数学九年级下册第30章 二次函数综合与测试测试题

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九年级数学下册第三十章二次函数专题训练 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（       ）A．  B．C．  D．2、抛物线y＝x2+4x+5的顶点坐标是（　　）A．（2，5） B．（2，1） C．（﹣2，5） D．（﹣2，1）3、若关于的一元二次方程的两根分别为，，则二次函数的对称轴为直线（     ）A． B． C． D．4、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论正确的是（       ）A．ac＞0 B．a+b＝1 C．4ac﹣b2≠4a D．a+b+c＞05、已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．6、在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象大致如图（　　）A． B．C． D．7、在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（　　）A．（4，2） B．（﹣2，2） C．（4，﹣2） D．（﹣2，﹣2）8、根据表格对应值：x1.11.21.31.4ax2＋bx＋c﹣0.590.842.293.76判断关于x的方程ax2＋bx＋c＝2的一个解x的范围是（       ）A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x＜1.4 D．无法判定9、已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论错误的是（       ）A． B． C． D．10、一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）A． B．C． D．第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如果抛物线经过点A（3，6）和点B（﹣1，6），那么这条抛物线的对称轴是直线_____．2、将二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，最终所得图象的函数表达式为______．3、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ．则线段OQ的最大值是______．4、在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，请写出一个使的的整数值 __．5、已知二次函数的图象顶点坐标是，还经过点，它的图象与轴交于、两点，则线段的长为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，求此二次函数表达式．2、已知二次函数y＝x2－2x－3的图象为抛物线C．(1)写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)当2≤x≤4时，求该二次函数的函数值y的取值范围；(3)将抛物线C先向右平移2个单位长度，得到抛物线C1；再将抛物线C1向下平移1个单位长度，得到抛物线C2，请直接写出抛物线C1，C2对应的函数解析式．3、如图，二次函数（m是实数，且）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C，已知点D位于第一象限，且在对称轴上，，点E在x轴的正半轴上，．连接ED并延长交y轴于点F，连接AF．(1)求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）；(2)已知点Q在抛物线的对称轴上，当的周长的最小值等于，求m的值．4、借鉴我们已有研究函数的经验，探索函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图像与性质，研究过程如下，请补充完整．(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣2﹣101234…y…m03n305…其中，m＝　 　，n＝　 　；(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图像；(3)观察函数图像：①写出该函数的一条性质 　 　；②已知函数y＝x＋4的图像如图所示根据函数图像，直接写出不等式x＋4＜|x2﹣2x﹣3|的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）5、在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（2，3），且交x轴于A（﹣1，0）、B（m，0），求m的值及二次函数图象的对称轴. -参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据一次函数，二次函数的图象与性质逐一分析两个解析式中的的符号，再判断即可.【详解】解：选项A：由的图象可得： 由的图象可得：则 故A不符合题意；选项B：由的图象可得： 由的图象可得：则而抛物线的对称轴为： 则 故B不符合题意；选项C：由的图象可得： 由的图象可得：则 故C不符合题意；选项D：由的图象可得： 由的图象可得：则 而抛物线的对称轴为： 则 故D符合题意；故选D【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键.2、D【解析】【分析】利用顶点公式（﹣，），进行解题．【详解】解：∵抛物线y＝x2+4x+5∴x＝﹣＝﹣＝﹣2，y=＝1∴顶点为（﹣2，1）故选：D．【点睛】此题主要考查二次函数的顶点坐标，解题的关键是熟知二次函数的顶点公式为（﹣，）．3、C【解析】【分析】根据两根之和公式可以求出对称轴公式．【详解】解：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为−2和4，∴x1＋x2＝− ＝2．∴二次函数的对称轴为x＝−＝×2＝1．故选：C．【点睛】本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．4、D【解析】【分析】由抛物线开口方向及抛物线与轴交点位置，即可得出、，进而判断结论A；由抛物线顶点的横坐标可得出，进而判断结论B；由抛物线顶点的纵坐标可得出，进而判断结论C；由、，进而判断结论D．由此即可得出结论．【详解】解：A、抛物线开口向下，且与轴正半轴相交，，，，结论A错误，不符合题意；B、抛物线顶点坐标为，，，，即，结论B错误，不符合题意；C、抛物线顶点坐标为，，，，结论C错误，不符合题意；D、，，，结论D正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，解题的关键是观察函数图象，逐一分析四个选项的正误．5、C【解析】【分析】由二次函数的性质,取得开口方向以及对称轴，进而可确定出的范围．【详解】解：，抛物线开口向上，对称轴为，当时，随的增大而减小，在时，随的增大而减小，，解得，故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象性质，不等式的解法．能够得出关于的不等式，并正确求解不等式是解题关键．6、B【解析】【分析】分别利用函数解析式分析图象得出答案．【详解】解：A、二次函数开口向下，k＜0；一次函数图象经过第一、三象限，k＞0，故此选项错误；B、两函数图象符合题意；C、二次函数开口向上，k＞0；一次函数图象经过第二、四象限，k＜0，故此选项错误；D、一次函数解析式为：y=kx-2，图象应该与y轴交在负半轴上，故此选项错误．故选：B．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，正确得出k的符号是解题关键．7、D【解析】【分析】求出抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为 ，即可求解．【详解】解：∵ ，∴抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为 ，∴将抛物线y＝x2﹣2x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 ．故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象平移法则“左加右减，上加下减”是解题的关键．8、B【解析】【分析】利用表中数据可知当x=1.3和x=1.2时，代数式ax2＋bx＋c的值一个大于2，一个小于2，从而判断当1.2＜x＜1.3时，代数式ax2＋bx＋c的值为2．【详解】解：当x=1.3时，ax2＋bx＋c=2.29，当x=1.2时，ax2＋bx＋c=0.84，∵0.84＜2＜2.29，∴方程解的范围为1.2＜x＜1.3，故选：B【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解，解题关键是观察函数值的变化情况．9、B【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：A、函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故A正确，不符合题意；B、函数的对称轴为：x＝−＝1，故2a+b＝0，即，图象与x轴交于点A（−1，0），故当时，，即，故B错误，符合题意；C、图象与x轴交于点A（−1，0），其对称轴为直线x＝1，则图象与x轴另外一个交点坐标为：（3，0），故当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＞0，故C正确，不符合题意；D、图象与x轴另外一个交点坐标为：（3，0），即x＝3时，y＝9a＋3b＋c＝0，正确，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．10、C【解析】【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．【详解】A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能；B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，B不可能；C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不可能．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限．二、填空题1、【解析】【分析】根据点，的坐标，利用二次函数的性质可求出抛物线的对称轴，此题得解．【详解】解：抛物线经过点和点，抛物线的对称轴为直线．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线的对称性，找出抛物线的对称轴．2、y＝（x﹣2）2﹣2．【解析】【分析】根据函数图象向右平移自变量减，向下平移常数项减，可得答案．【详解】解；将二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是y＝（x﹣2）2﹣2，故答案为：y＝（x﹣2）2﹣2．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移的规律是左加右减自变量，上加下减常数项．3、【解析】【分析】连接PB，当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，而OQ是△ABP的中位线，即可求解．【详解】令，则x＝±4，故点B（4，0），∴OB=4设圆的半径为r，则r＝2，连接PB，如图，∵点Q、O分别为AP、AB的中点，∴OQ是△ABP的中位线，当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OQ最大，∵C（0，3）∴OC=3在Rt△OBC中，由勾股定理得：则，故答案为3.5．【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识，连接PB并运用三角形中位线定理是本题的关键和难点．4、2（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数图象可以直接得到答案．【详解】解：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，则当的的取值范围是：，的值可以是2．故答案为：2（答案不唯一）．【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点坐标，需要学生熟悉二次函数图象的性质并要求学生具备一定的读图能力．5、6【解析】【分析】求出抛物线解析式，再求出、两点横坐标，利用坐标求出线段的长即可．【详解】解：二次函数的图象顶点坐标是，设抛物线解析式为，把代入得，，解得，抛物线解析式为，当y=0时，，解得，，，线段的长为2+4=6；故答案为：6．【点睛】本题考查了求二次函数解析式和抛物线与x轴交点，解题关键是求出抛物线解析式，熟练求出抛物线与x轴交点横坐标．三、解答题1、y＝﹣x2﹣2x+3【解析】【分析】根据图象确定经过抛物线的三个点，设二次函数解析式为y＝a(x+3)(x﹣1)，再代入(0,3)利用待定系数法计算即可．【详解】解：由图象可知，抛物线经过(﹣3，0)、(1，0)、(0，3)，设抛物线的解析式为：y＝a(x+3)(x﹣1)，代入点(0,3)，则3＝a(0+3)(0﹣1)，解得：a＝﹣1，则抛物线的解析式为：y＝﹣(x+3)(x﹣1)，整理得到：y＝﹣x2﹣2x+3．【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，属于基础题，计算过程中细心即可．2、 (1)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为(2)(3)，【解析】【分析】（1）将二次函数化为顶点式，由此可得答案；（2）分别求出时，时的函数值，根据函数的增减性解答；（3）根据二次函数的平移规律解答．(1)解：∵，∴抛物线C的开口向上．∵，∴抛物线C的对称轴为直线，顶点坐标为．(2)解：当时，y随x的增大而增大；∵当时，；当时，．∴函数值y的取值范围是．(3)解：抛物线对应的函数解析式为；抛物线对应的函数解析式为．【点睛】此题考查了将二次函数化为顶点式，二次函数的性质，利用函数的增减求出函数值的取值范围，二次函数的平移规律，熟记各知识点是解题的关键．3、 (1)，，(2)【解析】【分析】（1）把代入函数解析式，可得，再利用因式分解法解方程可得的坐标，再求解函数的对称轴，可得的坐标；（2）先证明，利用相似三角形的性质求解，利用三角形的中位线定理再求解．再利用勾股定理求解，如图，当点、、三点共线时，的长最小，此时的周长最小．可得．再利用勾股定理列方程，解方程可得答案．(1)令 则， ∴，，∴对称轴为直线，∴．(2)在中， ，∴∠ODC=∠CBD， ， ，． ．∵轴，轴，∴．∵，∴．∴．在中，，∴，即．（负根舍去）∵点与点关于对称轴对称，∴．∴如图，当点、、三点共线时，的长最小，此时的周长最小．∴的周长的最小值为，∴的长最小值为，即．∵，∴．∴．∵，∴．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图象的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，根据对称性求最值，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．4、 (1)5，4(2)见解析(3)①图象具有对称性，对称轴是直线x=1；②x＜-1.6或x＞4.3【解析】【分析】（1）把x=-2和x=1分别代入y=|x2-2x-3|，即可求得；（2）描点、连线画出图象即可；（3）①根据图象即可求得；②根据图象即可求得．【小题1】解：把x=-2代入y=|x2-2x-3|，得y=5，∴m=5，把x=1代入y=|x2-2x-3|，得y=4，∴n=4，故答案为：5，4；【小题2】如图所示；【小题3】①函数的性质：图象具有对称性，对称轴是直线x=1；故答案为：图象具有对称性，对称轴是直线x=1；②由图象可知，不等式x+4＜|x2-2x-3|的解集为x＜-1.6或x＞4.3．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一次不等式，注意利用数形结合的思想是解此题的关键．5、m=3，对称轴为直线x=1【解析】【分析】先根据待定系数法求出二次函数的解析式，令y=0求解x即可求得m，进而可求得二次函数图象的对称轴．【详解】解：将（2，3）和（－1，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，得：，解得：，∴y＝﹣x2+2x+3，令y=0，则﹣x2+2x+3=0，即x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=－1，x2=3，∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为A（－1，0）和B（3，0），∴m=3，该二次函数图象的对称轴为直线x=1．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与坐标轴的交点问题、二次函数图象的对称轴，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤是解答的关键．