初中数学冀教版九年级下册第29章 直线与圆的位置关系综合与测试综合训练题

九年级数学下册第二十九章直线与圆的位置关系专题攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CBD的度数是（　　）

A．30° B．36° C．60° D．72°

2、在中，，，给出条件：①；②；③外接圆半径为4．请在给出的3个条件中选取一个，使得BC的长唯一．可以选取的是（       ）

A．① B．② C．③ D．①或③

3、矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点P在边AB上，且AP＝3，如果⊙P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（　　）

A．点B、C均在⊙P内 B．点B在⊙P上、点C在⊙P内

C．点B、C均在⊙P外 D．点B在⊙P上、点C在⊙P外

4、如图，与相切于点，连接交于点，点为优弧上一点，连接，，若，的半径，则的长为（       ）

A．4 B． C． D．1

5、以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（       ）

A．不能构成三角形 B．这个三角形是等边三角形

C．这个三角形是直角三角形 D．这个三角形是等腰三角形

6、如图，圆形螺帽的内接正六边形的面积为24cm2，则圆形螺帽的半径是（　　）

A．1cm B．2cm C．2cm D．4cm

7、在同一平面内，有一半径为6的⊙O和直线m，直线m上有一点P，且OP=4；则直线m与⊙O的位置关系是 （        ）

A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定

8、如图，一把直尺，60°的直角三角板和一个量角器如图摆放，A为60°角与刻度尺交点，刻度尺上数字为4，点B为量角器与刻度尺的接触点，刻度为7，则该量角器的直径是（     ）

A．3 B． C．6 D．

9、下列四个命题中，真命题是（       ）

A．相等的圆心角所对的两条弦相等 B．三角形的内心是到三角形三边距离相等的点

C．平分弦的直径一定垂直于这条弦 D．等弧就是长度相等的弧

10、如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（       ）

A．54° B．36° C．32° D．27°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、中，，，点I是的内心，点O是的外心，则______．

2、如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，∠A = 30°，AC = 15 cm，点O在中线CD上，当半径为3 cm的⊙O与△ABC的边相切时，OC =_________ ．

3、已知五边形是的内接正五边形，则的度数为______．

4、如图，在矩形中，是边上的点，经过，，三点的与相切于点．若，，则的半径是__________．

5、若⊙O的半径为3cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O_______．（填“上”、“内”、“外”）

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，是的直径，是圆上两点，且有，连结，作的延长线于点．

(1)求证：是的切线；

(2)若，求阴影部分的面积．（结果保留）

2、如图，是的切线，点在上，与相交于，是的直径，连接，若．

(1)求证：平分；

(2)当，时，求的半径长．

3、如图，已知AB是⊙P的直径，点在⊙P上，为⊙P外一点，且∠ADC＝90°，2∠B＋∠DAB＝180°

(1)试说明：直线为⊙P的切线．

(2)若∠B＝30°，AD＝2，求CD的长．

4、如图，PA，PB是圆的切线，A，B为切点．

(1)求作：这个圆的圆心O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；

(2)在（1）的条件下，延长AO交射线PB于C点，若AC＝4，PA＝3，请补全图形，并求⊙O的半径．

5、如图，在中，，⊙O是的外接圆，过点C作，交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使，连接AF．

(1)求证：；

(2)求证：AF是⊙O的切线．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【解析】

【分析】

求出正五边形的一个内角的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可．

【详解】

解：∵正五边形ABCDE中，

∴∠BCD==108°，CB=CD，

∴∠CBD=∠CDB=（180°-108°）=36°，

故选：B．

【点睛】

本题考查了正多边形和圆，求出正五边形的一个内角度数是解决问题的关键．

2、B

【解析】

【分析】

画出图形，作，交BE于点D．根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求出AD的长，再由AD和AC的长作比较即可判断①②；由前面所求的AD的长和AB的长，结合该三角形外接圆的半径长，即可判断该外接圆的圆心可在AB上方，也可在AB下方，其与AE的交点即为C点，为两点不唯一，可判断其不符合题意．

【详解】

如图，，，点C在射线上．作，交BE于点D．

∵，

∴为等腰直角三角形，

∴，

∴不存在的三角形ABC，故①不符合题意；

∵，，AC=8，

而AC>6，

∴存在的唯一三角形ABC，

如图，点C即是．

∴，使得BC的长唯一成立，故②符合题意；

∵，，

∴存在两个点C使的外接圆的半径等于4，两个外接圆圆心分别在AB的上、下两侧，如图，点Ｃ和即为使的外接圆的半径等于4的点．

故③不符合题意．

故选B．

【点睛】

本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外接圆的性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键．

3、D

【解析】

【分析】

如图所示，连接DP，CP，先求出BP的长，然后利用勾股定理求出PD的长，再比较PC与PD的大小，PB与PD的大小即可得到答案．

【详解】

解：如图所示，连接DP，CP，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=90°，

∵AP=3，AB=8，

∴BP=AB-AP=5，

∵，

∴PB=PD，

∴，

∴点C在圆P外，点B在圆P上，

故选D．

【点睛】

本题主要考查了点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，熟知用点到圆心的距离与半径的关系去判断点与圆的位置关系是解题的关键．

4、B

【解析】

【分析】

连接OB，根据切线性质得∠ABO=90°，再根据圆周角定理求得∠AOB=60°，进而求得∠A=30°，然后根据含30°角的直角三角形的性质解答即可．

【详解】

解：连接OB，

∵AB与相切于点B，

∴∠ABO=90°，

∵∠BDC=30°，

∴∠AOB=2∠BDC=60°，

在Rt△ABO中，∠A=90°－60°=30°，OB=OC=2，

∴OA=2OB=4，

∴，

故选：B．

【点睛】

本题考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的锐角互余、含30°角的直角三角形性质、勾股定理，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．

5、C

【解析】

【分析】

分别计算出正三角形、正方形、正六边形的边心距,后根据勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，三角形构成的条件，判断即可．

【详解】

如图，∵正三角形、正方形、正六边形都内接于半径为1的圆，边心距分别为OC，OE，OG，OA=1，∠AOC=60°，∠AOE=45°，∠AOG=30°，

∴OC=OAcos60°=，OE= OAcos45°=，OG= OAcos30°=，

∵，

∴这个三角形是直角三角形，

故选C．

【点睛】

本题考查了正多边形与圆，特殊角的三角函数，勾股定理的逆定理，熟练掌握正多边形的计算是解题的关键．

6、D

【解析】

【分析】

根据圆内接正六边形的性质可得△AOB是正三角形，由面积公式可求出半径．

【详解】

解：如图，由圆内接正六边形的性质可得△AOB是正三角形，过作于

设半径为r，即OA=OB=AB=r，

OM=OA•sin∠OAB=，

∵圆O的内接正六边形的面积为（cm2），

∴△AOB的面积为（cm2），

即，

，

解得r=4，

故选：D．

【点睛】

本题考查正多边形和圆，作边心距转化为直角三角形的问题是解决问题的关键．

7、A

【解析】

【分析】

直接根据直线与圆的位置关系即可得出结论．

【详解】

解：∵⊙O的半径为6，直线m上有一动点P，OP=4，

∴直线与⊙O相交．

故选：A．

【点睛】

本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d=r时，直线l和⊙O相切是解答此题的关键．

8、D

【解析】

【分析】

如图所示，连接OA，OB，OC，利用切线定理可知△AOC与△AOB为直角三角形，进而可证明Rt△AOC≌Rt△AOB，根据三角板的角度可算出∠OAB的度数，借助三角函数求出OB的长度．

【详解】

解：如图所示，连接OA，OB，OC，

∵三角板的顶角为60°，

∴∠CAB=120°，

∵AC，AB，与扇形分别交于一点，

∴AC，AB是扇形O所在圆的切线，

∴OC⊥AC，OB⊥AB，

在Rt△AOC与Rt△AOB中，

∴Rt△AOC≌Rt△AOB，

∴∠OAC=∠OAB=60°，

由题可知AB=7－4=3，

∴OB=AB•tan60°= ，

∴直径为，

故选：D．

【点睛】

本题考查，圆的切线定理，全等三角形的判定，三角函数，在图中构造适合的辅助线是解决本题的关键．

9、B

【解析】

【分析】

利用圆的有关性质及定理、三角形的内心的性质、垂径定理等知识分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

解：A、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦相等，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；

B、三角形的内心是到三角形三边距离相等的点，是真命题，故本选项符合题意；

C、平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；

D、等弧是能够完全重合的弧，长度相等的弧不一定是等弧，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；

故选：B

【点睛】

本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关性质及定理、三角形的内心的性质、垂径定理等知识，难度不大．

10、D

【解析】

【分析】

由切线的性质得出∠OAB=90°，由直角三角形的性质得出∠AOB=90°-∠ABO=54°，由等腰三角形的性质得出∠ADC=∠OAD，再由三角形的外角性质即可得出答案．

【详解】

解：∵AB为⊙O的切线，

∴∠OAB＝90°，

∵∠ABO＝36°，

∴∠AOB＝90°﹣∠ABO＝54°，

∵OA＝OD，

∴∠ADC＝∠OAD，

∵∠AOB＝∠ADC+∠OAD，

∴∠ADC＝∠AOB＝27°；

故选：D．

【点睛】

本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握切线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．

二、填空题

1、14.3

【解析】

【分析】

如图，过点A作交于点D，由等腰三角形得点I、点O都在直线AD上，连接OB、OC，过点I作交于点E，设，，根据勾股定理求出，则，，由勾股定理求出R的值，证明由相似三角形的性质得，求出r的值，即可计算．

【详解】

如图，过点A作交于点D，

∵，，

∴是等腰三角形，

∴，

∵点I是的内心，点O是的外心，

∴点I、点O都在直线AD上，

连接OB、OC，过点I作交于点E，

设，，

在中，，

∴，，

在中，，

解得：，

∵，，

∴，

∴，即，  

解得：，

∴，

∴．

故答案为：14.3．

【点睛】

本题考查内切圆与外接圆，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，掌握内切圆的圆心为三角形三条角平分线的交点，外接圆圆心为三角形三条垂直平分线的交点是解题的关键．

2、或6．

【解析】

【分析】

先求出，分三种情况，利用⊙O的切线的特点构造直角三角形，用三角函数求解即可．

【详解】

解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，

∴∠B=60°，

∵AC = 15 cm，

∴

∴，

∵CD为AB边上中线，

∴，

∴∠BDC=∠BCD=∠B=60°，∠ACD=∠A=30°，

①当⊙O与AB相切时，过点O作OE⊥AB于E，如图1，

在Rt△ODE中，∠BDC=60°，OE=3，

∴，

∴；

∴；

②当⊙O与BC相切时，过O作OE⊥BC，如图2，

在Rt△OCE中，∠BCD=60°，OE=3，

∴

∴；

③当⊙O与AC相切时，过O作OE⊥AC于E，如图3，

在Rt△OCE中，∠ACD=30°，OE=3，

∴，

∴．

故答案为或6．

【点睛】

此题是切线的性质，主要考查了直角三角形的性质，斜边的中线等于斜边的一半，锐角三角函数，解本题的关键是用圆的切线构造直角三角形，借助三角函数来求解．

3、72°##72度

【解析】

【分析】

根据正多边形的中心角的计算公式： 计算即可．

【详解】

解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，

∴五边形ABCDE的中心角∠AOB的度数为 ＝72°，

故答案为：72°．

【点睛】

本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键．

4、##

【解析】

【分析】

连接EO，并延长交圆于点G，在Rt△DEF中求出EF的值，再证明△DEF∽△FGE，然后根据相似三角形的性质即可求解．

【详解】

解：连接EO，并延长交圆于点G，

∵四边形是矩形，

∴CD=，∠D=90°，

∵与相切于点，

∴OE⊥CD，再结合矩形的性质可得：

∴DE=CE=3．

∵，

∴EF=．

∵与相切于点，

∴∠GED=90°．

∵GE是直径，

∴∠GFE=90°，

∴∠DEF+∠GEF=90°，∠EGF+∠GEF=90°，

∴∠DEF=∠EGF．

∵∠D=∠∠GFE=90°，

∴△DEF∽△FGE，

∴，

∴，

∴GE=，

∴的半径是，

故答案为；．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，勾股定理，切线的性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．

5、外

【解析】

【分析】

点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．据此作答．

【详解】

解：∵⊙O的半径为3cm，点A到圆心O的距离OA为4cm，

即点A到圆心的距离大于圆的半径，

∴点A在⊙O外．

故答案为：外．

【点睛】

本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．

三、解答题

1、 (1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）要证明DE是⊙O的切线，所以连接OD，只要求出∠ODE＝90°即可解答；

（2）连接BD，利用Rt△ADB的面积加上弓形面积即可求出阴影部分的面积．

(1)

证明：连接OD，

∵，

∴∠CAD＝∠BAD，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠CAD＝∠ODA，

∴AE∥OD，

∴∠E+∠ODE＝90°，

∵DE⊥AC，

∴∠E＝90°，

∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，

∵OD是圆O的半径，

∴DE是⊙O的切线；

(2)

连接BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵∠ADE＝60°，∠E＝90°，

∴∠CAD＝90°﹣∠ADE＝30°，

∴∠DAB＝∠CAD＝30°，

∴AB＝2BD，

∵，

∴

∴BD＝2，BA＝4，

∴OD＝OB＝2，

∴△ODB是等边三角形，

∴∠DOB＝60°，

∴△ADB的面积＝AD•DB

＝×2×2

＝2，

∵OA＝OB，

∴△DOB的面积＝△ADB的面积＝，

∴阴影部分的面积为：

△ADB的面积+扇形DOB的面积﹣△DOB的面积

＝2﹣

＝，

∴阴影部分的面积为：．

【点睛】

本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，扇形的面积公式，勾股定理，含30°角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形，添加适当的辅助线是解题的关键．

2、 (1)见解析

(2)的半径长为．

【解析】

【分析】

（1）根据切线的性质，可得，由平行线的性质，等边对等角，等量代换即可得，进而得证；

（2）连接，根据直径所对的圆周角是直角，勾股定理求得，证明列出比例式，代入数值求解可得，进而求得半径

(1)

证明：如图，连接，

∵是的切线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，即平分；

(2)

解：如图，连接，

在中，，，

由勾股定理得：，

∵是的直径，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

解得：，

∴的半径长为．

【点睛】

本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握圆的相关知识以及相似三角形的是解题的关键．

3、 (1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）连接PC，则∠APC＝2∠B，可证PC∥DA，证得PC⊥CD，则结论得证；

（2）连接AC，根据∠B=30°，等腰三角形外角性质∠CPA=2∠B=60°，再证△APC为等边三角形，可求∠DCA=90°-∠ACP=90°-60°=30°，AD＝2，∠ADC＝90°，利用30°直角三角形性质得出AC=2AD=4，然后根据勾股定理CD=即可．

(1)

连接PC，

∵PC＝PB，

∴∠B＝∠PCB，

∴∠APC＝2∠B，

∵2∠B+∠DAB＝180°，

∴∠DAP+∠APC＝180°，

∴PC∥DA，

∵∠ADC＝90°，

∴∠DCP＝90°，

即DC⊥CP，

∴直线CD为⊙P的切线；

(2)

连接AC，

∵∠B=30°，

∴∠CPA=2∠B=60°，

∵AP=CP，∠CPA=60°，

∴△APC为等边三角形，

∵∠DCP=90°，

∴∠DCA=90°-∠ACP=90°-60°=30°，

∵AD＝2，∠ADC＝90°，

∴AC=2AD=4，

∴CD=．

【点睛】

本题考查切线的判定、平行线判定与性质，勾股定理、等腰三角形性质，外角性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．

4、 (1)见解析；

(2)见解析，的半径为

【解析】

【分析】

（1）过点B作BP的垂线，作∠APB的平分线，二线的交点就是圆心；

（2）根据切线的性质，利用勾股定理，建立一元一次方程求解即可．

(1)

如图所示，点O即为所求

(2)

如图，∵PA是圆的切线，AO是半径，PB是圆的切线，

∴∠CAP=90°，PA=PB=3，∠CBO=90°，

∵AC=4，

∴PC==5，BC=5-3=2，

设圆的半径为x，则OC=4-x，

∴，

解得x=，

故圆的半径为．

【点睛】

本题考查了垂线的画法，角的平分线的画法，切线的性质，切线长定理，勾股定理，一元一次方程的解法，熟练掌握切线的性质，切线长定理和勾股定理是解题的关键．

5、 (1)见解析；

(2)见解析

【解析】

【分析】

(1)由AB=AC知∠ABC=∠ACB，结合∠ACB=∠BCD，∠ABC=∠ADC得∠BCD=∠ADC，从而得证；

(2)连接OA，由∠CAF=∠CFA知∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF，结合∠ACB=∠BCD得∠ACD=2∠ACB，∠CAF=∠ACB，据此可知AF∥BC，从而得OA⊥AF，从而得证．

(1)

解：∵，

∴，

又∵，

∴，

∴ ；

(2)

解：如图，连接OA，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵已知，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴AF为⊙O的切线．

【点睛】

本题考查了圆周角定理、垂径定理推论、切线的判定、平行线的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．