开口方向、与y轴的交点的位置即可判断出a、b、c的符号，进而求出的符号．【详解】由函数图像可得：∵抛物线开口向上，∴a＞0，又∵对称轴在y轴右侧，∴，∴b<0，又∵图象与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴∴在第三象限故选：C【点睛】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．根据对称轴的位置、开口方向、与y轴的交点的位置判断出a、b、c的符号是解题的关键．8、C【解析】【分析】把点的坐标分别代入函数解析式可分别求得、、，再比较其大小即可．【详解】解：点，，都在函数的图象上，，，，，故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．9、A【解析】【分析】直接利用抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4，求得对称轴方程为：x=3．【详解】解：抛物线y=﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴方程为：直线x=3，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，解题的关键是掌握：二次函数的顶点式与对称轴的关系．10、D【解析】【分析】分两种情况分类讨论：当0≤x≤6.4时，过C点作CH⊥AB于H，利用△ADE∽△ACB得出y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当6.4＜x≤10时，利用△BDE∽△BCA得出y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．【详解】解：∵，，，∴BC=，过CA点作CH⊥AB于H，∴∠ADE=∠ACB=90°，∵，∴CH=4.8，∴AH=，当0≤x≤6.4时，如图1，∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°，∴△ADE∽△ACB，∴，即，解得：x=，∴y=•x•=x2；当6.4＜x≤10时，如图2，∵∠B=∠B，∠BDE=∠ACB=90°，∴△BDE∽△BCA，∴，即，解得：x=，∴y=•x•=；故选：D．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系式．二、填空题1、【解析】【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为轴，然后根据二次函数的性质解决问题．【详解】解：二次函数可知，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为轴，所以当时，随的增大而增大，，，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也考查了二次函数的性质．2、##【解析】【分析】过点作，交于点，等面积法求得，设，进而根据得出比例式，根据矩形的面积为，得到关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求得面积最大时的的值，进而求得的长．【详解】解：如图，过点作，交于点，∠C＝90°．直角边AC＝3m、BC＝4m，设，则四边形是矩形，整理得设矩形的面积为，则当取得最大值时，，此时故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．3、14【解析】【分析】设平行于墙体的材料长度为 ，则垂直于墙体的材料长度为 根据题意列出函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解．【详解】解：设平行于墙体的材料长度为 ，建成的饲养室的总面积为 ，则垂直于墙体的材料长度为 根据题意得：建成的饲养室的总面积为 ，∴当 时，建成的饲养室面积最大，即此时利用墙体的长度为 ．故答案为：14【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．4、【解析】【分析】根据顶点坐标公式求得横坐标等于2，即可求得的值，进而求得顶点坐标．【详解】抛物线的对称轴是直线即抛物线解析式为当时，它的顶点坐标为【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，求得的值是解题的关键．5、【解析】【分析】分别求出点A，C，E的坐标，求出直线BE的解析式，设点的坐标为，由中点坐标公式得，由两点之间的距离公式得：，进一步可得出AN的最小值．【详解】解：在矩形中，，点是的中点，，∴，设直线BE的解析式为y=kx，把E（3，3）代入y=kx，得，k=1直线的函数解析式为，设点的坐标为，点是上一动点，，点是的中点，，由两点之间的距离公式得：，由二次函数的性质得：在内，随的增大而增大，则当时，取得最小值，最小值为36，因此，的最小值为，故答案为：．【点睛】本题这一切考查了坐标与图形以及二次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．三、解答题1、 (1)，(2)或(3)【解析】【分析】（1）对于，当时，，求得，解方程组即可得到结论；（2）根据，，得到，连接，设的中点为，求得，，得到直线的解析式为，设，解方程即可得到结论；（3）由（1）知，抛物线的对称轴为直线，根据轴对称的性质得到，，当，，三点共线时，最小，即最小，求得直线的解析式为，把代入即可得到结论．(1)解：对于，当时，，，抛物线为常数，交轴于点和点，，解得，抛物线的解析式为；(2)解：，，，连接，设的中点为，，，直线的解析式为，，点在直线上，设，点是抛物线上一点，，解得，点的坐标为，或，；(3)解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线，点与点关于对称，点在直线上，，，当，，三点共线时，最小，即最小，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，把代入得，，，当最小时，求点的坐标．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，轴对称最短路线问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式．2、 (1)(2)运动员运动的水平距离为12米时，运动员恰好落在小山坡的B处【解析】【分析】（1）运用待定系数法求解即可；（2）设运动员运动的水平距离为m米时，依题意列出方程求解即可．(1)由题意可知抛物线过点和，将其代人得：， 解得： ，∴抛物线的函数表达式为：(2)设运动员运动的水平距离为m米时，依题意得：整理得：，解得： （舍去），故运动员运动的水平距离为12米时，运动员恰好落在小山坡的B处．【点睛】本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．3、 (1)c=5，m=8(2)y=x²+2x+5【解析】【分析】(1)根据抛物线的对称性及表格中函数值x相等可求出对称轴进而求出m的值；根据自变量x=0可求出抛物线与y轴的交点，即可求得c的值；(2)根据对称轴为x=-1，得到抛物线顶点为(-1,4)，设顶点式为y=a(x+1)2+4，代入其中一个点求出a的值即可求出二次函数解析式．(1)解：根据图表可知：二次函数的图象过点(0，5)，(-2，5)，∴二次函数的对称轴为：直线，∵直线x=-3到对称轴x=-1的距离为2，直线x=1到对称轴x=-1的距离也为3，∴(-3，8)的对称点为(1，8)，∴m=8，当x=0时，由表格中数据可知：c=5．(2)解：∵对称轴是直线x=-1，∴由表格中数据可知：顶点为(-1，4)，设y=a(x+1)2+4，将(0，5)代入y=a(x+1)2+4得，a+4=5，解得a=1，∴这个二次函数的解析式为y=(x+1)2+4=x²+2x+5．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求出函数对称轴是解本题的关键．4、 (1)直线x=-1(2)①-1；②见解析【解析】【分析】（1）直接根据对称轴公式求解；（2）①将x1和x2代入函数表达式，根据y1＝y2得到方程，解之即可；②将（x1﹣x2）（y1﹣y2）变形为（x1﹣x2）2（x1＋x2+2），再根据x1＞﹣1，x2＞﹣1判断出结果的符号，即可证明．(1)解：二次函数y＝x2＋2x中，对称轴为直线x==-1；(2)①当x1＝3n＋4，x2＝2n﹣1，且y1＝y2时，y1＝（3n＋4）2＋2（3n＋4）＝9n2+30n+24，y2＝（2n﹣1）2＋2（2n﹣1）＝4n2-1，则9n2+30n+24＝4n2-1，解得：n=-5或n=-1；当时， 不符合题意，舍去，所以 ②（x1﹣x2）（y1﹣y2）=（x1﹣x2）[（x12＋2x1）﹣（x22＋2x2）]=（x1﹣x2）（x12＋2x1﹣x22﹣2x2）=（x1﹣x2）2（x1＋x2+2）∵x1＞﹣1，x2＞﹣1，∴x1＋x2+2＞-1-1+2=0，又∵A（x1，y1），B（x2，y2）是两个不同的点，∴x1≠x2，∴（x1﹣x2）2＞0，∴（x1﹣x2）2（x1＋x2+2）＞0，即（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，解一元二次方程，因式分解的应用，解题的关键是要灵活运用因式分解将式子变形．5、 (1)(2)或(3)或【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式令即可求得的坐标，令即可求得点的坐标，进而待定系数法求得直线的解析式；（2）由（1）设点，则在上，代入解方程即可求得的值，进而求得点的值；（3）先求得直线的解析式，进而表示出解析式，得点的坐标为，进而根据平行得，根据相似三角形的性质可得，根据勾股定理及逆定理证明是直角三角形，进而可得对称后的点与重合，进而可得，求得点的纵坐标，进而根据求得的值，即可求得点的坐标．(1)解：已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，令，得即令，即解得设直线的解析式为，将点代入得，解得直线的解析式为(2)点P是直线上一动点，直线的解析式为设点，点P关于原点O的对称点Q刚好落在抛物线上，则在上即解得或或(3)依题意，设点，设直线的解析式为，将点代入得，解得直线的解析式为PEBC设直线的解析式为令，，则点的坐标为，，PEBC是直角三角形将沿对折，点P的对应点恰好落在x轴上时，,与点重合，则，解得或即或解得或或 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，轴对称问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，一次函数的平移问题，设参数求解是解题的关键．