冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试课后练习题

这是一份冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试课后练习题，共32页。试卷主要包含了二次函数y＝ax2+bx+c等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数专项测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2、若二次函数y=-x2+mx在-2≤x≤1时的最大值为5，则m的值是（　 　）
A．或6 B．或6 C．或6 D．或
3、2020年2月3日，随着南立交匝道最后一条交通线划线完毕，蒙山大道祊河桥迎来了南北东西方向全线通车，蒙山高架路“踏实落地”，市民从此可一路畅通．蒙山大道祊河桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象－抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（ ）

A． B． C． D．
4、在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（4，2） B．（﹣2，2） C．（4，﹣2） D．（﹣2，﹣2）
5、将函数的图像向上平移1个单位，向左平移2个单位，则所得函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
6、二次函数的图像如图所示，那么点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7、已知二次函数的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图像经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＜0；④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．上述结论中正确个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9、若关于的一元二次方程的两根分别为，，则二次函数的对称轴为直线（ ）
A． B． C． D．
10、已知二次函数的图象上有三点，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、若点（0，a），（3，b）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则a与b的大小关系是：a______b（填“＞”，“＜”或“＝”）．
2、请写出一个开口向下，与轴交点的纵坐标为3的抛物线的函数表达式__．
3、如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，若点P（2023，m）在某段抛物线上，则m＝_____．

4、如图，在平面直角坐标系中，，，且AC在x轴上，O为AC的中点．若抛物线与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是______．

5、已知抛物线与轴相交于，两点.若线段的长不小于2，则代数式的最小值为_______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离路面的距离为．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)一大型货车装载设备后高为，宽为．如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？
2、已知二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)求二次函数的图象与轴的交点坐标．
3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于B，C两点（C在B的左侧），与y轴交于点A，已知，．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若点Q是线段AC下方抛物线上一点，过点Q作QD垂直AC交AC于点D，求DQ的最大值及此时点Q的坐标；
(3)点E是线段AB上一点，且；将抛物线沿射线AB的方向平移，当抛物线恰好经过点E时，停止运动，已知点M是平移后抛物线对称轴上的动点，N是平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．
4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．

(1)求此抛物线的表达式；
(2)若 ，求点P的坐标；
(3)连接AC，求 PAC面积的最大值及此时点P的坐标．
5、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2)若点P在第二象限内，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？判断此时△ABP的形状，并证明你的结论．
(3)在（2）的前提下，有一动点Q在抛物线上运动（线段AB的下方），当Q点运动到什么位置时，△ABQ的面积等于△ABP的面积．

-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
由二次函数的性质,取得开口方向以及对称轴，进而可确定出的范围．
【详解】
解：，
抛物线开口向上，对称轴为，
当时，随的增大而减小，
在时，随的增大而减小，
，
解得，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数图象性质，不等式的解法．能够得出关于的不等式，并正确求解不等式是解题关键．
2、C
【解析】
【分析】
表示出对称轴，分三种情况，找出关于m的方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：∵y=-x2+mx，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x=-，
①当≤-2，即m≤-4时，当x=-2时，函数最大值为5，
∴-(-2)2-2m=5，
解得：m=-；
②当≥1，即m≥2时，当x=1时，函数最大值为5，
∴-12+m=5，
解得：m=6．
③当-2＜＜1，即-4＜m＜2时，当x=时，函数最大值为5，
∴-()2+m•=5
解得m=2（舍去）或m=-2（舍去），
综上所述，m=-或6，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值、解一元二次方程，解题的关键是：分三种情况，找出关于m的方程．
3、B
【解析】
【分析】
直接利用图象设出抛物线解析式，进而得出答案．
【详解】
∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，
∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，
∴-78=452a，
解得：a=，
∴此抛物线钢拱的函数表达式为，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，正确设出抛物线解析式是解题关键．
4、D
【解析】
【分析】
求出抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为 ，即可求解．
【详解】
解：∵ ，
∴抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为 ，
∴将抛物线y＝x2﹣2x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 ．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象平移法则“左加右减，上加下减”是解题的关键．
5、B
【解析】
【分析】
由二次函数图象平移的规律即可求得平移后的解析式，再选择即可．
【详解】
解：将抛物线先向上平移1个单位，则函数解析式变为
再将向左平移2个单位，则函数解析式变为，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．
6、C
【解析】
【分析】
根据对称轴的位置、开口方向、与y轴的交点的位置即可判断出a、b、c的符号，进而求出的符号．
【详解】
由函数图像可得：
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
又∵对称轴在y轴右侧，
∴，
∴b0，故①是错误的；
由图象可知，当x=-1时，y=a-b+c>0，因此③是错误的；
由开口方向可得，a>0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，因此b-2
因此④正确的，
综上所述，正确的有2个，
故选：B．
【点睛】
考查二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．
8、C
【解析】
【分析】
根据图象可判断abc的符号，可判断结论①，由图象与x轴的交点个数可判断②，由对称轴及x＝−2时的函数值即可判断③，由x＝−3和对称轴即可判断④．
【详解】
解：∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝1，
∴−＝1，
∴b＝−2a＞0，
∵图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
∴①说法正确，
由图象可知抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac＞0，
∴②错误，
由图象可知，当x＝−2时，y＜0，
∴4a−2b＋c＝4a−2（−2a）＋c＝8a＋c＜0，
∴③正确，
由题意可知x＝−3是ax2＋bx＋c−n＝0（a≠0）的一个根，
∵对称轴是x＝1，
∴另一个根为x＝5，
∴④正确，
∴正确的有①③④，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与各系数之间的关系．
9、C
【解析】
【分析】
根据两根之和公式可以求出对称轴公式．
【详解】
解：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为−2和4，
∴x1＋x2＝− ＝2．
∴二次函数的对称轴为x＝−＝×2＝1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．
10、A
【解析】
【分析】
分别求出、、的大小，再进行判断即可．
【详解】
解：




A、故选项正确，符合题意；
B、故选项错误，不符合题意；
C、故选项错误，不符合题意；
D、故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
此题考查了二次函数的大小比较问题，解题的关键是掌握二次函数的性质、利用代入法求出、、的大小．
二、填空题
1、＜
【解析】
【分析】
根据二次函数的解析式求得对称轴以及开口方向，根据点与对称轴的距离越远函数值越大即可判断的大小关系．
【详解】
解：∵二次函数y＝（x﹣1）2，，开口向上，对称轴为
又点（0，a），（3，b）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，


故答案为：
【点睛】
本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
2、
【解析】
【分析】
首先根据开口向下得到二次项系数小于0，然后根据与轴的交点坐标的纵坐标为3得到值即可得到函数的解析式．
【详解】
解：开口向下，
中，
与轴的交点纵坐标为3，
，
抛物线的解析式可以为：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数中各项系数的作用．
3、﹣1
【解析】
【分析】
将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1=A1A2，照此类推可以推导知道点P（2023，m）为抛物线C1012的顶点，从而得到结果．
【详解】
解：∵y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），
∴配方可得y=﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），
∴顶点坐标为（1，1），
∴A1坐标为（2，0）
∵C2由C1旋转得到，
∴OA1=A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）；
照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；
C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）；
C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；
…
C1012顶点坐标为（2023，﹣1），A1012（2024，0）；
∴m=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标．
4、3≤a＜4或a≤-5
【解析】
【分析】
先确定A，B的坐标，确定直线AB的解析式，联立两个函数解析式构造一元二次方程，其判别式大于零，分a＜0和a＞0，两种情形计算即可．
【详解】
∵，，且AC在x轴上，O为AC的中点，
∴A（-1，0），B（1，2），∠BAC=45°，
∴直线AB与y轴的交点为（0，1），
设直线AB的解析式为y=kx+1，
∴-k+1=0，
解得k=1，
∴直线AB的解析式为y=x+1，
∵抛物线与线段AB有两个不同的交点，
∴x+1=有两个不相等实数根，
∴有两个不相等实数根，
∴，
解得a＜4；
当a＞0时，，
∴a≥3，
∴3≤a＜4，
当a＜0时，，
∴a≤-5，
∴3≤a＜4或a≤-5，
故答案为：3≤a＜4或a≤-5．
【点睛】
本题考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一元二次方程根的判别式，抛物线与一次函数的综合，不等式组的解法，熟练根的判别式和不等式组的解法是解题的关键．
5、-1
【解析】
【分析】
将抛物线解析式配方，求出顶点坐标为（1，-2）在第四象限，再根据抛物线与x轴有两个交点可得，设为A，B两点的横坐标，然后根据已知，求出的取值范围，再设，配方代入求解即可．
【详解】
解：
=
=
∴抛物线顶点坐标为（1，-2），在第四象限，
又抛物线与轴相交于A，两点.
∴抛物线开口向上，即
设为A，B两点的横坐标，
∴
∵线段的长不小于2，
∴
∴
∴
∴
∴
解得，
设
当时，有最小值，最小值为：
故答案为：-1
【点睛】
本题主要考查发二次函数的图象与性质，熟记完全平方公式和根与系数的关系是解题的关键．
三、解答题
1、 (1)
(2)这辆货车能安全通过，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意得： ， ，抛物线的顶点坐标为点 ，从而得到点 ，设抛物线的函数表达式为 ，把点代入，即可求解；
（2）根据题意得：当 时， ，即可求解．
(1)
解：∴ ，
设抛物线的函数表达式为 ，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的函数表达式为；
(2)
解：这辆货车能安全通过，理由如下：
根据题意得：当 时，
，
∴这辆货车能安全通过．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键．
2、 (1)y＝x 2+ x﹣；
(2)（0，﹣）．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法，把代入函数解析式即可求；
（2）令x＝0，求得y的值即可得出结论．
(1)
解：∵二次函数y＝a（x+1）2﹣2的图象经过点（﹣5，6），
∴a（﹣5+1）2﹣2＝6．
解得：a＝．
∴二次函数的表达式为：y＝（x+1）2﹣2，即y＝x 2+ x﹣；
(2)
解：令x＝0，则y＝×（0+1）2﹣2＝﹣，
∴二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣）．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法确定抛物线的解析式，二次函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键．
3、 (1)
(2)DQ的最大值为，
(3)N点坐标为或或或，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据在抛物线上，可得，再由，可得，即可求解；
（2）过点Q作轴交直线AC于点P，令 ，可得，从而得到，进而得到，，再求出直线AC解析式，然后设，则，可得，即可求解；
（3）先求出平移后的抛物线为．然后分四种情况讨论，即可求解．
(1)
解：∵在抛物线上，
∴，
∵
∴，
将代入中得，，
∴抛物线的表达式为：；
(2)
解：过点Q作轴交直线AC于点P，如图：

当 时，，
解得： ，
∴，即OC=4，
∵OA=4，
∴，
∴，
在Rt△PQD中，，
由、得直线AC解析式为：，
设，则，
∵
∴
∴
∴当时，DQ的最大值为，此时．
(3)
解：存在，N点坐标为或或或．
设平移后满足条件的抛物线为；
∵抛物线过点，∴
∴抛物线沿射线AB的方向平移，设抛物线沿直线平移，
∴抛物线与抛物线的的顶点均在直线上；
∴由直线过点得，，解得；
由直线过得，，则，
又∵，∴，
∴，或（因为对称轴在不满足沿射线AB平移，舍去）
∴，，平移后的抛物线为．
∴对称轴为y轴，
即点M在y轴上，
当四边形ABNM为菱形，点N在x轴的上方时，

∵，．
∴；
当四边形ABN1M1为菱形，点N在x轴的下方时，
∵，．
∴；
当四边形AB M2 N2为菱形时，点N2在x轴上，则A M2垂直平分B N2，
∴O N2=OB，
∴点N2；
当四边形A M3B N3为菱形，A M3=B M3，．
设O M3=a，则B M3=A M3=4-a，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴点N3；
综上所述，N点坐标为或或或．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，与四边形的综合题，抛物线的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，菱形的性质是解题的关键．
4、 (1)；
(2)P(，﹣2)；
(3)面积的最大值为8，此时点P(﹣2，﹣5)．
【解析】
【分析】
（1）由题意及抛物线解析式可得：，而OA=2OC=8OB，得出，，即可确定点A、B、C的坐标，利用交点式代入即可确定解析式；
（2）根据（1）中解析式可得抛物线的对称轴为，当时，点P、C的纵坐标相同，横坐标之和除以2为对称抽，即可求解；
（3）过点P作轴交AC于点H，设直线AC的解析式为：，将点、代入确定直线解析式，结合图象可得，与∆PHC底为同底，高的和为OA长度，代入三角形面积得出，据此即可得出面积的最大值及此时点P的坐标．
(1)
解：抛物线，则，
∴，
∵OA=2OC=8OB，
∴，，
∴点A、B、C的坐标分别为、、，
∴，
将代入可得-2=a0+40-12，
解得：，
∴y=x+4x-12=x2+72x-2，
故抛物线的表达式为：；
(2)
解：，
其中：，，，
∴抛物线的对称轴为，
∵，
∴点P、C的纵坐标相同，
∴根据函数的对称性得点；
(3)
解：过点P作轴交AC于点H，

设直线AC的解析式为：，
将点、代入可得：
0=-4k+b-2=b，
解得：，
直线AC的解析式为：，
∴，
∴，
，
=12×4×(-12x-2-x2-72x+2)，
，
∵，
∴当时，，此时面积最大，
当时，
，
∴，
答：的面积最大为8，此时点．
【点睛】
题目主要考查利用待定系数法确定一次函数与二次函数解析式，二次函数图象的基本性质等，理解题意，结合图象作出相应辅助线，综合运用二次函数基本性质是解题关键．
5、 (1)，C（1，0）；
(2)△ABP的形状为直角三角形，见解析；
(3)Q的坐标为（﹣2+2，﹣2+2）或（﹣2﹣2，﹣2﹣2）
【解析】
【分析】
（1）先通过直线求得与坐标轴的交点，然后应用待定系数法即可求得抛物线的解析式，进而求得抛物线与x轴的交点．
（2）设出D的坐标（t，0），根据已知表示点E、P的坐标，根据PD⊥x轴即可求得线段PE关于t的解析式，配方即可得最大值，再算出此时的△ABP的三边即可得知其形状．
（3）过P作AB的平行线l，通过平移得到直线l关于线段AB对称的直线l'，再求得l'与抛物线交点即可得Q的坐标．
(1)
解：如图1，

∵直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x+4，
令y＝0，则﹣x2﹣3x+4＝0，
解得x＝﹣4或x＝1，
∴C（1，0）；
(2)
解：如图2，

设D（t，0），
∴E（t，t+4），P（t，﹣t2﹣3t+4），
∴PE＝﹣t2﹣3t+4﹣t﹣4＝﹣（t+2）2+4，
∴当t＝﹣2时，线段PE有最大值是4，此时P（﹣2，6）；
△ABP的形状为直角三角形，
证明：∵AP2＝（﹣2+4）2+（6﹣0）2＝40，BA2＝（﹣4﹣0）2+（0﹣4）2＝32，BP2＝（﹣2﹣0）2+（6﹣4）2＝8，
∴BA2+BP2＝AP2，
∴△ABP的形状为直角三角形；
(3)
解：如图，过P作AB的平行线l，

设直线l的解析式为：y＝x+m，
代入（﹣2，6），得：6＝﹣2+m，
解得：m＝8，即直线l：y＝x+8，
∵直线AB：y＝x+4，直线l：y＝x+8，
∴将直线l向下平移8个单位即可得到直线l关于线段AB对称的直线l'，
∴直线l'：y＝x，
令y＝x＝﹣x2﹣3x+4，
解得：x＝﹣2+2或﹣2﹣2，
∴Q的坐标为（﹣2+2，﹣2+2）或（﹣2﹣2，﹣2﹣2）．
【点睛】
此题是一次函数与二次函数的综合题，考查了求一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，勾股定理的逆定理，二次函数的最值，一次函数的平移规律，一次函数与二次函数交点坐标，此题综合性比较强，较基础，综合掌握各知识点并应用是解题的关键．