数学九年级下册第30章 二次函数综合与测试综合训练题

这是一份数学九年级下册第30章 二次函数综合与测试综合训练题，共30页。试卷主要包含了已知点，，都在函数的图象上，则等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数课时练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，要在二次函数的图象上找一点，针对b的不同取值，所找点M的个数，有下列三种说法：①如果，那么点M的个数为0；②如果．那么点M的个数为1；③如果，那么点M的个数为2．上述说法中正确的序号是（ ）

A．① B．② C．③ D．②③
2、如图，若二次函敞的图象过点，且与x轴交点横坐标分别为，，其中，．得出结论：①；②；③；④．上述结论正确的有（ ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
3、对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则y随x的增大而增大 B．函数图象的顶点坐标是
C．当时，函数有最大值－4 D．函数图象与x轴有两个交点
4、二次函数的图像如图所示，那么点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5、如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，对称轴为直线．结合图象分析下列结论：①；②；③；④一元二次方程的两根分别为；⑤若为方程的两个根，则且．其中正确的结论个数是（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6、二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+c的图象不经过（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7、二次函数 的图像如图所示， 现有以下结论： （1） ： （2） ； （3）， （4） ； （5） ； 其中正确的结论有（ ）

A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个．
8、已知点，，都在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
9、二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表：

…
－3
－2
－1
0
1
…

…
－11
－3
1
1
－3
…
对于下列结论：①二次函数的图像开口向下；②当时，随的增大而减小；③二次函数的最大值是1；④若，是二次函数图像与轴交点的横坐标，则，其中，正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②④
10、关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别为－1和5，则二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是（ ）
A．x＝－3 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝3
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如下：
x
…
﹣3
0
1
3
5
…
y
…
7
﹣8
﹣9
﹣5
7
…
则一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝﹣5的解为 _____．
2、若将二次函数y＝x2﹣2x+3配方为y＝（x﹣h）2+k的形式，则y＝___________．
3、将二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，最终所得图象的函数表达式为______．
4、已知多项式除以的余数分别为，则除以所得余式的最大值为_________．
5、如图，抛物线与轴交于点，，若对称轴为直线，点的坐标为（-3，0），则不等式的解集为______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，6）和B（﹣2，﹣2）．

(1)求c的值，并用含a的代数式表示b；
(2)当a＝时．
①求此函数的解析式，并写出当﹣4≤x≤2时，y的最大值和最小值；
②如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的左侧交点为C，作直线AC，D为直线AC下方抛物线上一动点，与AC交于点F，作DM⊥AC于点M．是否存在点D使△DMF的周长最大？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．
2、某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求公司销售该商品获得的最大日利润．
3、在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)，直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝a+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
(1)判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；
(2)求a，b的值；
(3)平移抛物线y＝a+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
4、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2)若点P在第二象限内，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？判断此时△ABP的形状，并证明你的结论．
(3)在（2）的前提下，有一动点Q在抛物线上运动（线段AB的下方），当Q点运动到什么位置时，△ABQ的面积等于△ABP的面积．
5、某政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可看作一次函数：，已知当销售单价定为25元时，李明每月获得利润为1250元．
(1)求的值；
(2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？并求最大利润是多少？
（注：利润=（销售单价-进价）×销售量）

-参考答案-
一、单选题
1、B
【解析】
【分析】
把点M的坐标代入抛物线解析式，即可得到关于a的一元二次方程，根据根的判别式即可判断．
【详解】
解：∵点M（a，b）在抛物线y=x（2-x）上，

当b=-3时，-3=a（2-a），整理得a2-2a-3=0，
∵△=4-4×（-3）＞0，
∴有两个不相等的值，
∴点M的个数为2，故①错误；
当b=1时，1=a（2-a），整理得a2-2a+1=0，
∵△=4-4×1=0，
∴a有两个相同的值，
∴点M的个数为1，故②正确；
当b=3时，3=a（2-a），整理得a2-2a+3=0，
∵△=4-4×3＜0，
∴点M的个数为0，故③错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
2、C
【解析】
【分析】
由二次函数的图象开口向上，轴对称在轴的左侧，图象与轴交于负半轴，可判断①，二次函敞的图象过点，结合图象可得：在抛物线上，再求解抛物线的对称轴可判断②，二次函敞的顶点坐标为：可判断③，先利用时的函数值求解的取值范围，从而可判断④，从而可得答案.
【详解】
解：由二次函数的图象开口向上，轴对称在轴的左侧，图象与轴交于负半轴，

故①符合题意；
二次函敞的图象过点，结合图象可得：
在抛物线上，
抛物线的对称轴为：


故②符合题意；
二次函敞的顶点坐标为：结合图象可得：
而

故③不符合题意；
当时，


又由图象可得：时，

解得：

故④符合题意；
综上：符合题意的有：①②④
故选C
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的图象与性质判断代数式的符号”是解本题的关键.
3、A
【解析】
【分析】
先将二次函数的解析式化为顶点式，再逐项判断即可求解．
【详解】
解：∵，且 ，
∴二次函数图象开口向下，
∴A、若，则y随x的增大而增大，故本选项正确，符合题意；
B、函数图象的顶点坐标是，故本选项错误，不符合题意；
C、当时，函数有最大值-2，故本选项错误，不符合题意；
∵ ，
∴D、函数图象与x轴没有交点，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
4、C
【解析】
【分析】
根据对称轴的位置、开口方向、与y轴的交点的位置即可判断出a、b、c的符号，进而求出的符号．
【详解】
由函数图像可得：
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
又∵对称轴在y轴右侧，
∴，
∴b0，
对称轴x=-＜0，得b0，∴a+b+c>0，故命题正确；
（5）∵抛物线与x轴于两个交点，∴b2-4ac＞0，故命题正确；
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
8、C
【解析】
【分析】
把点的坐标分别代入函数解析式可分别求得、、，再比较其大小即可．
【详解】
解：点，，都在函数的图象上，
，，，
，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
9、A
【解析】
【分析】
根据待定系数法确定函数解析式，再根据函数的图象与性质求解即可．
【详解】
解：把（-1，1），（1，-3），（-2，-3）代入，得

解得，
∴二次函数式为：
∵
∴二次函数的图像开口向下，故①正确；
∵
∴对称轴为直线
∴当时，随的增大而减小，故②正确；
当时，二次函数的最大值是，故③错误；
若，是二次函数图像与轴交点的横坐标，则，故④错误
∴正确的是①②
故答案为①②
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10、C
【解析】
【分析】
一元二次方程的两个根分别是和5，则二次函数图象与轴的交点坐标为、，根据函数的对称性即可求解．
【详解】
解：一元二次方程的两个根分别是和5，
则二次函数图象与轴的交点坐标为、，
根据函数的对称性，函数的对称轴为直线，
故选：C．
【点睛】
本题考查抛物线与轴的交点与对称轴的关系，解题的关键是掌握若抛物线与轴交点的横坐标为和，则抛物线的对称轴为．
二、填空题
1、，
【解析】
【分析】
从表中找到三对数值，将三对数值分别代入y=ax2+bx+c组成方程组，求出a、b、c的值，然后再运用因式分解法求解方程即可得到结论．
【详解】
解：将（-3，7），（0，-8），（1，-9）代入y=ax2+bx+c得，

整理得，
②×3+①，得
∴
把代入②得，
∴
又
∴一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝﹣5可变形为：
即：
∴
∴，或
解得，，
故答案为：，
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式和一元二次方程的解法，从图表中找到相关的量是解题的关键．
2、
【解析】
【分析】
利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【详解】
y＝x2﹣2x+3＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2
故本题答案为：y＝（x﹣1）2+2．
【点睛】
本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式，关键是配方法的运用．
3、y＝（x﹣2）2﹣2．
【解析】
【分析】
根据函数图象向右平移自变量减，向下平移常数项减，可得答案．
【详解】
解；将二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是y＝（x﹣2）2﹣2，
故答案为：y＝（x﹣2）2﹣2．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移的规律是左加右减自变量，上加下减常数项．
4、5
【解析】
【分析】
先根据已知得出，再设，从而可得一个关于的方程组，解方程组可得的值，然后利用二次函数的性质即可得出答案．
【详解】
解：多项式除以的余数为1，
，
当时，，
同理可得：，
设除以所得商式为，余式为（因为除式是三次的，所以余式至多是二次的），
则，
因此有，
解得a=-1b=6c=-4，
所以余式为，
由二次函数的性质得：当时，余式取得最大值，最大值为5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了多项式的除法、二次函数的性质等知识点，正确设出余式的一般形式是解题关键．
5、
【解析】
【分析】
函数的对称轴为直线，与轴交点，则另一个交点，进而求解．
【详解】
解：函数的对称轴为直线，与轴交点，则另一个交点，
观察函数图象知，不等式的解集为：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，解题的关键是要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
三、解答题
1、 (1)c=6；b=2a+4
(2)①最小值为−，最大值为20；②D(−3，−)．
【解析】
【分析】
（1）分别把 A（0，6）和B（-2，-2）代入解析式，可得c和b的值．
（2）①当a＝时，此函数表达式为y＝x2+x+6，图象开口向上，由顶点坐标公式可知顶点坐标，根据二次函数的性质，当在顶点时函数值最小观察图象结合增减性，当x=2时，y有最大值．②令y=0，得C的坐标，设直线AC的解析式为y=kx+m，把A（0，6），C（-6，0）代入可得直线AC解析式，设D(x，x2+x+6)则F（x，x+6），得FD的值，设△FDM的周长为l，则l＝DF+DM+MF＝，当FD最大时，周长最大，根据二次函数的性质可得最大值．
(1)
把（0，6）代入y=ax2+bx+c，
得c=6．
把（-2，-2）代入y=ax2+bx+6，
得4a-2b+6=-2，
∴b=2a+4．
(2)
①当a＝时，
∴，且c=6
∴函数表达式为y＝x2+x+6=，图象开口向上．
∴顶点坐标为，

∵-4≤x≤2，
∴当x＝−时，y的最小值为−．
观察图象结合增减性，当x=2时，y有最大值，
把x=2代入y＝x2+x+6，
y的最大值为20．
②∵y＝x2+x+6，
令y=0，则x=-6或x＝−，
∵点C在左侧，
∴C（-6，0）
设直线AC的解析式为y=kx+m，
把A（0，6），C（-6，0）代入y=kx+m，得
m=6-6k+m=0
解得k=1，m=6，
∴y=x+6
设D(x，x2+x+6)则F（x，x+6）
∴FD＝x+6−(x2+x+6)＝−x2−x，
∵OA=OC=6，∠AOC=90°，
∴∠COA=90°，
∵DF∥AO，
∴∠DFM=∠CAO=45°，
DM＝FM＝FD，
设△FDM的周长为l，
则l＝DF+DM+MF＝
当FD最大时，周长最大，
又∵，
又∵−＜0且-6＜x＜0，
∴x=-3时，FD有最大值，即此刻△FDM周长最大．
把x=-3代入y＝x2+x+6，
得y＝−，
∴D(−3，−)．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解本题要熟练掌握二次函数的性质，求二次函数的解析式、待定系数法，数形结合是解题关键．
2、 (1)y=-x+120；
(2)最大日利润是2025元．
【解析】
【分析】
（1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式，也可以根据关系直接写出关系式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值．
(1)
解：设解析式为y=kx+b，
将（40，80）和（60，60）代入，可得，
解得：，
所以y与x的关系式为y=-x+120；
(2)
解：设公司销售该商品获得的日利润为w元，
w=（x-30）y=（x-30）（-x+120）
=-x2+150x-3600
=-（x-75）2+2025，
∵x-30≥0，-x+120≥0，
∴30≤x≤120，
∵-1＜0，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当x=75时，w最大=2025，
答：当销售单价是75元时，最大日利润是2025元．
【点睛】
本题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目．
3、 (1)在，见解析
(2)a＝﹣1，b＝2
(3)当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B（2，3）在直线y＝x+m上；
（2）因为直线经过A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；
（3）设平移后的抛物线为y＝﹣+px+q，其顶点坐标为（，），根据题意得出=，由抛物线y＝﹣+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q=-=，从而得出q的最大值．
(1)
点B是在直线y＝x+m上，理由如下：
∵直线y＝x+m经过点A（1，2），
∴2＝1+m，解得m＝1，
∴直线为y＝x+1，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；
(2)
∵直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），且B、C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A、C两点，
把A（1，2），C（2，1）代入y＝a+bx+1得，
解得a＝﹣1，b＝2；
(3)
由（2）知，抛物线为y＝﹣+2x+1，
设平移后的抛物线为y＝﹣+px+q，
∴顶点坐标为（，），
∵其顶点仍在直线y＝x+1上，
∴=，
∴q=-=，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．
【点睛】
本题考查了图像与点的关系，待定系数法确定函数解析式，配方法求二次函数最值，熟练掌握待定系数法，灵活配方求最值是解题的关键．
4、 (1)，C（1，0）；
(2)△ABP的形状为直角三角形，见解析；
(3)Q的坐标为（﹣2+2，﹣2+2）或（﹣2﹣2，﹣2﹣2）
【解析】
【分析】
（1）先通过直线求得与坐标轴的交点，然后应用待定系数法即可求得抛物线的解析式，进而求得抛物线与x轴的交点．
（2）设出D的坐标（t，0），根据已知表示点E、P的坐标，根据PD⊥x轴即可求得线段PE关于t的解析式，配方即可得最大值，再算出此时的△ABP的三边即可得知其形状．
（3）过P作AB的平行线l，通过平移得到直线l关于线段AB对称的直线l'，再求得l'与抛物线交点即可得Q的坐标．
(1)
解：如图1，

∵直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x+4，
令y＝0，则﹣x2﹣3x+4＝0，
解得x＝﹣4或x＝1，
∴C（1，0）；
(2)
解：如图2，

设D（t，0），
∴E（t，t+4），P（t，﹣t2﹣3t+4），
∴PE＝﹣t2﹣3t+4﹣t﹣4＝﹣（t+2）2+4，
∴当t＝﹣2时，线段PE有最大值是4，此时P（﹣2，6）；
△ABP的形状为直角三角形，
证明：∵AP2＝（﹣2+4）2+（6﹣0）2＝40，BA2＝（﹣4﹣0）2+（0﹣4）2＝32，BP2＝（﹣2﹣0）2+（6﹣4）2＝8，
∴BA2+BP2＝AP2，
∴△ABP的形状为直角三角形；
(3)
解：如图，过P作AB的平行线l，

设直线l的解析式为：y＝x+m，
代入（﹣2，6），得：6＝﹣2+m，
解得：m＝8，即直线l：y＝x+8，
∵直线AB：y＝x+4，直线l：y＝x+8，
∴将直线l向下平移8个单位即可得到直线l关于线段AB对称的直线l'，
∴直线l'：y＝x，
令y＝x＝﹣x2﹣3x+4，
解得：x＝﹣2+2或﹣2﹣2，
∴Q的坐标为（﹣2+2，﹣2+2）或（﹣2﹣2，﹣2﹣2）．
【点睛】
此题是一次函数与二次函数的综合题，考查了求一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，勾股定理的逆定理，二次函数的最值，一次函数的平移规律，一次函数与二次函数交点坐标，此题综合性比较强，较基础，综合掌握各知识点并应用是解题的关键．
5、 (1)的值是500；
(2)当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元
【解析】
【分析】
（1）根据利润=（销售单价-进价）×销售量列方程求解即可；
（2）根据利润=（销售单价-进价）×销售量得到w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
(1)
解：由题意可得，，
解得：，
答：的值是500；
(2)
解：设利润为w元，
由题意：，
，
∵-10