数学九年级下册第30章 二次函数综合与测试随堂练习题

九年级数学下册第三十章二次函数同步测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（　　）

A．（4，2） B．（﹣2，2） C．（4，﹣2） D．（﹣2，﹣2）

2、下列函数中，二次函数是（       ）

A．y＝﹣3x+5 B．y＝x（4x﹣3）

C．y＝2（x+4）2﹣2x2 D．y＝

3、二次函数 的图像如图所示， 现有以下结论： （1） ： （2） ； （3）， （4） ； （5） ； 其中正确的结论有（       ）

A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个．

4、已知，是抛物线上的点，且，下列命题正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

5、已知二次函数，则关于该函数的下列说法正确的是（       ）

A．该函数图象与轴的交点坐标是

B．当时，的值随值的增大而减小

C．当取1和3时，所得到的的值相同

D．将的图象先向左平移两个单位，再向上平移5个单位得到该函数图象

6、若关于的一元二次方程的两根分别为，，则二次函数的对称轴为直线（     ）

A． B． C． D．

7、抛物线y=ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示:

给出下列说法：

①抛物线与y轴的交点为(0，6)；

②抛物线的对称轴在y轴的右侧；

③抛物线的开口向下；

④抛物线与x轴有且只有1个公共点．

以上说法正确是（       ）

A．① B．①② C．①②③ D．①②③④

8、已知二次函数的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9、二次函数的最大值是（   ）

A． B． C．1 D．2

10、某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率，第3年的销售量为台，则关于的函数解析式为（       ）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、若点（0，a），（3，b）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则a与b的大小关系是：a______b（填“＞”，“＜”或“＝”）．

2、如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为_______米．（结果保留根号）

3、已知抛物线y＝（x﹣1）2有点A（0，y1）和B（3，y2），则y1___y2．（用“＞”，“＜”，“＝”填写）

4、当x≥m时，两个函数y1＝﹣（x﹣4）2＋2和y2＝﹣（x﹣3）2＋1的函数值都随着x的增大而减小，则m的最小值为_____．

5、二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，根据图中信息可求得该二次函数的解析式为______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图， 在平面直角坐标系 中， 直线 与 牰交于点 ， 与 轴交于点 ． 点C为拋物线 的顶点．

(1)用含 的代数式表示顶点 的坐标：

(2)当顶点 在 内部， 且 时，求抛物线的表达式：

(3)如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移 个单位后，平移后的抛物线的顶 点 仍在 内， 求 的取值范围．

2、问题呈现：探究二次函数（其中，m为常数）的图像与一次函数的图像公共点．

(1)问题可转化为：二次函数的图像与一次函数______的图像的公共点．

(2)问题解决：在如图平面直角坐标系中画出的图像．

(3)请结合（2）中图像，就m的取值范围讨论两个图像公共点的个数．

(4)问题拓展：若二次函数（其中，m为常数）的图像与一次函数的图像有两个公共点，则m的取值范围为______．

3、已知二次函数y＝x2－2x－3的图象为抛物线C．

(1)写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(2)当2≤x≤4时，求该二次函数的函数值y的取值范围；

(3)将抛物线C先向右平移2个单位长度，得到抛物线C1；再将抛物线C1向下平移1个单位长度，得到抛物线C2，请直接写出抛物线C1，C2对应的函数解析式．

4、小君根据学习经验对函数y=|ax2+bx+c|进行了探究．

(1)写出该函数自变量的取值范围　　　　；

(2)下列表示y与x的几组对应值．

则m=　　　　；

(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上对各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；

(4)请根据图象，写出：

①当0≤x≤4时，y的最大值是　　　　；

②当z＜x＜z+1时，y随x的增大而增大，则z的取值范围是　　　　．

5、某运动员在推铅球时，铅球经过的路线是抛物线的一部分（如图），落地点B的坐标是（10，0），已知抛物线的函数解析式为y＝﹣+c．

(1)求c的值；

(2)计算铅球距离地面的最大高度．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

求出抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为 ，即可求解．

【详解】

解：∵ ，

∴抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为 ，

∴将抛物线y＝x2﹣2x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 ．

故选：D

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象平移法则“左加右减，上加下减”是解题的关键．

2、B

【解析】

【分析】

根据二次函数的定义逐个判断即可．

【详解】

解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；

B．是二次函数，故本选项符合题意；

C．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；

D．不是二次函数，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握：形如、、为常数，的函数，叫二次函数．

3、C

【解析】

【分析】

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【详解】

解：（1）∵函数开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的右边，∴，∴b＞0，故命题正确；

（2）∵a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故命题正确；

（3）∵当x=-1时，y＜0，∴a-b+c＜0，故命题错误；

（4）∵当x=1时，y>0，∴a+b+c>0，故命题正确；

（5）∵抛物线与x轴于两个交点，∴b2-4ac＞0，故命题正确；

故选C．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

4、A

【解析】

【分析】

根据抛物线解析式可确定对称轴为，根据点与对称轴的距离的大小以及函数值的大小关系即可判断的符号，即开口方向

【详解】

解：∵的对称轴为，且

∴若，

则离对称轴远，则抛物线的开口朝下，即，故A正确

若，

则离对称轴远，则抛物线的开口朝上，即，故C不正确

对于B,D选项不能判断的符号

故选A

【点睛】

本题考查了二次函数图象的性质，掌握的性质是解题的关键．

5、C

【解析】

【分析】

把，代入，即可判断A，由二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，即可判断B，当取和，代入，即可判断C，根据函数图象的平移规律，即可判断D．

【详解】

∵二次函数的图象与轴的交点坐标是，

∴A选项错误；

∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，

∴当时，的值随值的增大而增大，

∴B选项错误；

∵当取和时，所得到的的值都是11，

∴C选项正确；

∵将的图象先向左平移两个单位，再向上平移个单位得到的图象，

∴D选项错误．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的性质是解题的关键．

6、C

【解析】

【分析】

根据两根之和公式可以求出对称轴公式．

【详解】

解：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为−2和4，

∴x1＋x2＝− ＝2．

∴二次函数的对称轴为x＝−＝×2＝1．

故选：C．

【点睛】

本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．

7、C

【解析】

【分析】

根据表中数据和抛物线的对称性，可得抛物线的对称轴是直线x=，可得到抛物线的开口向下，再根据抛物线的性质即可进行判断．

【详解】

解：根据图表，抛物线与y轴交于（0，6），故①正确；

∵抛物线经过点（0，6）和（1，6），

∴对称轴为x==>0，即抛物线的对称轴在y轴的右侧，故②正确；

当x<时，y随x的增大而增大，

∴抛物线开口向下，故③正确，

∵抛物线经过点（-2，0），

设抛物线经过点（x，0），

∴x==，

解得：x=3，

∴抛物线经过（3，0），即抛物线与x轴有2个交点（-2，0）和（3，0），

故④错误；

综上，正确的有①②③，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数及其图象性质，解决问题的关键是注意表格数据的特点，结合二次函数性质作判断．

8、B

【解析】

【分析】

根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．

【详解】

解：抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2-4ac>0，故①是错误的；

由图象可知，当x=-1时，y=a-b+c>0，因此③是错误的；

由开口方向可得，a>0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，因此b<0，与y轴交点在负半轴，因此c<0，所有abc>0，因此②正确的；

由关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有两个不相等的实数根，就是当y=m时，对应抛物线上有两个不同的点，即（x1，m），（x2，m），由图象可知此时m>-2

因此④正确的，

综上所述，正确的有2个，

故选：B．

【点睛】

考查二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．

9、D

【解析】

【分析】

由图象的性质可知在直线处取得最大值，将代入解析式计算求解即可．

【详解】

解：由图象的性质可知，在直线处取得最大值

∴将代入中得

∴最大值为2

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了二次函数的最值．解题的关键在于掌握二次函数的图象与性质．

10、B

【解析】

【分析】

根据增长率问题的计算公式解答．

【详解】

解：第2年的销售量为，

第3年的销售量为，

故选：B．

【点睛】

此题考查了增长率问题的计算公式，a是前量，b是后量，x是增长率，熟记公式中各字母的意义是解题的关键．

二、填空题

1、＜

【解析】

【分析】

根据二次函数的解析式求得对称轴以及开口方向，根据点与对称轴的距离越远函数值越大即可判断的大小关系．

【详解】

解：∵二次函数y＝（x﹣1）2，，开口向上，对称轴为

又点（0，a），（3，b）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，

故答案为：

【点睛】

本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．

2、6

【解析】

【分析】

建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题意计算即可．

【详解】

建立平面直角坐标系如图：

则抛物线顶点C坐标为（0，3），

设抛物线解析式y＝ax2+3，

将A点坐标（﹣3，0）代入，可得：0＝9a+3，

解得：a＝﹣，

故抛物线解析式为y＝﹣x2+3，

当水面下降3米，通过抛物线在图上的观察可转化为：

当y＝﹣3时，对应的抛物线上两点之间的距离，

也就是直线y＝﹣3与抛物线相交的两点之间的距离，

将y＝﹣3代入抛物线解析式得出：﹣3＝﹣x2+3，

解得：x＝±，

所以水面宽度为米，

故答案为：．

【点睛】

本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质、正确建立平面直角坐标系是解题的关键．

3、＜

【解析】

【分析】

分别把A、B点的横坐标代入抛物线解析式求解即可．

【详解】

解：x＝0时，y1＝（0﹣1）2＝1，

x＝3时，y3＝（3﹣1）2＝4，

∴y1＜y2．

故答案为：＜．

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出相应的函数值是解题的关键．

4、4

【解析】

【分析】

先确定两个函数的开口方向和对称轴，再得出符合条件的x的取值范围，从而得到m的最小值．

【详解】

解：函数y1＝﹣（x﹣4）2＋2开口向下，对称轴为直线x=4，

函数y2＝﹣（x﹣3）2＋1开口向下，对称轴为直线x=3，

当函数值都随着x的增大而减小，

则x≥4，即m的最小值为4，

故答案为：4．

【点睛】

本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的基本性质．

5、y=－x2－2x+3

【解析】

【分析】

根据图象与x、y轴的交点坐标和对称轴，利用待定系数法求二次函数的解析式即可．

【详解】

解：设该二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），

由图象知：当x=1时，y=0，当x=0时，y=3，又对称轴为直线x=－1，

则，解得：，

∴该二次函数的解析式为y=－x2－2x+3，

故答案为：y=－x2－2x+3．

【点睛】

本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解答的关键．

三、解答题

1、 (1)

(2)；

(3)1＜a＜3

【解析】

【分析】

（1）利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可解答；

（2）求出点A、B的坐标，利用三角形面积公式求解a值即可解答；

（3）根据点的坐标平移规律“右加左减，上加下减”得出P点坐标，再根据条件得出a的一元一次不等式组，解不等式组即可求解

(1)

解：拋物线 ，

∴顶点C的坐标为；

(2)

解：对于，当x=0时，y=5，当y=0时，x=5，

∴A（5，0），B（0，5），

∵顶点 在 内部， 且 ，

∴，

∴a=2，

∴拋物线的表达式为 ；

(3)

解：由题意，平移后的抛物线的顶点P的坐标为，

∵平移后的抛物线的顶 点 仍在 内，

∴，

解得：1＜a＜3，

即 的取值范围为1＜a＜3．

【点睛】

本题考查求二次函数的顶点坐标和表达式、二次函数的图象平移、一次函数的图象与坐标轴的交点问题、坐标与图象、解一元一次不等式组，熟练掌握相关知识的联系与运用，第（3）小问正确得出不等式组是解答的关键．

2、 (1)

(2)见解析

(3)或或，两个图像公共点的个数为1个；时，两个图像公共点的个数为2个；或时，两个图像公共点的个数为0个；

(4)

【解析】

【分析】

（1）令，整理得：，可以转化为二次函数的图像与一次函数图像的公共点；

（2）先在坐标轴上描出点，再连线即可；

（3）通过数形结合的方式进行分类讨论；

（4）通过数形结合的方式，分当时；当时；注意当时，要使有两个公共点，则满足，求解即可．

(1)

解：令，

整理得：，

可以转化为二次函数的图像与一次函数图像的公共点，

故答案为：；

(2)

解：先在坐标轴上描出点，

再连线即可，如下图：

(3)

解：如图：

当时，与有一个交点，

当时，与有两个交点，

当时，与有一个交点，

综上：或或，两个图像公共点的个数为1个；时，两个图像公共点的个数为2个；或时，两个图像公共点的个数为0个；

(4)

解：如下图：

当时，（其中，m为常数）与有一个交点有一个公共点；

当时，（其中，m为常数）与没有公共点；

要使（其中，m为常数）与有两个公共点，则满足

且，

解得：且，

，

故时，（其中，m为常数）与有两个公共点，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数与一次函数的综合，函数图象的交点问题，解题的关键是利用数形结合、分类讨论、转化的思想进行求解．

3、 (1)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为

(2)

(3)，

【解析】

【分析】

（1）将二次函数化为顶点式，由此可得答案；

（2）分别求出时，时的函数值，根据函数的增减性解答；

（3）根据二次函数的平移规律解答．

(1)

解：∵，∴抛物线C的开口向上．

∵，

∴抛物线C的对称轴为直线，顶点坐标为．

(2)

解：当时，y随x的增大而增大；

∵当时，；当时，．

∴函数值y的取值范围是．

(3)

解：抛物线对应的函数解析式为；

抛物线对应的函数解析式为．

【点睛】

此题考查了将二次函数化为顶点式，二次函数的性质，利用函数的增减求出函数值的取值范围，二次函数的平移规律，熟记各知识点是解题的关键．

4、 (1)全体实数；

(2)0；

(3)答案见解析；

(4)①4；②z≥4或0≤z≤1

【解析】

【分析】

（1）根据函数解析式为整式，即可得函数自变量的取值范围；

（2）观察表格知，函数关于直线x=2对称，从而由对称性即可求得m的值；

（3）用光滑的曲线顺次连接各点即得函数图象；

（4）①根据图象即可求得y的最大值；

②观察图象即可求得z的取值范围．

(1)

（1）函数y=|ax2+bx+c|的自变量的取值范围为全体实数．

故答案为：全体实数．

(2)

观察表格可知，函数关于直线x=2对称，与x轴交于（0，0）和（4，0），∴x=4时，m=0．

故答案为：0．

(3)

函数图象如图所示：

(4)

①观察图象可知，当0≤x≤4时，y的最大值是4．

故答案为：4．

②观察图象可知，当z≥4或0≤z≤1时，y随x的增大而增大．

故答案为：z≥4或0≤z≤1．

【点睛】

本题考查了函数及其图象、二次函数的图象与性质，关键是观察表格，数形结合．

5、 (1)；

(2)铅球距离地面的最大高度为

【解析】

【分析】

（1）把（10，0）代入函数解析式中，即可求得c的值；

（2）直接利用对称轴的值，代入函数关系式进而得出答案．

(1)

把（10，0）代入函数解析式中得：

解得：

(2)

当x＝﹣时，y最大＝

所以铅球距离地面的最大高度为3m．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是关键，属于基础题．