数学九年级下册第30章 二次函数综合与测试课时训练

这是一份数学九年级下册第30章 二次函数综合与测试课时训练，共34页。试卷主要包含了若二次函数y＝ax2＋bx＋c，二次函数图像的顶点坐标是等内容，欢迎下载使用。

九年级数学下册第三十章二次函数章节练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
2、下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（ ）
A．正方体集装箱的体积，棱长xm
B．小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤
D．高为14m的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径xm
3、2020年2月3日，随着南立交匝道最后一条交通线划线完毕，蒙山大道祊河桥迎来了南北东西方向全线通车，蒙山高架路“踏实落地”，市民从此可一路畅通．蒙山大道祊河桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象－抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（ ）

A． B． C． D．
4、若二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点（﹣1，1），（4，6），（3，1），则（ ）
A．y≤3 B．y≤6 C．y≥-3 D．y≥6
5、二次函数图像的顶点坐标是（ ）
A．（0，－2） B．（－2，0） C．（2，0） D．（0，2）
6、如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，对称轴为直线．结合图象分析下列结论：①；②；③；④一元二次方程的两根分别为；⑤若为方程的两个根，则且．其中正确的结论个数是（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7、已知抛物线y＝mx2+4mx+m﹣2（m≠0），点A（x1，y1），B（3，y2）在该抛物线上，且y1＜y2．给出下列结论①抛物线的对称轴为直线x＝﹣2；②当m＞0时，抛物线与x轴没有交点；③当m＞0时，﹣7＜x1＜3； ④当m＜0时，x1＜﹣7或x1＞3；其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8、已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则（　　）

A．b＞0，c＞0，Δ＝0 B．b＜0，c＞0，Δ＝0
C．b＜0，c＜0，Δ＝0 D．b＞0，c＞0，Δ＞0
9、已知二次函数y＝x2﹣2x+m，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）（x1＜x2）是图象上两点，下列结论正确的是（　　）
A．若x1+x2＜2，则y1＞y2 B．若x1+x2＞2，则y1＞y2
C．若x1+x2＜﹣2，则y1＜y2 D．若x1+x2＞﹣2，则y1＞y2
10、二次函数的图像如图所示，那么点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在矩形中，，点E是的中点，连接，以点为原点，建立平面直角坐标系，点M是上一动点，取的中点为N，连接，则的最小值是________．（提示：两点间距离公式 ）

2、二次函数（m、c 是常数，且m≠0）的图像过点 A(3，0)，则方程mx2＋2mx＋c＝0的根为______．
3、如图，已知点A是抛物线图像上一点，将点A向下平移2个单位到点B，再把A绕点B顺时针旋转120°得到点C，如果点C也在该抛物线上，那么点A的坐标是______．

4、对于二次函数与，其自变量与函数值的两组对应值如下表所示，根据二次函数图象的相关性质可知______，______
x
﹣1


c
c


d

5、如图边长为n的正方形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴的正半轴上，A1、A2、A3、...、An﹣1为OA的n等分点，B1、B2、B3、...、Bn﹣1为CB的n等分点，连接A1B1、A2B2、A3B3、...、An﹣1Bn﹣1，分别交于点C1、C2、C3、...、Cn﹣1.当B25C25＝8C25A25时，则n＝_____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OA＝OB，与y轴交于点C．
(1)求证：b＝0；
(2)点P是第二象限内抛物线上的一个动点，AP与y轴交于点D．连接BP，过点A作AQ∥BP，与抛物线交于点Q，且AQ与y轴交于点E．
①当a＝﹣1时，求Q，P两点横坐标的差；（用含有c的式子来表示）
②求的值．
2、有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．
(1)求这条抛物线的解析式．
(2)一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？

3、已知抛物线y＝ax2＋bx＋5（a为常数，a≠0）交x轴于点A（－1，0）和点B（5，0），交y轴于点C．
(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；
(2)若点P是抛物线上一点，且PB＝PC，求点P的坐标；
(3)点Q是抛物线的对称轴l上一点，当QA＋QC最小时，求点Q的坐标．
4、已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象经过点（2，0）．
(1)求a的值．
(2)求二次函数图象与x轴的交点坐标．
5、在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，，过点的直线交抛物线于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点是直线下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），求面积的最大值；
(3)若点在抛物线上，点在直线上．试探究：是否存在点，，使得，同时成立？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【详解】
A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，B不可能；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不可能．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限．
2、D
【解析】
【分析】
根据题意，列出关系式，即可判断是否是二次函数．
【详解】
A.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；
C.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D.由题得：，是二次函数，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的定义，形如的形式为二次函数，掌握二次函数的定义是解题的关键．
3、B
【解析】
【分析】
直接利用图象设出抛物线解析式，进而得出答案．
【详解】
∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，
∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，
∴-78=452a，
解得：a=，
∴此抛物线钢拱的函数表达式为，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，正确设出抛物线解析式是解题关键．
4、C
【解析】
【分析】
根据图像经过三点求出函数表达式，再根据最值的求法求出结果．
【详解】
解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c经过（﹣1，1），（4，6），（3，1），
∴，
解得：，
∴函数表达式为y＝x2-2x-2，开口向上，
∴函数的最小值为=，即y≥-3，
故选C．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的最值，属于基础题，解题的关键是掌握二次函数最值的求法．
5、C
【解析】
【分析】
直接利用顶点式写出二次函数的顶点坐标即可得到正确的选项．
【详解】
解：抛物线的顶点坐标为，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解二次函数的顶点式，难度不大．
6、C
【解析】
【分析】
根据图像，确定a，b，c的符号，根据对称轴，确定b，a的关系，当x=-1时，得到a-b+c=0，确定a，c的关系，从而化简一元二次方程，求其根即可，利用平移的思想，把y=的图像向上平移1个单位即可，确定方程的根．
【详解】
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右边，
∴b＜0，
∴，
故①正确；
∵二次函数的图像与x轴交于点，
∴a-b+c=0，
根据对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
当x=-2时，y＞0即，
故②正确；
∵，

∴b= -2a，
∴3a+c=0，
∴2a+c=2a-3a= -a＜0，
故③正确；
根据题意，得，
∴，
解得，
故④错误；
∵=0，
∴，
∴y=向上平移1个单位，得y=+1，
∴为方程的两个根，且且．
故⑤正确；
故选C．
【点睛】
本题考查了抛物线的图像与系数的符号，抛物线的对称性，抛物线与一元二次方程的关系，抛物线的增减性，平移，熟练掌握抛物线的性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键．
7、C
【解析】
【分析】
利用抛物线的对称轴公式可判断①，计算 结合 可判断②，再分别画出符合③，④的图象，结合图象可判断③与④，从而可得答案.
【详解】
解： 抛物线y＝mx2+4mx+m﹣2（m≠0），
抛物线的对称轴为： 故①符合题意；


当时，
所以抛物线与轴有两个交点，故②不符合题意；
当时，抛物线的开口向上，如图，

则关于的对称点为： 而
故③符合题意；
当时，抛物线的开口向下，如图，

同理可得：由
则或 故④符合题意，
综上：符合题意的有：①③④
故选：C
【点睛】
本题考查的是抛物线的对称轴方程，抛物线与轴的交点的情况，二次函数的图象与性质，掌握“利用数形结合的方法求解符合条件的自变量的取值范围”是解本题的关键.
8、B
【解析】
【分析】
根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定b的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定△的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案．
【详解】
解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴＞0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∵抛物线与x轴有一个交点，
∴Δ=0，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与系数的关系，牢记抛物线的对称轴公式．
9、A
【解析】
【分析】
由二次函数y＝x2﹣2x+m可知对称轴为x＝1，当x1+x2＜2时，点A与点B在对称轴的左边，或点A在左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离小，再结合抛物线开口方向，即可判断．
【详解】
解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，
∵x1＜x2，
∴当x1+x2＜2时，点A与点B在对称轴的左边，或点A在左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大，
∴y1＞y2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，灵活应用x1+x2与2的关系确定点A、点B与对称轴的关系是解决本题的关键．
10、C
【解析】
【分析】
根据对称轴的位置、开口方向、与y轴的交点的位置即可判断出a、b、c的符号，进而求出的符号．
【详解】
由函数图像可得：
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
又∵对称轴在y轴右侧，
∴，
∴b<0，
又∵图象与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴
∴在第三象限
故选：C
【点睛】
考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．根据对称轴的位置、开口方向、与y轴的交点的位置判断出a、b、c的符号是解题的关键．
二、填空题
1、
【解析】
【分析】
分别求出点A，C，E的坐标，求出直线BE的解析式，设点的坐标为，由中点坐标公式得，由两点之间的距离公式得：，进一步可得出AN的最小值．
【详解】
解：在矩形中，，点是的中点，
，
∴，
设直线BE的解析式为y=kx，
把E（3，3）代入y=kx，得，k=1
直线的函数解析式为，
设点的坐标为，
点是上一动点，
，
点是的中点，
，
由两点之间的距离公式得：，
由二次函数的性质得：在内，随的增大而增大，
则当时，取得最小值，最小值为36，
因此，的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题这一切考查了坐标与图形以及二次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
2、3或-5##-5或3
【解析】
【分析】
将A点坐标代入得，解得，原方程变为，因式分解法解方程即可．
【详解】
解：将A点坐标代入得
解得
∴原方程变为
∴
∴或
解得的值为3或
故答案为：3或．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，二次函数与一元二次方程的关系．解题的关键在于理解二次函数与一元二次方程的关系．
3、（，）
【解析】
【分析】
设A（x，x2），根据平移、旋转的性质求出C点坐标，代入抛物线求出x，故可求解．
【详解】
解：∵点A是抛物线图像上一点
故设A（x，x2），
∵将点A向下平移2个单位到点B，
故B（x，x2-2）
∵把A绕点B顺时针旋转120°得到点C，如图，

过点B作BD⊥AB于B，过点C作CD⊥BD于D，
AB=BC=2，∠ABC=120°，∠ABD=90°，
∴∠DBC=30°
故CD=，BD=，
故C（x+，x2-3），
把C（x+，x2-3）代入，
∴x2-3=（x+）2，
解得x=-
∴A（-，3）
故答案为：（，3）．
【点睛】
此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知坐标与函数的关系、平移与旋转的特点及直角三角形的性质．
4、 1 3
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质可知m=1，将d用含c的式子表示出来即可．
【详解】
解由二次函数的性质可得的对称轴为y轴，故由表可得，
∴m=1；
∵二次函数的对称轴为y轴，
∴d=c+3，
∴3，
故答案为：1，3．
【点睛】
此题考查二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
5、75
【解析】
【分析】
根据题意表示出OA25，B25A25的长，由B25C25=8C25A25确定点C25的坐标，代入解析式计算得到答案．
【详解】
解：∵正方形OABC的边长为n，点A1，A2，…，An-1为OA的n等分点，点B1，B2，…，Bn-1为CB的n等分点，
∴OA25= •n=25，A25B25=n，
∵B25C25=8C25A25，
∴C25（25，），
∵点C25在上，
∴，
解得n=75．
故答案为：75．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象上点的特征和正方形的性质，根据正方形的性质表示出点C25的坐标是解题的关键．
三、解答题
1、 (1)见解析
(2)①2；②2．
【解析】
【分析】
（1）利用根与系数的关系即可证明b=0；
（2）①设出P点坐标，然后令c=t²，然后表示出A、B的坐标，先求出直线BP的解析式，即可得到直线AQ的解析式，然后联立抛物线与直线AQ解析式，求出Q点横坐标，即可求解；②同①的方法，令a=-s²，c=t²，设出P点坐标，分别求出D、E的坐标，代入计算即可求解．
(1)
解：设方程ax2+bx+c=0两根为x1，x2，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，且OA＝OB，
∴x1=-x2，即x1+x2=0，
∵x1+x2=-，
∴-=0，
∵a＜0，
∴b=0；
(2)
解：①当a=﹣1时，令c=t2，抛物线的解析式为y=-x2+t2，
解方程-x2+t2=0，得：x1=t，x2=-t，
∴A(-t，0)，B(t，0)，
设点P的坐标为(p，-p2+ t2)，
设直线PB的解析式为y=kx+m，
∴，解得：，
∴直线PB的解析式为y=x+，
∵AQ∥BP，
设直线AQ的解析式为y=x+n，
把A(-t，0)代入得：n=
∴直线AQ的解析式为y=，
联立y=和y=-x2+ t2得：，
整理得：，
解得x1=-t，x2=p+2t，
∴点Q的横坐标为p+2t，
∴Q，P两点横坐标的差为p+2t-p=2t=2；
②令c=t2，a=-s²，抛物线的解析式为y=-s²x2+t2，
解方程-s²x2+t2=0，得：x1=，x2=-，
∴A(-，0)，B(，0)，C(0，t2)，
设点P的坐标为(p，-s²p2+ t2)，
同理求得直线PB的解析式为y=x+，
直线AQ的解析式为y=，
令x=0，则y=，
即点E的坐标为(0，)，
同理求得直线AP的解析式为y=，
令x=0，则y=，
即点D的坐标为(0，)，
∴OD=，OE=，OC=，
∴．
．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．
2、 (1)
(2)一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线经过原点，可设抛物线为再把把代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）把代入抛物线的解析式求解函数值，再与3米进行比较，即可得到答案.
(1)
解：根据题意抛物线经过了原点，设抛物线为：
把代入抛物线的解析式得：

解得：
所以抛物线为：
(2)
解：因为一艘宽为4米，高出水面3米的货船行驶时航线在正中间，
所以当时，

而
所以一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过.
【点睛】
本题考查的是二次函数的实际应用，熟练的把实际生活中的问题化为数学问题，建立数学模型是解本题的关键.
3、 (1)，
(2)或
(3)
【解析】
【分析】
（1）对于，当时，，求得，解方程组即可得到结论；
（2）根据，，得到，连接，设的中点为，求得，，得到直线的解析式为，设，解方程即可得到结论；
（3）由（1）知，抛物线的对称轴为直线，根据轴对称的性质得到，，当，，三点共线时，最小，即最小，求得直线的解析式为，把代入即可得到结论．
(1)
解：对于，当时，，
，
抛物线为常数，交轴于点和点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
(2)
解：，，
，
连接，设的中点为，

，，
直线的解析式为，
，
点在直线上，
设，
点是抛物线上一点，
，
解得，
点的坐标为，或，；
(3)
解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线，
点与点关于对称，点在直线上，
，，
当，，三点共线时，最小，即最小，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
把代入得，，
，
当最小时，求点的坐标．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，轴对称最短路线问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式．
4、 (1)3
(2)（2，0）和（0，0）
【解析】
【分析】
（1）将（2，0）代入函数表达式，求出a值即可；
（2）根据所得函数表达式，令y=0，求出x值，可得坐标．
(1)
解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象经过点（2，0），
∴0＝a（2-1）2-3，
解得：a=3；
(2)
由（1）可知：二次函数的表达式为y＝3（x-1）2-3，
令y=0，则3（x-1）2-3=0，
解得：x=2或x=0，
∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（0，0）．
【点睛】
本题考查了二次函数的表达式，与x轴的交点问题，解题的关键是求出函数表达式．
5、 (1)
(2)
(3)存在，．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法即可求得答案；
（2）如图1，过点P作PD∥y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作CF⊥PD于点F，连接PB，PC，设点P（m，m2-2m-3），则点E （m，，可得出PE=，再通过解方程组求出点C的坐标为，利用三角形面积公式和二次函数性质即可得出答案；
（3）设M（t，t2-2t-3），N（n，，作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于H，证明△OGM≌△OHN（AAS），得出GM=NH，OG=OH，建立方程组求解即可．
(1)
将点，代入中，得：

解得，
∴该抛物线表达式为：
(2)
如图1，过点P作PD//y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作于点F，连接PB，PC，

设点，则点，
∴
联立方程组
解得，，
∵点B的坐标为（3，0）
∴点C的坐标为
∴
∴


(其中)
∵
∴这个二次函数有最大值，
∴当时，的最大值为；
(3)
存在，
①如图②，

设，N（n，，
作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于H，
∴∠OGM=∠OHN=90°，
∵OM=ON，∠MON=90°，∠GOH=90°，
∴∠MOG=∠NOH，
在△OGM与△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM=NH，OG=OH，
∴，
解得：，，
∴N1（3，0），N2，
②如图3，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，，

作MG⊥x轴于点G，NH⊥x轴于H，
∴∠OGM=∠OHN=90°，
∵OM=ON，∠MON=90°，∠GOH=90°，
∴∠MOG=∠NOH，
在△OGM与△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM=NH，OG=OH，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，点N的坐标为．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、几何图形的旋转、全等三角形的判定与性质及一元二次方程等知识点，运用数形结合思想、分类讨论思想及熟练掌握全等三角形判定和性质及二次函数性质是解题的关键．