冀教版九年级下册第29章 直线与圆的位置关系综合与测试达标测试
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这是一份冀教版九年级下册第29章 直线与圆的位置关系综合与测试达标测试,共31页。试卷主要包含了已知⊙O的半径为4,,则点A在,下列四个命题中,真命题是等内容,欢迎下载使用。
九年级数学下册第二十九章直线与圆的位置关系定向训练
考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
考生注意:
1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)
一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
1、如图,、是的切线,、是切点,点在上,且,则等于( )
A.54° B.58° C.64° D.68°
2、如图,在矩形ABCD中,点E在CD边上,连接AE,将沿AE翻折,使点D落在BC边的点F处,连接AF,在AF上取点O,以O为圆心,线段OF的长为半径作⊙O,⊙O与AB,AE分别相切于点G,H,连接FG,GH.则下列结论错误的是( )
A. B.四边形EFGH是菱形
C. D.
3、如图,中,,,点O是的内心.则等于( )
A.124° B.118° C.112° D.62°
4、如图,是的切线,B为切点,连接,与交于点C,D为上一动点(点D不与点C、点B重合),连接.若,则的度数为( )
A. B. C. D.
5、已知⊙O的半径为4,,则点A在( )
A.⊙O内 B.⊙O上 C.⊙O外 D.无法确定
6、下列四个命题中,真命题是( )
A.相等的圆心角所对的两条弦相等 B.三角形的内心是到三角形三边距离相等的点
C.平分弦的直径一定垂直于这条弦 D.等弧就是长度相等的弧
7、如图,面积为18的正方形ABCD内接于⊙O,则⊙O的半径为( )
A. B.
C.3 D.
8、如图,BD是⊙O的切线,∠BCE=30°,则∠D=( )
A.40° B.50° C.60° D.30°
9、如图,BE是的直径,点A和点D是上的两点,过点A作的切线交BE延长线于点C,若,则的度数是( )
A.18° B.28° C.36° D.45°
10、已知⊙O的半径为3cm,在平面内有一点A,且OA=6cm,则点A与⊙O的位置关系是( )
A.点A在⊙O内 ; B.点A在⊙O上;
C.点A在⊙O外; D.不能确定.
第Ⅱ卷(非选择题 70分)
二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
1、如图,、是的切线,其中、为切点,点在上,,则______.
2、如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在上,则∠BPC的度数为_____.
3、已知⊙O的直径为8cm,如果直线AB上的一点与圆心的距离为4cm,则直线AB与⊙O的位置关系是 _____.
4、如图,点O是的AB边上一点,,以OB长为半径作,与AC相切于点D.若,,则的半径长为______.
5、已知边长为2的正三角形,能将其完全覆盖的最小圆的面积为__________.
三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)
1、如图,直线MN交⊙O于A,B两点,AC是直径,AD平分∠CAM交⊙O于D,过D作DE⊥MN于E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若DE=8,AE=6,求⊙O的半径.
2、如图,⊙O是ABC的外接圆,∠ABC=45°,OCAD,AD交BC的延长线于D,AB交OC于E.
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)若AE=,CE=2,求⊙O的半径和线段BC的长.
3、苏科版教材八年级下册第94页第19题,小明在学过圆之后,对该题进行重新探究,请你和他一起完成问题探究.
【问题探究】小明把原问题转化为动点问题,如图1,在边长为6cm的正方形ABCD中,点E从点A出发,沿边AD向点D运动,同时,点F从点B出发,沿边BA向点A运动,它们的运动速度都是2cm/s,当点E运动到点D时,两点同时停止运动,连接CF、BE交于点M,设点E, F运动时问为t秒.
(1)【问题提出】如图1,点E,F分别在方形ABCD中的边AD、AB上,且,连接BE、CF交于点M,求证:.请你先帮小明加以证明.
(2)如图1,在点E、F的运动过程中,点M也随之运动,请直接写出点M的运动路径长 cm.
(3)如图2,连接CE,在点E、F的运动过程中.
①试说明点D在△CME的外接圆O上;
②若①中的O与正方形的各边共有6个交点,请直接写出t的取值范围.
4、如图,点E是的内心,AE的延长线交BC于点F,交的外接圆点D.过D作直线.
(1)求证:DM是的切线;
(2)求证:;
(3)若,,求的半径.
5、如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,直线l与⊙O相切于点A,在l上取一点D使得DA=DC,线段DC,AB的延长线交于点E.
(1)求证:直线DC是⊙O的切线;
(2)若BC=4,∠CAB=30°,求图中阴影部分的面积(结果保留π).
-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
连接,,根据圆周角定理可得,根据切线性质以及四边形内角和性质,求解即可.
【详解】
解:连接,,如下图:
∴
∵PA、PB是的切线,A、B是切点
∴
∴由四边形的内角和可得:
故选C.
【点睛】
此题考查了圆周角定理,切线的性质以及四边形内角和的性质,解题的关键是熟练掌握相关基本性质.
2、C
【解析】
【分析】
由折叠可得∠DAE=∠FAE,∠D=∠AFE=90°,EF=ED,再根据切线长定理得到AG=AH,∠GAF=∠HAF,进而求出∠GAF=∠HAF=∠DAE=30°,据此对A作出判断;接下来延长EF与AB交于点N,得到EF是⊙O的切线,ANE是等边三角形,证明四边形EFGH是平行四边形,再结合HE=EF可对B作出判断;在RtEFC中,∠C=90°,∠FEC=60°,则EF=2CE,再结合AD=DE对C作出判断;由AG=AH,∠GAF=∠HAF,得出GH⊥AO,不难判断D.
【详解】
解:由折叠可得∠DAE=∠FAE,∠D=∠AFE=90°,EF=ED.
∵AB和AE都是⊙O的切线,点G、H分别是切点,
∴AG=AH,∠GAF=∠HAF,
∴∠GAF=∠HAF=∠DAE=30°,
∴∠BAE=2∠DAE,故A正确,不符合题意;
延长EF与AB交于点N,如图:
∵OF⊥EF,OF是⊙O的半径,
∴EF是⊙O的切线,
∴HE=EF,NF=NG,
∴△ANE是等边三角形,
∴FG//HE,FG=HE,∠AEF=60°,
∴四边形EFGH是平行四边形,∠FEC=60°,
又∵HE=EF,
∴四边形EFGH是菱形,故B正确,不符合题意;
∵AG=AH,∠GAF=∠HAF,
∴GH⊥AO,故D正确,不符合题意;
在Rt△EFC中,∠C=90°,∠FEC=60°,
∴∠EFC=30°,
∴EF=2CE,
∴DE=2CE.
∵在Rt△ADE中,∠AED=60°,
∴AD=DE,
∴AD=2CE,故C错误,符合题意.
故选C.
【点睛】
本题是一道几何综合题,考查了切线长定理及推论,切线的判定,菱形的定义,含30的直角三角形的性质,等边三角形的判定和性质,翻折变换等,正确理解翻折变换及添加辅助线是解决本题的关键.
3、B
【解析】
【分析】
根据三角形内心的性质得到∠OBC=∠ABC=25°,∠OCB=∠ACB=37°,然后根据三角形内角和计算∠BOC的度数.
【详解】
解:∵点O是△ABC的内心,
∴OB平分∠ABC,OC平分∠ACB,
∴∠OBC=∠ABC=×50°=25°,∠OCB=∠ACB=×74°=37°,
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-37°=118°.
故选B.
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内心:三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点,三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.
4、B
【解析】
【分析】
如图:连接OB,由切线的性质可得∠OBA=90°,再根据直角三角形两锐角互余求得∠COB,然后再根据圆周角定理解答即可.
【详解】
解:如图:连接OB,
∵是的切线,B为切点
∴∠OBA=90°
∵
∴∠COB=90°-42°=48°
∴=∠COB=24°.
故选B.
【点睛】
本题主要考查了切线的性质、圆周角定理等知识点,掌握圆周角等于对应圆心角的一半成为解答本题的关键.
5、C
【解析】
【分析】
根据⊙O的半径r=4,且点A到圆心O的距离d=5知d>r,据此可得答案.
【详解】
解:∵⊙O的半径r=4,且点A到圆心O的距离d=5,
∴d>r,
∴点A在⊙O外,
故选:C.
【点睛】
本题主要考查点与圆的位置关系,点与圆的位置关系有3种.设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:①点P在圆外⇔d>r;②点P在圆上⇔d=r;③点P在圆内⇔d<r.
6、B
【解析】
【分析】
利用圆的有关性质及定理、三角形的内心的性质、垂径定理等知识分别判断后即可确定正确的选项.
【详解】
解:A、同圆或等圆中,相等的圆心角所对的两条弦相等,则原命题是假命题,故本选项不符合题意;
B、三角形的内心是到三角形三边距离相等的点,是真命题,故本选项符合题意;
C、平分弦(不是直径)的直径一定垂直于这条弦,则原命题是假命题,故本选项不符合题意;
D、等弧是能够完全重合的弧,长度相等的弧不一定是等弧,则原命题是假命题,故本选项不符合题意;
故选:B
【点睛】
本题主要考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解圆的有关性质及定理、三角形的内心的性质、垂径定理等知识,难度不大.
7、C
【解析】
【分析】
连接OA、OB,则为等腰直角三角形,由正方形面积为18,可求边长为,进而通过勾股定理,可得半径为3.
【详解】
解:如图,连接OA,OB,则OA=OB,
∵四边形ABCD是正方形,
∴,
∴是等腰直角三角形,
∵正方形ABCD的面积是18,
∴,
∴,即:
∴
故选C.
【点睛】
本题考查了正多边形和圆、正方形的性质等知识,构造等腰直角三角形是解题的关键.
8、D
【解析】
【分析】
连接,根据同弧所对的圆周角相等,等角对等边,三角形的外角性质可得,根据切线的性质可得,根据直角三角形的两个锐角互余即可求得.
【详解】
解:连接
BD是⊙O的切线
故选D
【点睛】
本题考查了切线的性质,等弧所对的圆周角相等,直角三角形的两锐角互余,掌握切线的性质是解题的关键.
9、A
【解析】
【分析】
连接,根据同弧所对的圆周角相等可得,根据圆周角定理可得,根据切线的性质以及直角三角形的两锐角互余即可求得的度数.
【详解】
解:如图,连接
,
是的切线
故选A
【点睛】
本题考查了切线的性质,圆周角定理,求得的度数是解题的关键.
10、C
【解析】
【分析】
要确定点与圆的位置关系,主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系;利用d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上;当d<r时,点在圆内判断出即可.
【详解】
解:∵⊙O的半径为3cm,OA=6cm,
∴d>r,
∴点A与⊙O的位置关系是:点A在⊙O外,
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为r,点到圆心的距离为d,则有:当d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上,当d<r时,点在圆内.
二、填空题
1、76
【解析】
【分析】
连接OA、OB,根据圆周角定理求得∠AOB,由切线的性质求出∠OAP=∠OBP=90°,再由四边形的内角和等于360°,即可得出答案
【详解】
解:连接OA、OB,,
∴∠AOB=104°
∵PA、PB是⊙O的两条切线,点A、B为切点,
∴∠OAP=∠OBP=90°
∵∠APB+∠OAP+∠AOB+∠OBP=360°
∴∠APB=180°-(∠OAP+∠AOB+∠OBP)=76°
故答案为:76
【点睛】
本题考查了切线的性质、四边形的内角和定理以及圆周角定理,利用切线性质和圆周角定理求出角的度数是解题的关键
2、45°##45度
【解析】
【分析】
连接OB、OC,根据正方形的性质得到∠BOC的度数,利用圆周角与圆心角的关系得到答案.
【详解】
解:连接OB、OC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BOC=90°,
∴∠BPC=,
故答案为:45°.
【点睛】
此题考查了圆内接正方形的性质,圆周角定理:同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,熟记各知识点是解题的关键.
3、相切或相交
【解析】
【分析】
本题需分类讨论,当直线上的点到圆心的连线垂直于直线AB时,直线于圆的位置关系为相切,当直线上的点到圆心的连线与直线AB不垂直时,直线到圆心的距离小于圆的半径,直线与圆相交.
【详解】
设直线AB上与圆心距离为4cm的点为C,
当OC⊥AB时,OC=⊙O的半径,
所以直线AB与⊙O相切,
当OC与AB不垂直时,圆心O到直线AB的距离小于OC,
所以圆心O到直线AB的距离小于⊙O的半径,
所以直线AB与⊙O相交,
综上所述直线AB与⊙O的位置关系为相切或相交,
故答案为:相切或相交.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系,本题需根据圆心与直线上一点的距离,分类讨论圆与直线的位置关系,利用分类讨论思想是解决本题的关键.
4、##
【解析】
【分析】
在Rt△ABC中,利用正弦函数求得AB的长,再在Rt△AOD中,利用正弦函数得到关于r的方程,求解即可.
【详解】
解:在Rt△ABC中,BC=4,sinA=,
∴=,即=,
∴AB=5,
连接OD,
∵AC是⊙O的切线,
∴OD⊥AC,
设⊙O的半径为r,则OD= OB=r,
∴AO=5- r,
在Rt△AOD中,sinA=,
∴=,即=,
∴r=.
经检验r=是方程的解,
∴⊙O的半径长为.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了切线的性质,正弦函数,解题的关键是掌握切线的性质、解直角三角形等知识点.
5、##
三、解答题
1、 (1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)连接OD,根据等腰三角形的性质和角平分线定义证得∠ODA=∠DAE,可证得DO∥MN,根据平行线的性质和切线的判定即可证的结论;
(2)连接CD,先由勾股定理求得AD,连接CD,根据圆周角定理和相似三角形的判定证明△ACD∽△ADE,然后根据相似三角形的性质求解AC即可求解.
(1)
证明:连接OD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵AD平分∠CAM,∠OAD=∠DAE,
∴∠ODA=∠DAE,
∴DO∥MN,
∵DE⊥MN,
∴DE⊥OD,
∵D在⊙O上,
∴DE是⊙O的切线;
(2)
解:∵∠AED=90°,DE=8,AE=6,
∴AD==10,
连接CD,∵AC是⊙O的直径,
∴∠ADC=∠AED=90°,
∵∠CAD=∠DAE,
∴△ACD∽△ADE,
∴,即,
∴AC=,
∴⊙O的半径是.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质、切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识,熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.
2、 (1)见解析
(2)4,
【解析】
【分析】
(1)连接OA.由及圆周角定理求出∠OAD=90°,即可得到结论;
(2)设⊙O的半径为R,在Rt△OAE中,勾股定理求出R, 延长CO交⊙O于F,连接AF,证明△CEB∽△AEF,得到,由此求出⊙O的半径和线段BC的长.
(1)
证明:连接OA.
∵,
∴∠AOC+∠OAD=180°,
∵∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°,
∴∠OAD=90°,
∴OA⊥AD,
∵OA是半径,
∴AD是⊙O的切线.
(2)
解:设⊙O的半径为R,则OA=R,OE=R-2.
在Rt△OAE中,,
∴,
解得或(不合题意,舍去),
延长CO交⊙O于F,连接AF,
∵∠AEF=∠CEB,∠B=∠AFE,
∴△CEB∽△AEF,
∴,
∵CF是直径,
∴CF=8,∠CAF=90°,
又∵∠F=∠ABC=45°,
∴∠F=∠ACF=45°,
∴AF=,
∴,
∴BC=.
.
【点睛】
此题考查了证明直线是圆的切线,勾股定理,相似三角形的判定及性质,直径所对的圆周角是直角的性质,等腰直角三角形的性质,正确作出辅助线解题是解题的关键.
3、 (1)见解析
(2)
(3)①见解析;②
【解析】
【分析】
(1)根据正方形的性质以及动点的路程相等,证明,根据同角的余角相等,即可证明,即;
(2)当t=0时,点M与点B重合,当时,点随之停止,求得运动轨迹为圆,根据弧长公式进行计算即可;
(3)①根据(2)可得△CME的外接圆的圆心O是斜边CE的中点,继而判断点D、C、M、E在同一个圆()上;②当与AB相切时,与正方形的各边共有5个交点,如图5则有6个交点,所以“当与AB相切时”是临界情况.如图4,当与AB相切(切点为G),连接OG,并延长GO交CD于点H,在Rt△CHO中求得半径,进而勾股定理求得,即可求得当时,与正方形的各边共有6个交点.
(1)
四边形是正方形,
,
又的运动速度都是2cm/s,
即
(2)
∵.
∴点M在以CB为直径的圆上,如图1,当t=0时,点M与点B重合;
如图2,当t=3时,点M为正方形对角线的交点.点M的运动路径为圆,其路径长.
故答案为:
(3)
①如图3.由前面结论可知:
∴△CME的外接圆的圆心O是斜边CE的中点,
则
在Rt△CDE中,,O是CE的中点.
∴,
∴
∴点D、C、M、E在同一个圆()上,
即点D在△CME的外接圆上;.
②.
如图4,当与AB相切时,与正方形的各边共有5个交点,如图5则有6个交点,所以“当与AB相切时”是临界情况.
如图4,当与AB相切(切点为G),连接OG,并延长GO交CD于点H.
∵AB与相切,
∴,
又∵,
∴,
设的半径为R.由题意得:
在Rt△CHO中,,解得
∴
∴,即
∴如图5,当时,与正方形的各边共有6个交点.
【点睛】
本题考查了求弧长,切线的性质,直径所对的圆周角是直角,三角形的外心,正方形的性质,全等三角形的性质与判定,分类讨论是解题的关键.
4、 (1)见解析
(2)见解析
(3)⊙O的半径为5.
【解析】
【分析】
(1)连接OD交BC于H,根据圆周角定理和切线的判定即可证明;
(2)连接BD,由点E是△ABC的内心,得到∠ABE=∠CBE,∠DBC=∠BAD,推出∠BED=∠DBE,根据等角对等边得到BD=DE;
(3)根据垂径定理和勾股定理即可求出结果.
(1)
证明:连接OD交BC于H,如图,
∵点E是△ABC的内心,
∴AD平分∠BAC,
即∠BAD=∠CAD,
∴,
∴OD⊥BC,BH=CH,
∵DM∥BC,
∴OD⊥DM,
∴DM是⊙O的切线;
(2)
证明:∵点E是△ABC的内心,
∴∠ABE=∠CBE,
∵,
∴∠DBC=∠BAD,
∴∠DEB=∠BAD+∠ABE=∠DBC+∠CBE=∠DBE,
即∠BED=∠DBE,
∴BD=DE;
(3)
解:设⊙O的半径为r,
连接OD,OB,如图,
由(1)得OD⊥BC,BH=CH,
∵BC=8,
∴BH=CH=4,
∵DE=2,BD=DE,
∴BD=2,
在Rt△BHD中,BD2=BH2+HD2,
∴(2)2=42+HD2,解得:HD=2,
在Rt△BHO中,
r2=BH2+(r-2)2,解得:r=5.
∴⊙O的半径为5.
【点睛】
本题考查了三角形的内心,切线的判定与性质,三角形的外接圆与外心,圆周角定理,垂径定理,解决本题的关键是综合运用以上知识.
5、 (1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)连接OC,由题意得,根据等边对等角得,,即可得,则,即可得;
(2)根据三角形的外角定理得,又根据得是等边三角形,则,根据三角形内角和定理得,根据直角三角形的性质得,根据勾股定理得,用三角形OEC的面积减去扇形OCB的面积即可得.
(1)
证明:如图所示,连接OC,
∵AB是的直径,直线l与相切于点A,
∴,
∵,,
∴,,
∴,
∴,
∴直线DC是的切线.
(2)
解:∵,
∴,
又∵,
∴是等边三角形,
∴,
在中,,
∴,
∴,
∴,
∴阴影部分的面积=.
【点睛】
本题考查了切线,三角形的外角定理,等边三角形的判定与性质,直角三角形的性质,勾股定理,解题的关键是掌握这些知识点.
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