2021学年第30章 二次函数综合与测试精练

这是一份2021学年第30章 二次函数综合与测试精练，共33页。试卷主要包含了同一直角坐标系中，函数和，对于二次函数，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数章节测评 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴是（　　）A．直线x＝3 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝4 D．直线x＝﹣42、抛物线的顶点为（       ）A． B． C． D．3、已知点，，都在函数的图象上，则（       ）A． B． C． D．4、将函数的图像向上平移1个单位，向左平移2个单位，则所得函数表达式是（       ）A． B．C． D．5、同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（       ）A．  B．C．  D．6、二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表：…－3－2－101……－11－311－3…对于下列结论：①二次函数的图像开口向下；②当时，随的增大而减小；③二次函数的最大值是1；④若，是二次函数图像与轴交点的横坐标，则，其中，正确的是（       ）A．①② B．③④ C．①③ D．①②④7、对于二次函数，下列说法正确的是（       ）A．若，则y随x的增大而增大 B．函数图象的顶点坐标是C．当时，函数有最大值－4 D．函数图象与x轴有两个交点8、2020年2月3日，随着南立交匝道最后一条交通线划线完毕，蒙山大道祊河桥迎来了南北东西方向全线通车，蒙山高架路“踏实落地”，市民从此可一路畅通．蒙山大道祊河桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象－抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（       ）A． B． C． D．9、下列二次函数的图象中，顶点在第二象限的是（       ）A． B．C． D．10、对于抛物线下列说法正确的是（       ）A．开口向下 B．其最大值为-2 C．顶点坐标 D．与x轴有交点第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、将函数的图象向______平移______个单位长度，再向______平移______个单位长度，可以得到函数的图象．2、如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：；；抛物线经过点与点，则；方程的一个解是；，其中所有正确的结论是__________．3、已知点，在抛物线上，则，的大小关系是______（填“>”，“<”或“=”）．4、已知多项式除以的余数分别为，则除以所得余式的最大值为_________．5、如图，抛物线与直线的交点为，．当时，x的取值范围______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x﹣4与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C．点B（12，0），联结BC．(1)求该抛物线解析式；(2)求∠ACB的正弦值；(3)如图，点D为抛物线上一点，直线AD交y轴于点E，交线段BC于点F．若△ECA∽△EFC，求点D的坐标．2、某运动员在推铅球时，铅球经过的路线是抛物线的一部分（如图），落地点B的坐标是（10，0），已知抛物线的函数解析式为y＝﹣+c．(1)求c的值；(2)计算铅球距离地面的最大高度．3、已知在平面直角坐标系中，拋物线经过点、，顶点为点．(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；(2)联结，试判断与是否相似，并证明你的结论；(3)抛物线上是否存在点，使得．如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．4、如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点（点B在第一象限），点C在AB的延长线上．且（n为正整数）．过点B，C的抛物线L，其顶点M在x轴上．(1)求AB的长；(2)①当时，抛物线L的函数表达式为        ；②当时．求抛物线L的函数表达式        ；(3)如图2，抛物线E：经过B、C两点，顶点为P．且O、B、P三点在同一直线上，①求与n的关系式；②当时，设四边形PAMC的面积，当时，设四边形PAMC的面积（k，t为正整数，，），若，请直接写出值．5、如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线（）图象经过，，三点．(1)求抛物线的解析式；(2)是抛物线对称轴上的一点，当的值最小时，求点坐标；(3)若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值． -参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】直接利用抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4，求得对称轴方程为：x=3．【详解】解：抛物线y=﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴方程为：直线x=3，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，解题的关键是掌握：二次函数的顶点式与对称轴的关系．2、B【解析】【分析】根据抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k可得顶点坐标是（h，k）．【详解】解：∵y=2（x-1）2+3，∴抛物线的顶点坐标为（1，3），故选：B．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）．3、C【解析】【分析】把点的坐标分别代入函数解析式可分别求得、、，再比较其大小即可．【详解】解：点，，都在函数的图象上，，，，，故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．4、B【解析】【分析】由二次函数图象平移的规律即可求得平移后的解析式，再选择即可．【详解】解：将抛物线先向上平移1个单位，则函数解析式变为 再将向左平移2个单位，则函数解析式变为，故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．5、D【解析】【分析】根据一次函数，二次函数的图象与性质逐一分析两个解析式中的的符号，再判断即可.【详解】解：选项A：由的图象可得： 由的图象可得：则 故A不符合题意；选项B：由的图象可得： 由的图象可得：则而抛物线的对称轴为： 则 故B不符合题意；选项C：由的图象可得： 由的图象可得：则 故C不符合题意；选项D：由的图象可得： 由的图象可得：则 而抛物线的对称轴为： 则 故D符合题意；故选D【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键.6、A【解析】【分析】根据待定系数法确定函数解析式，再根据函数的图象与性质求解即可．【详解】解：把（-1，1），（1，-3），（-2，-3）代入，得 解得， ∴二次函数式为： ∵ ∴二次函数的图像开口向下，故①正确；∵∴对称轴为直线 ∴当时，随的增大而减小，故②正确；当时，二次函数的最大值是，故③错误；若，是二次函数图像与轴交点的横坐标，则，故④错误∴正确的是①②故答案为①②【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．7、A【解析】【分析】先将二次函数的解析式化为顶点式，再逐项判断即可求解．【详解】解：∵，且 ，∴二次函数图象开口向下，∴A、若，则y随x的增大而增大，故本选项正确，符合题意；B、函数图象的顶点坐标是，故本选项错误，不符合题意；C、当时，函数有最大值-2，故本选项错误，不符合题意；∵ ，∴D、函数图象与x轴没有交点，故本选项错误，不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．8、B【解析】【分析】直接利用图象设出抛物线解析式，进而得出答案．【详解】∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，∴-78=452a，解得：a=，∴此抛物线钢拱的函数表达式为，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，正确设出抛物线解析式是解题关键．9、C【解析】【分析】根据二次函数的顶点式求得顶点坐标，即可判断．【详解】解：A．二次函数的顶点为（1，3），在第一象限，不合题意；B．二次函数的顶点为（1，﹣3），在第四象限，不合题意；C．二次函数的顶点为（﹣1，3），在第二象限，符合题意；D．二次函数的顶点为（﹣1，﹣3），在第三象限，不合题意；故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10、D【解析】【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断即可得解．【详解】解：由y=（x-1）2-2，可知，a=1＞0，则抛物线的开口向上，∴A选项不正确；由抛物线，可知其最小值为-2，∴B选项不正确；由抛物线，可知其顶点坐标，∴C选项不正确；在抛物线中，△=b²-4ac=8>0，与与x轴有交点，∴D选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握开口方向，对称轴、顶点坐标以及与x轴的交点坐标的求法是解决问题的关键．二、填空题1、     左     1     下     2【解析】【分析】根据二次函数平移的性质解答．【详解】解：∵函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，可以得到函数的图象．故答案为：左，1，下，2．【点睛】此题考查了二次函数图象平移的性质：上加下减，左加右减，熟记性质是解题的关键．2、②⑤【解析】【分析】由图象可知，抛物线开口向上，则，抛物线与轴交于负半轴，则，再由抛物线对称轴为直线，得到，即，即可判断①；根据抛物线的对称性可知抛物线过点，则当时，，由，可得，即可判断②；由抛物线对称轴为直线，且开口向上，则抛物线上的点，离对称轴水平距离越大，函数值越大，即可判断③；由cx2+bx+a=0，方程两边同时除以a得，再由方程的两个根分别为，，得到，，则即为，由此即可判断④；当对应的函数值为，当对应的函数值为，又时函数取得最小值，则，由此即可判断⑤．【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，则，抛物线与轴交于负半轴，则，∵抛物线对称轴为直线，∴，即，，故①错误；抛物线过点，且对称轴为直线，抛物线过点，当时，，，∴，故②正确；抛物线对称轴为直线，且开口向上，∴抛物线上的点，离对称轴水平距离越大，函数值越大，∵点（4，）与直线的距离为3，点（-3，）与直线的距离为4，，故③错误；∵cx2+bx+a=0∴方程两边同时除以a得，∵方程的两个根分别为，，∴，，∴即为，∴解得或，故④错误；当对应的函数值为，当对应的函数值为，又时函数取得最小值，∴，∴，又∵，∴，∴，故⑤正确．故答案为：②⑤．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与其系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，二次函数图像的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．3、【解析】【分析】首先求得抛物线的对称轴和开口方向，可知开口向上对称轴为，根据点与对称轴的距离越远函数值越大即可判断，的大小关系．【详解】解：∵中，，开口向上，对称轴为，∴点与对称轴的距离越远函数值越大点，在抛物线上，故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．4、5【解析】【分析】先根据已知得出，再设，从而可得一个关于的方程组，解方程组可得的值，然后利用二次函数的性质即可得出答案．【详解】解：多项式除以的余数为1，，当时，，同理可得：，设除以所得商式为，余式为（因为除式是三次的，所以余式至多是二次的），则，因此有，解得，所以余式为，由二次函数的性质得：当时，余式取得最大值，最大值为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了多项式的除法、二次函数的性质等知识点，正确设出余式的一般形式是解题关键．5、或## 或【解析】【分析】根据图像即可得出时，抛物线的图像在直线的上方，即可得出x的取值范围．【详解】如图所示，抛物线与直线的交点为，，∴当时，或．故答案为：或．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确解读函数图象是解题关键．三、解答题1、 (1)抛物线的解析式为(2)∠ACB的正弦值为(3)点D的坐标为【解析】【分析】（1）将A点坐标代入，求出的值，然后回代抛物线的解析式即可；（2）根据抛物线解析式求出点的坐标，知是等腰直角三角形，求出的值，如图，延长，作，垂足为，为等腰直角三角形，求出的值，在中，，由勾股定理知，，将线段值代入求解即可；（3）由可知，，，在中，，解得的值，得到点坐标，设过两点的直线解析式为，将两点坐标代入求得解析式，然后与抛物线解析式联立求出D点坐标即可；(1)解：将代入中得解得∴抛物线的解析式为： ．(2)解：将代入解得∴点坐标为∵∴∴是等腰直角三角形∴∴∵B点坐标为∴如图，延长，作，垂足为∴∴∴为等腰直角三角形∴在中，，由勾股定理知∴∴的正弦值为．(3)解：∵∴∵，∴∴∴在中，∴解得∴点坐标为∴设过两点的直线解析式为将两点坐标代入解析式得解得∴过两点的直线解析式为联立一次函数解析式与抛物线解析式得消得解得或（舍去）∴∴D点坐标为．【点睛】本题考查了二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，正弦值，勾股定理，三角形相似，一次函数与二次函数的交点坐标等知识．解题的关键在于对知识的综合灵活运用．2、 (1)；(2)铅球距离地面的最大高度为【解析】【分析】（1）把（10，0）代入函数解析式中，即可求得c的值；（2）直接利用对称轴的值，代入函数关系式进而得出答案．(1)把（10，0）代入函数解析式中得：解得：(2)当x＝﹣时，y最大＝所以铅球距离地面的最大高度为3m．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是关键，属于基础题．3、 (1)，顶点坐标为：；(2)，证明见解析；(3)存在点P，，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为：，将点C代入解得，代入抛物线可得函数解析式；将一般式化为顶点式即可确定顶点坐标；（2）结合图象，分别求出的三边长，的三边长，由勾股定理逆定理可得为直角三角形，且两个三角形的三条边对应成比例，即可证明；（3）设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，连接CF，可得，，利用等腰直角三角形的性质可得，，再由勾股定理可得，设，根据直角坐标系中两点之间的距离利用勾股定理可得，同理可得=，利用代入消元法解方程即可确定点F的坐标，然后求出直线AF的直线解析式，联立抛物线解析式求交点坐标即可得．(1)解：抛物线经过点，，，设抛物线解析式为：，将点C代入可得：，解得：，∴，∴顶点坐标为：；(2)解：如图所示：为直角三角形且三边长分别为：，，，的三边长分别为：，，，∴，∴为直角三角形，∵，∴；(3)解：设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，连接CF，如（2）中图：∴，，∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴，，∴，即解得：，设，∴，，∴，整理得：①，=，即②，将①代入②整理得：，解得：，，∴，，∴或（不符合题意舍去），∴，，设直线FA解析式为：，将两个点代入可得：，解得：，∴，∴联立两个函数得：，将①代入②得：，整理得：，解得：，，当时，，∴．【点睛】题目主要考查待定系数法确定函数解析式，相似三角形得判定和性质，中垂线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．4、 (1)(2)①；②(3)①；②或【解析】【分析】（1）联立直线与抛物线组成方程组解方程组得出点A、B的坐标分别为、，根据两点距离公式；（2）①当时，，则点C的坐标为，求抛物线顶点M横坐标为，设抛物线L的表达式为，将点B坐标代入得出，解方程即可；②当时，，则点C的坐标为，求出抛物线顶点M横坐标为，设抛物线L的表达式为，将点B的坐标代入得出，解方程即可；（3）①根据，则点C的坐标为，则抛物线顶点M横坐标为，可求点P的横坐标也为，待定系数法求直线OB的表达式为，根据点P在直线OB上，求出点P的坐标为；根据顶点式写出抛物线E的表达式为，将点B的坐标代入上式得，求解即可；②，当时，，当时，，根据，得出，根据k，t为正整数，，，得出，或，满足上述条件，求出或10即可．(1)解：联立直线与抛物线组成方程组，消去y得：，解得，故点A、B的坐标分别为、，∴；(2)解：①当时，，则点C的坐标为，则抛物线顶点M横坐标为，设抛物线L的表达式为，将点B的坐标代入上式得：，解得，故答案为：；②当时，，则点C的坐标为，则抛物线顶点M横坐标为，故设抛物线L的表达式为，将点B的坐标代入上式得：，解得，故抛物线的表达式为：；(3)①当时，，则点C的坐标为，则抛物线顶点M横坐标为，故点P的横坐标也为，设OB的解析式为y=sx，点B代入得1=，解得，直线OB的表达式为，∵点P在直线OB 上，当时，，故点P的坐标为；则抛物线E的表达式为，将点B的坐标代入上式得：，解得：；②，，，，当时，，当时，，∵，即，即，∵k，t为正整数，，，∴，或，满足上述条件，即或10，由①知，，∴或．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线顶点式，解方程组，一次函数解析式，四边形面积，二元一次方程的整数解，代数式的值，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线顶点式，解方程组，一次函数解析式，四边形面积，二元一次方程的整数解，代数式的值，是解题关键5、 (1)；(2)（）；(3)点P（2，-6），PD最大值为【解析】【分析】（1）根据点B的坐标，得出OB的长，进而根据即可得到OA、OC的长，利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用配方法求出抛物线的对称轴，连接AC，交对称轴于一点即为点M，此时的值最小，求出直线AC的解析式，当时求出y的值即可得到点M的坐标；（3）过点P作PH平行于y轴，交AC于点H，根据等腰直角三角形的性质求出∠OAC=∠OCA=45°，根据平行线的性质求出∠PHD=∠OCA=45°，设点P（x，），则点H（x，x-4），根据正弦函数定义得到，根据函数的性质得解问题．(1)解：∵点的坐标为，∴OB=1，∵，∴OA=OC=4，∴点A的坐标为（4,0），点C的坐标为(0,-4),将点A、B、C的坐标代入中，得，解得，∴抛物线的解析式为；(2)解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，连接AC，交对称轴于一点即为点M，此时的值最小，设直线AC的解析式为，∴，解得，∴直线AC的解析式为y=x-4，当时，，∴点M的坐标为（）；(3)解：过点P作PH平行于y轴，交AC于点H，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=45°，∴∠PHD=∠OCA=45°，设点P（x，），则点H（x，x-4），∴，∵，∴PD有最大值，当x=2时，PD最大值为，此时点P（2，-6）． ．【点睛】此题考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线的对称轴，化一般式为顶点式，最短路径问题，二次函数的性质，锐角三角函数，正确掌握抛物线的各知识点是解题的关键，这是一道二次函数与一次函数的综合题．