初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试达标测试

九年级数学下册第三十章二次函数同步测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（       ）

A．1 B．-1 C． D．无法确定

2、已知，是抛物线上的点，且，下列命题正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

3、如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），且与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），此时抛物线与y轴交于点A′，则AA′的长度为（　　）

A．2 B．3 C．3 D．D3

4、已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则（　　）

A．b＞0，c＞0，Δ＝0 B．b＜0，c＞0，Δ＝0

C．b＜0，c＜0，Δ＝0 D．b＞0，c＞0，Δ＞0

5、将二次函数y=2x2的图像先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的函数图像的表达式为（     　）

A．y=2(x+2)2+3 B．y=2(x-2)2+3 C．y=2(x+2)2-3 D．y=2(x-2)2-3

6、若关于的一元二次方程的两根分别为，，则二次函数的对称轴为直线（     ）

A． B． C． D．

7、在抛物线的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

8、若二次函数与轴的一个交点为，则代数式的值为（       ）

A． B． C． D．

9、二次函数图像的顶点坐标是（       ）

A．（0，－2） B．（－2，0） C．（2，0） D．（0，2）

10、如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，对称轴为直线．结合图象分析下列结论：①；②；③；④一元二次方程的两根分别为；⑤若为方程的两个根，则且．其中正确的结论个数是（       ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知抛物线y＝（x﹣1）2有点A（0，y1）和B（3，y2），则y1___y2．（用“＞”，“＜”，“＝”填写）

2、最大值与最小值之和为_________．

3、把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为________．

4、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ．则线段OQ的最大值是______．

5、当x≥m时，两个函数y1＝﹣（x﹣4）2＋2和y2＝﹣（x﹣3）2＋1的函数值都随着x的增大而减小，则m的最小值为_____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知二次函数的图象经过点．

(1)求二次函数的表达式；

(2)求二次函数的图象与轴的交点坐标．

2、如图，抛物线经过点，，．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为，求的最大值并求出此时点的坐标；

(3)设抛物线的顶点为，在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

3、如图，已知抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点．

(1)求抛物线的表达式；

(2)若M是抛物线上点A，C之间（含点A，C）的一个动点，直接写出点M的纵坐标的取值范围．

(3)平移直线，设平移后的直线为l，记l与y轴的交点为，若l与上方的抛物线有唯一交点，求m的取值范围．

4、如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线（）图象经过，，三点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)是抛物线对称轴上的一点，当的值最小时，求点坐标；

(3)若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值．

5、已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象经过点（2，0）．

(1)求a的值．

(2)求二次函数图象与x轴的交点坐标．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；

【详解】

当a＞0时，∵对称轴为x=，

当x=1时，y有最小值为2，当x=3时，y有最大值为4a+2，

∴4a+2-2=4．

∴a=1，

当a＜0时，同理可得

y有最大值为2； y有最小值为4a+2，

∴2-(4a+2)=4，

∴a=-1，

综上，a的值为

故选：C

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键．

2、A

【解析】

【分析】

根据抛物线解析式可确定对称轴为，根据点与对称轴的距离的大小以及函数值的大小关系即可判断的符号，即开口方向

【详解】

解：∵的对称轴为，且

∴若，

则离对称轴远，则抛物线的开口朝下，即，故A正确

若，

则离对称轴远，则抛物线的开口朝上，即，故C不正确

对于B,D选项不能判断的符号

故选A

【点睛】

本题考查了二次函数图象的性质，掌握的性质是解题的关键．

3、B

【解析】

【分析】

先运用待定系数法求出原抛物线的解析式，再根据平移不改变二次项系数，得出平移后的抛物线解析式，求出A′的坐标，进而得出AA′的长度．

【详解】

∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），

∴y＝a（x+2）2+2，

∵与y轴交于点A（0，3），

∴3＝a（0+2）2+2，解得a＝

∴原抛物线的解析式为：y＝（x+2）2+2，

∵平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），

∴平移后的抛物线为y＝（x﹣1）2﹣1，

∴当x＝0时，y＝，

∴A′的坐标为（0，），

∴AA′的长度为：3﹣（）＝3．

故选：B．

【点睛】

本题考查了平移、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．

4、B

【解析】

【分析】

根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定b的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定△的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案．

【详解】

解：∵抛物线的开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，

∴＞0，

∴b＜0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，

∴c＞0，

∵抛物线与x轴有一个交点，

∴Δ=0，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与系数的关系，牢记抛物线的对称轴公式．

5、A

【解析】

【分析】

按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．

【详解】

解：抛物线y=2x2先向左平移2个单位得到解析式：y=2（x+2）2，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y=2（x+2）2+3．

故选：A．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．

6、C

【解析】

【分析】

根据两根之和公式可以求出对称轴公式．

【详解】

解：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为−2和4，

∴x1＋x2＝− ＝2．

∴二次函数的对称轴为x＝−＝×2＝1．

故选：C．

【点睛】

本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．

7、C

【解析】

【分析】

把三个点，，的横坐标代入解析式，然后比较函数值大小即可．

【详解】

解：把三个点，，的横坐标代入解析式得，

；；；

所以，，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题关键是求出函数值，再比较大小．

8、D

【解析】

【分析】

把代入即可求出，则，进而可求出代数式的值．

【详解】

解：二次函数与轴的一个交点为，

时，，

，

，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查抛物线与轴的交点，解题的关键是把代入求出的值．

9、C

【解析】

【分析】

直接利用顶点式写出二次函数的顶点坐标即可得到正确的选项．

【详解】

解：抛物线的顶点坐标为，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解二次函数的顶点式，难度不大．

10、C

【解析】

【分析】

根据图像，确定a，b，c的符号，根据对称轴，确定b，a的关系，当x=-1时，得到a-b+c=0，确定a，c的关系，从而化简一元二次方程，求其根即可，利用平移的思想，把y=的图像向上平移1个单位即可，确定方程的根．

【详解】

∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，

∴c＜0，

∵抛物线的对称轴在y轴的右边，

∴b＜0，

∴，

故①正确；

∵二次函数的图像与x轴交于点，

∴a-b+c=0，

根据对称轴的左侧，y随x的增大而减小，

当x=-2时，y＞0即，

故②正确；

∵，

∴b= -2a，

∴3a+c=0，

∴2a+c=2a-3a= -a＜0，

故③正确；

根据题意，得，

∴，

解得，

故④错误；

∵=0，

∴，

∴y=向上平移1个单位，得y=+1，

∴为方程的两个根，且且．

故⑤正确；

故选C．

【点睛】

本题考查了抛物线的图像与系数的符号，抛物线的对称性，抛物线与一元二次方程的关系，抛物线的增减性，平移，熟练掌握抛物线的性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键．

二、填空题

1、＜

【解析】

【分析】

分别把A、B点的横坐标代入抛物线解析式求解即可．

【详解】

解：x＝0时，y1＝（0﹣1）2＝1，

x＝3时，y3＝（3﹣1）2＝4，

∴y1＜y2．

故答案为：＜．

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出相应的函数值是解题的关键．

2、##

【解析】

【分析】

将已知式子化成，分和两种情况，再利用一元二次方程根的判别式可得一个关于的不等式，然后利用二次函数的性质求出的取值范围，从而可得的最大值与最小值，由此即可得出答案．

【详解】

解：由得：，

①当时，；

②当时，则关于的方程根的判别式大于或等于0，

即，

整理得：，

解方程得：，

则对于二次函数，当时，的取值范围为，且，

综上，的取值范围为，

所以的最大值为3，最小值为，

所以的最大值与最小值之和为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式、二次函数的性质等知识，将求最值问题转化为一元二次方程问题是解题关键．

3、

【解析】

【分析】

根据“左加右减、上加下减”的平移原则进行解答即可．

【详解】

解：抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为

故答案为：（或）

【点睛】

本题考查了二次函数的平移，掌握函数平移规律是解题的关键．

4、

【解析】

【分析】

连接PB，当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，而OQ是△ABP的中位线，即可求解．

【详解】

令，则x＝±4，

故点B（4，0），

∴OB=4

设圆的半径为r，则r＝2，

连接PB，如图，

∵点Q、O分别为AP、AB的中点，

∴OQ是△ABP的中位线，

当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OQ最大，

∵C（0，3）

∴OC=3

在Rt△OBC中，由勾股定理得：

则，

故答案为3.5．

【点睛】

本题考查了抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识，连接PB并运用三角形中位线定理是本题的关键和难点．

5、4

【解析】

【分析】

先确定两个函数的开口方向和对称轴，再得出符合条件的x的取值范围，从而得到m的最小值．

【详解】

解：函数y1＝﹣（x﹣4）2＋2开口向下，对称轴为直线x=4，

函数y2＝﹣（x﹣3）2＋1开口向下，对称轴为直线x=3，

当函数值都随着x的增大而减小，

则x≥4，即m的最小值为4，

故答案为：4．

【点睛】

本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的基本性质．

三、解答题

1、 (1)y＝x 2+ x﹣；

(2)（0，﹣）．

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法，把代入函数解析式即可求；

（2）令x＝0，求得y的值即可得出结论．

(1)

解：∵二次函数y＝a（x+1）2﹣2的图象经过点（﹣5，6），

∴a（﹣5+1）2﹣2＝6．

解得：a＝．

∴二次函数的表达式为：y＝（x+1）2﹣2，即y＝x 2+ x﹣；

(2)

解：令x＝0，则y＝×（0+1）2﹣2＝﹣，

∴二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣）．

【点睛】

本题主要考查了待定系数法确定抛物线的解析式，二次函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键．

2、 (1)

(2)当时，有最大值，此时点的坐标为

(3)在轴上存在点，能够使得是直角三角形，此时点的坐标为或或或．

【解析】

【分析】

（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；

（2）过点作轴的垂线交于，过点作轴的垂线，交于点，先运用待定系数法求出直线的解析式，设点坐标为，根据的解析式表示出点的坐标，再根据就可以表示出的面积，运用顶点式就可以求出结论；

（3）分三种情况进行讨论：①以为直角顶点；②以为直角顶点；③以为直角顶点；设点的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出的值即可．

(1)

解：抛物线经过点，，，

，解得．

抛物线的解析式为：；

(2)

如图，过点作轴的垂线交于，过点作轴的垂线，交于点．

设直线的解析式为，由题意，得

，解得，

直线的解析式为：．

设点坐标为，则点的坐标为，

．

，

，

当时，有最大值，此时点的坐标为；

(3)

解：在轴上是存在点，能够使得是直角三角形．理由如下：

，

顶点的坐标为，

，

．

设点的坐标为，分三种情况进行讨论：

①当为直角顶点时，如图3①，

由勾股定理，得，

即，

解得，

所以点的坐标为；

②当为直角顶点时，如图3②，

由勾股定理，得，

即，

解得，

所以点的坐标为；

③当为直角顶点时，如图3③，

由勾股定理，得，

即，

解得或，

所以点的坐标为或；

综上可知，在轴上存在点，能够使得是直角三角形，此时点的坐标为或或或．

【点睛】

本题考查了二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，解题的关键是运用数形结合、分类讨论及方程思想进行求解．

3、 (1)；

(2)；

(3)-1<m<3或．

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法求解；

（2）将函数解析式化为顶点式，得到抛物线的顶点坐标，即可得到的取值范围；

（3）利用待定系数法求出直线AC的解析式，得到直线l的解析式为y=-x+m，求出点B的坐标，由此得到当直线l与BC段相交时，m的取值范围；解，求出当时m的值，由此得到m的取值范围．

(1)

解：将点、代入中，得

，解得，

∴抛物线的表达式为；

(2)

解：∵，M是抛物线上点A，C之间（含点A，C）的一个动点，,

∴抛物线的顶点坐标为（1,4），

∴点M的纵坐标的取值范围为；

(3)

解：设直线AC的解析式为y=kx+b，

∴，解得，

∴直线AC的解析式为y=-x+3，

∵设平移后的直线为l，记l与y轴的交点为，

∴直线l的解析式为y=-x+m，

∵抛物线的对称轴为直线x=1，点A（3,0），

∴B（-1,0），

将点B坐标代入y=-x+m，得m=-1，

当直线l与BC段相交时，m的取值范围是-1<m<3；

当直线l与AC段相交时，则，

整理得，

当时，得；

综上，若l与上方的抛物线有唯一交点，m的取值范围为-1<m<3或．

【点睛】

此题考查了待定系数法求函数解析式，将一般式解析式化为顶点式，直线的平移，一元二次方程的判别式，图象交点问题，综合掌握一次函数与二次函数的知识是解题的关键．

4、 (1)；

(2)（）；

(3)点P（2，-6），PD最大值为

【解析】

【分析】

（1）根据点B的坐标，得出OB的长，进而根据即可得到OA、OC的长，利用待定系数法求出函数解析式；

（2）利用配方法求出抛物线的对称轴，连接AC，交对称轴于一点即为点M，此时的值最小，求出直线AC的解析式，当时求出y的值即可得到点M的坐标；

（3）过点P作PH平行于y轴，交AC于点H，根据等腰直角三角形的性质求出∠OAC=∠OCA=45°，根据平行线的性质求出∠PHD=∠OCA=45°，设点P（x，），则点H（x，x-4），根据正弦函数定义得到，根据函数的性质得解问题．

(1)

解：∵点的坐标为，

∴OB=1，

∵，

∴OA=OC=4，

∴点A的坐标为（4,0），点C的坐标为(0,-4),

将点A、B、C的坐标代入中，得

，解得，

∴抛物线的解析式为；

(2)

解：∵，

∴抛物线的对称轴为直线，

连接AC，交对称轴于一点即为点M，此时的值最小，

设直线AC的解析式为，

∴，解得，

∴直线AC的解析式为y=x-4，

当时，，

∴点M的坐标为（）；

(3)

解：过点P作PH平行于y轴，交AC于点H，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=45°，

∴∠PHD=∠OCA=45°，

设点P（x，），则点H（x，x-4），

∴，

∵，

∴PD有最大值，当x=2时，PD最大值为，

此时点P（2，-6）．

．

【点睛】

此题考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线的对称轴，化一般式为顶点式，最短路径问题，二次函数的性质，锐角三角函数，正确掌握抛物线的各知识点是解题的关键，这是一道二次函数与一次函数的综合题．

5、 (1)3

(2)（2，0）和（0，0）

【解析】

【分析】

（1）将（2，0）代入函数表达式，求出a值即可；

（2）根据所得函数表达式，令y=0，求出x值，可得坐标．

(1)

解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象经过点（2，0），

∴0＝a（2-1）2-3，

解得：a=3；

(2)

由（1）可知：二次函数的表达式为y＝3（x-1）2-3，

令y=0，则3（x-1）2-3=0，

解得：x=2或x=0，

∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（0，0）．

【点睛】

本题考查了二次函数的表达式，与x轴的交点问题，解题的关键是求出函数表达式．