初中数学冀教版九年级下册第29章 直线与圆的位置关系综合与测试一课一练
展开九年级数学下册第二十九章直线与圆的位置关系同步测评
考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
考生注意:
1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)
一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
1、在中,,,给出条件:①;②;③外接圆半径为4.请在给出的3个条件中选取一个,使得BC的长唯一.可以选取的是( )
A.① B.② C.③ D.①或③
2、下列说法正确的是( )
A.三点确定一个圆 B.任何三角形有且只有一个内切圆
C.相等的圆心角所对的弧相等 D.正多边形一定是中心对称图形
3、如图,BE是⊙O的直径,点A和点D是⊙O上的两点,过点A作的切线交BE延长线于点C,若∠ADE=36°,则∠C的度数是( )
A.18° B.28° C.36° D.45°
4、如图,面积为18的正方形ABCD内接于⊙O,则⊙O的半径为( )
A. B.
C.3 D.
5、如图,一把宽为2cm的刻度尺(单位:cm),放在一个圆形茶杯的杯口上,刻度尺的一边与杯口外沿相切,另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和10,茶杯的杯口外沿半径为( )
A.10cm B.8cm C.6cm D.5cm
6、下列四个命题中,真命题是( )
A.相等的圆心角所对的两条弦相等 B.三角形的内心是到三角形三边距离相等的点
C.平分弦的直径一定垂直于这条弦 D.等弧就是长度相等的弧
7、以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则( )
A.不能构成三角形 B.这个三角形是等边三角形
C.这个三角形是直角三角形 D.这个三角形是等腰三角形
8、如图,在矩形ABCD中,点E在CD边上,连接AE,将沿AE翻折,使点D落在BC边的点F处,连接AF,在AF上取点O,以O为圆心,线段OF的长为半径作⊙O,⊙O与AB,AE分别相切于点G,H,连接FG,GH.则下列结论错误的是( )
A. B.四边形EFGH是菱形
C. D.
9、若正方形的边长为4,则它的外接圆的半径为( )
A. B.4 C. D.2
10、如图,中,,,点O是的内心.则等于( )
A.124° B.118° C.112° D.62°
第Ⅱ卷(非选择题 70分)
二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
1、如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,若⊙O的周长为8π,则正六边形的边长为________.
2、若的半径为5cm,点到圆心的距离为4cm,那么点与的位置关系是__.
3、如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在上,则∠BPC的度数为_____.
4、如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,∠OAB=30°.则∠APB=________度;
5、已知⊙A的半径为5,圆心A(4,3),坐标原点O与⊙A的位置关系是______.
三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)
1、如图,四边形OAEC是平行四边形,以O为圆心,OC为半径的圆交CE于D,延长CO交O于B,连接AD、AB,AB是O的切线.
(1)求证:AD是O的切线.
(2)若O的半径为4,,求平行四边形OAEC的面积.
2、如图,是的直径,是圆上两点,且有,连结,作的延长线于点.
(1)求证:是的切线;
(2)若,求阴影部分的面积.(结果保留)
3、如图,点在轴正半轴上,,点是第一象限内的一点,以为直径的圆交轴于,两点,,两点的横坐标是方程的两个根,,连接.
(1)如图(1),连接.
①求的正切值;
②求点的坐标.
(2)如图(2),若点是的中点,作于点,连接,,,求证:.
4、如图,点E是的内心,AE的延长线交BC于点F,交的外接圆点D.过D作直线.
(1)求证:DM是的切线;
(2)求证:;
(3)若,,求的半径.
5、苏科版教材八年级下册第94页第19题,小明在学过圆之后,对该题进行重新探究,请你和他一起完成问题探究.
【问题探究】小明把原问题转化为动点问题,如图1,在边长为6cm的正方形ABCD中,点E从点A出发,沿边AD向点D运动,同时,点F从点B出发,沿边BA向点A运动,它们的运动速度都是2cm/s,当点E运动到点D时,两点同时停止运动,连接CF、BE交于点M,设点E, F运动时问为t秒.
(1)【问题提出】如图1,点E,F分别在方形ABCD中的边AD、AB上,且,连接BE、CF交于点M,求证:.请你先帮小明加以证明.
(2)如图1,在点E、F的运动过程中,点M也随之运动,请直接写出点M的运动路径长 cm.
(3)如图2,连接CE,在点E、F的运动过程中.
①试说明点D在△CME的外接圆O上;
②若①中的O与正方形的各边共有6个交点,请直接写出t的取值范围.
-参考答案-
一、单选题
1、B
【解析】
【分析】
画出图形,作,交BE于点D.根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求出AD的长,再由AD和AC的长作比较即可判断①②;由前面所求的AD的长和AB的长,结合该三角形外接圆的半径长,即可判断该外接圆的圆心可在AB上方,也可在AB下方,其与AE的交点即为C点,为两点不唯一,可判断其不符合题意.
【详解】
如图,,,点C在射线上.作,交BE于点D.
∵,
∴为等腰直角三角形,
∴,
∴不存在的三角形ABC,故①不符合题意;
∵,,AC=8,
而AC>6,
∴存在的唯一三角形ABC,
如图,点C即是.
∴,使得BC的长唯一成立,故②符合题意;
∵,,
∴存在两个点C使的外接圆的半径等于4,两个外接圆圆心分别在AB的上、下两侧,如图,点C和即为使的外接圆的半径等于4的点.
故③不符合题意.
故选B.
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,三角形外接圆的性质.利用数形结合的思想是解答本题的关键.
2、B
【解析】
【分析】
根据确定圆的条件、三角形的内切圆、圆心角化和弧的关系、中心对称图形的概念判断.
【详解】
解:A、不在同一直线上的三点确定一个圆,故错误;
B、任何三角形有且只有一个内切圆,正确;
C、在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,故错误;
D、边数是偶数的正多边形一定是中心对称图形,故错误;
故选:B.
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
3、A
【解析】
【分析】
连接OA,DE,利用切线的性质和角之间的关系解答即可.
【详解】
解:连接OA,DE,如图,
∵AC是的切线,OA是的半径,
∴OAAC
∠OAC=90°
∠ADE=36°
AOE=2∠ADE=72°
∠C=90°-∠AOE=90°-72°=18°
故选:A.
【点睛】
本题考查了圆周角定理,切线的性质,能求出∠OAC和∠AOC是解题的关键.
4、C
【解析】
【分析】
连接OA、OB,则为等腰直角三角形,由正方形面积为18,可求边长为,进而通过勾股定理,可得半径为3.
【详解】
解:如图,连接OA,OB,则OA=OB,
∵四边形ABCD是正方形,
∴,
∴是等腰直角三角形,
∵正方形ABCD的面积是18,
∴,
∴,即:
∴
故选C.
【点睛】
本题考查了正多边形和圆、正方形的性质等知识,构造等腰直角三角形是解题的关键.
5、D
【解析】
【分析】
作OD⊥AB于C,OC的延长线交圆于D,其中点为圆心,为半径,cm,cm;设茶杯的杯口外沿半径为,在中,由勾股定理知,进而得出结果.
【详解】
解:作OD⊥AB于C,OC的延长线交圆于D,其中点为圆心,为半径,
由题意可知cm,cm;
∵
∴AC=BC=4cm,
设茶杯的杯口外沿半径为
则在中,由勾股定理知
解得
故选D.
【点睛】
本题考查了垂径定理,切线的性质,勾股定理的应用.解题的关键在于将已知线段长度转化到一个直角三角形中求解计算.
6、B
【解析】
【分析】
利用圆的有关性质及定理、三角形的内心的性质、垂径定理等知识分别判断后即可确定正确的选项.
【详解】
解:A、同圆或等圆中,相等的圆心角所对的两条弦相等,则原命题是假命题,故本选项不符合题意;
B、三角形的内心是到三角形三边距离相等的点,是真命题,故本选项符合题意;
C、平分弦(不是直径)的直径一定垂直于这条弦,则原命题是假命题,故本选项不符合题意;
D、等弧是能够完全重合的弧,长度相等的弧不一定是等弧,则原命题是假命题,故本选项不符合题意;
故选:B
【点睛】
本题主要考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解圆的有关性质及定理、三角形的内心的性质、垂径定理等知识,难度不大.
7、C
【解析】
【分析】
分别计算出正三角形、正方形、正六边形的边心距,后根据勾股定理的逆定理,等腰三角形的判定,等边三角形的判定,三角形构成的条件,判断即可.
【详解】
如图,∵正三角形、正方形、正六边形都内接于半径为1的圆,边心距分别为OC,OE,OG,OA=1,∠AOC=60°,∠AOE=45°,∠AOG=30°,
∴OC=OAcos60°=,OE= OAcos45°=,OG= OAcos30°=,
∵,
∴这个三角形是直角三角形,
故选C.
【点睛】
本题考查了正多边形与圆,特殊角的三角函数,勾股定理的逆定理,熟练掌握正多边形的计算是解题的关键.
8、C
【解析】
【分析】
由折叠可得∠DAE=∠FAE,∠D=∠AFE=90°,EF=ED,再根据切线长定理得到AG=AH,∠GAF=∠HAF,进而求出∠GAF=∠HAF=∠DAE=30°,据此对A作出判断;接下来延长EF与AB交于点N,得到EF是⊙O的切线,ANE是等边三角形,证明四边形EFGH是平行四边形,再结合HE=EF可对B作出判断;在RtEFC中,∠C=90°,∠FEC=60°,则EF=2CE,再结合AD=DE对C作出判断;由AG=AH,∠GAF=∠HAF,得出GH⊥AO,不难判断D.
【详解】
解:由折叠可得∠DAE=∠FAE,∠D=∠AFE=90°,EF=ED.
∵AB和AE都是⊙O的切线,点G、H分别是切点,
∴AG=AH,∠GAF=∠HAF,
∴∠GAF=∠HAF=∠DAE=30°,
∴∠BAE=2∠DAE,故A正确,不符合题意;
延长EF与AB交于点N,如图:
∵OF⊥EF,OF是⊙O的半径,
∴EF是⊙O的切线,
∴HE=EF,NF=NG,
∴△ANE是等边三角形,
∴FG//HE,FG=HE,∠AEF=60°,
∴四边形EFGH是平行四边形,∠FEC=60°,
又∵HE=EF,
∴四边形EFGH是菱形,故B正确,不符合题意;
∵AG=AH,∠GAF=∠HAF,
∴GH⊥AO,故D正确,不符合题意;
在Rt△EFC中,∠C=90°,∠FEC=60°,
∴∠EFC=30°,
∴EF=2CE,
∴DE=2CE.
∵在Rt△ADE中,∠AED=60°,
∴AD=DE,
∴AD=2CE,故C错误,符合题意.
故选C.
【点睛】
本题是一道几何综合题,考查了切线长定理及推论,切线的判定,菱形的定义,含30的直角三角形的性质,等边三角形的判定和性质,翻折变换等,正确理解翻折变换及添加辅助线是解决本题的关键.
9、C
【解析】
【分析】
根据圆内接正多边形的性质可得正方形的中心即圆心,进而可知正方形的对角线即为圆的直径,根据勾股定理求得正方形对角线的长度即可求得它的外接圆的半径.
【详解】
解:∵四边形是正方形,
∴的交点即为它的外接圆的圆心,
故选C
【点睛】
本题考查了圆内接正多边形的性质,勾股定理,理解正方形的对角线即为圆的直径是解题的关键.
10、B
【解析】
【分析】
根据三角形内心的性质得到∠OBC=∠ABC=25°,∠OCB=∠ACB=37°,然后根据三角形内角和计算∠BOC的度数.
【详解】
解:∵点O是△ABC的内心,
∴OB平分∠ABC,OC平分∠ACB,
∴∠OBC=∠ABC=×50°=25°,∠OCB=∠ACB=×74°=37°,
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-37°=118°.
故选B.
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内心:三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点,三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.
二、填空题
1、4
【解析】
【分析】
由周长公式可得⊙O半径为4,再由正多边形的中心角公式可得正六边形ABCDEF中心角为,即可知正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的,则可求得六边形ABCDEF边长.
【详解】
∵⊙O的周长为8π
∴⊙O半径为4
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O
∴正六边形ABCDEF中心角为
∴正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的
∴正六边形ABCDEF边长为4.
故答案为:4.
【点睛】
本题考查了正多边形的中心角公式,正n边形的每个中心角都等于,由中心角为得出正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的是解题的关键.
2、点在圆内
【解析】
【分析】
比较点到圆心的距离d与半径r的大小关系;当时,点在圆外;当时,点在圆上;当时,点在圆内;求值后进行判断即可.
【详解】
解:的半径为,点A到圆心的距离为
点A与的位置关系是:点A在圆内
故答案为:点A在圆内.
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系.解题的关键在于比较点到圆心的距离d与半径r的大小关系.
3、45°##45度
【解析】
【分析】
连接OB、OC,根据正方形的性质得到∠BOC的度数,利用圆周角与圆心角的关系得到答案.
【详解】
解:连接OB、OC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BOC=90°,
∴∠BPC=,
故答案为:45°.
【点睛】
此题考查了圆内接正方形的性质,圆周角定理:同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,熟记各知识点是解题的关键.
4、60
【解析】
【分析】
先根据圆的切线的性质可得,从而可得,再根据切线长定理可得,然后根据等边三角形的判定与性质即可得.
【详解】
解:是的切线,
,
,
,
,
是等边三角形,
,
故答案为:60.
【点睛】
本题考查了圆的切线的性质、切线长定理等知识点,熟练掌握圆的切线的性质是解题关键.
5、在⊙A上
【解析】
【分析】
先根据两点间的距离公式计算出OA,然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点O与⊙A的位置关系.
【详解】
解:∵点A的坐标为(4,3),
∴OA==5,
∵半径为5,
∴OA=r,
∴点O在⊙A上.
故答案为:在⊙A上.
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系:点与圆的位置关系有3种.设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,当点P在圆外⇔d>r;当点P在圆上⇔d=r;当点P在圆内⇔d<r.
三、解答题
1、 (1)见解析
(2)32
【解析】
【分析】
(1)连接OD,证明,可得,根据切线的性质可得,进而可得,即可证明AD是O的切线;
(2)根据平行四边形OAEC的面积等于2倍即可求解.
(1)
证明:连接OD.
∵四边形OAEC是平行四边形,
∴,
又∵,
∴,
∵AB与相切于点B,
∴,
又∵OD是的半径,
∴AD为的切线.
(2)
∵
在Rt△AOD中,
∴平行四边形OABC的面积是
【点睛】
本题考查了切线的性质与判定,平行四边形的性质,三角形全等的性质与判定,掌握切线的性质与判定是解题的关键.
2、 (1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)要证明DE是⊙O的切线,所以连接OD,只要求出∠ODE=90°即可解答;
(2)连接BD,利用Rt△ADB的面积加上弓形面积即可求出阴影部分的面积.
(1)
证明:连接OD,
∵,
∴∠CAD=∠BAD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠CAD=∠ODA,
∴AE∥OD,
∴∠E+∠ODE=90°,
∵DE⊥AC,
∴∠E=90°,
∴∠ODE=180°﹣∠E=90°,
∵OD是圆O的半径,
∴DE是⊙O的切线;
(2)
连接BD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∵∠ADE=60°,∠E=90°,
∴∠CAD=90°﹣∠ADE=30°,
∴∠DAB=∠CAD=30°,
∴AB=2BD,
∵,
∴
∴BD=2,BA=4,
∴OD=OB=2,
∴△ODB是等边三角形,
∴∠DOB=60°,
∴△ADB的面积=AD•DB
=×2×2
=2,
∵OA=OB,
∴△DOB的面积=△ADB的面积=,
∴阴影部分的面积为:
△ADB的面积+扇形DOB的面积﹣△DOB的面积
=2﹣
=,
∴阴影部分的面积为:.
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质,圆周角定理,扇形的面积公式,勾股定理,含30°角的直角三角形,根据题目的已知条件并结合图形,添加适当的辅助线是解题的关键.
3、 (1)①,②(4,3)
(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)①过点P作PH⊥DC于H,作AF⊥PH于F,连接PD、AD,利用因式分解法解出一元二次方程,求出OD、OC,根据垂径定理求出DH,根据勾股定理计算求出半径,根据圆周角定理得到∠ADB=90°,根据正切的定义计算即可;②过点B作BE⊥x轴于点E,作AG⊥BE于G,根据平行线分线段成比例定理定理分别求出OE、BE,得到点B的坐标;
(2)过点E作EH⊥x轴于H,证明△EHD≌△EFB,得到EH=EF,DH=BF,再证明Rt△EHC≌Rt△EFC,得到CH=CF,结合图形计算,证明结论.
(1)
解:①以AB为直径的圆的圆心为P,
过点P作PH⊥DC于H,作AF⊥PH于F,连接PD、AD,
则DH=HC=DC,四边形AOHF为矩形,
∴AF=OH,FH=OA=1,
解方程x2﹣4x+3=0,得x1=1,x2=3,
∵OC>OD,
∴OD=1,OC=3,
∴DC=2,
∴DH=1,
∴AF=OH=2,
设圆的半径为r,则PH2=,
∴PF=PH﹣FH,
在Rt△APF中,AP2=AF2+PF2,即r2=22+(PH﹣1)2,
解得:r=,PH=2,PF=PH﹣FH=1,
∵∠AOD=90°,OA=OD=1,
∴AD=,
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,
∴BD===3,
∴tan∠ABD===;
②过点B作BE⊥x轴于点E,交圆于点G,连接AG,
∴∠BEO=90°,
∵AB为直径,
∴∠AGB=90°,
∵∠AOE=90°,
∴四边形AOEG是矩形,
∴OE=AG,OA=EG=1,
∵AF=2,
∵PH⊥DC,
∴PH⊥AG,
∴AF=FG=2,
∴AG=OE=4,BG=2PF=2,
∴BE=3,
∴点B的坐标为(4,3);
(2)
证明:过点E作EH⊥x轴于H,
∵点E是的中点,
∴=,
∴ED=EB,
∵四边形EDCB为圆P的内接四边形,
∴∠EDH=∠EBF,
在△EHD和△EFB中,
,
∴△EHD≌△EFB(AAS),
∴EH=EF,DH=BF,
在Rt△EHC和Rt△EFC中,
,
∴Rt△EHC≌Rt△EFC(HL),
∴CH=CF,
∴2CF=CH+CF=CD+DH+BC﹣BF=BC+CD.
【点睛】
本题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定和性质、垂径定理、勾股定理的应用,正确作出辅助线、求出圆的半径是解题的关键.
4、 (1)见解析
(2)见解析
(3)⊙O的半径为5.
【解析】
【分析】
(1)连接OD交BC于H,根据圆周角定理和切线的判定即可证明;
(2)连接BD,由点E是△ABC的内心,得到∠ABE=∠CBE,∠DBC=∠BAD,推出∠BED=∠DBE,根据等角对等边得到BD=DE;
(3)根据垂径定理和勾股定理即可求出结果.
(1)
证明:连接OD交BC于H,如图,
∵点E是△ABC的内心,
∴AD平分∠BAC,
即∠BAD=∠CAD,
∴,
∴OD⊥BC,BH=CH,
∵DM∥BC,
∴OD⊥DM,
∴DM是⊙O的切线;
(2)
证明:∵点E是△ABC的内心,
∴∠ABE=∠CBE,
∵,
∴∠DBC=∠BAD,
∴∠DEB=∠BAD+∠ABE=∠DBC+∠CBE=∠DBE,
即∠BED=∠DBE,
∴BD=DE;
(3)
解:设⊙O的半径为r,
连接OD,OB,如图,
由(1)得OD⊥BC,BH=CH,
∵BC=8,
∴BH=CH=4,
∵DE=2,BD=DE,
∴BD=2,
在Rt△BHD中,BD2=BH2+HD2,
∴(2)2=42+HD2,解得:HD=2,
在Rt△BHO中,
r2=BH2+(r-2)2,解得:r=5.
∴⊙O的半径为5.
【点睛】
本题考查了三角形的内心,切线的判定与性质,三角形的外接圆与外心,圆周角定理,垂径定理,解决本题的关键是综合运用以上知识.
5、 (1)见解析
(2)
(3)①见解析;②
【解析】
【分析】
(1)根据正方形的性质以及动点的路程相等,证明,根据同角的余角相等,即可证明,即;
(2)当t=0时,点M与点B重合,当时,点随之停止,求得运动轨迹为圆,根据弧长公式进行计算即可;
(3)①根据(2)可得△CME的外接圆的圆心O是斜边CE的中点,继而判断点D、C、M、E在同一个圆()上;②当与AB相切时,与正方形的各边共有5个交点,如图5则有6个交点,所以“当与AB相切时”是临界情况.如图4,当与AB相切(切点为G),连接OG,并延长GO交CD于点H,在Rt△CHO中求得半径,进而勾股定理求得,即可求得当时,与正方形的各边共有6个交点.
(1)
四边形是正方形,
,
又的运动速度都是2cm/s,
即
(2)
∵.
∴点M在以CB为直径的圆上,如图1,当t=0时,点M与点B重合;
如图2,当t=3时,点M为正方形对角线的交点.点M的运动路径为圆,其路径长.
故答案为:
(3)
①如图3.由前面结论可知:
∴△CME的外接圆的圆心O是斜边CE的中点,
则
在Rt△CDE中,,O是CE的中点.
∴,
∴
∴点D、C、M、E在同一个圆()上,
即点D在△CME的外接圆上;.
②.
如图4,当与AB相切时,与正方形的各边共有5个交点,如图5则有6个交点,所以“当与AB相切时”是临界情况.
如图4,当与AB相切(切点为G),连接OG,并延长GO交CD于点H.
∵AB与相切,
∴,
又∵,
∴,
设的半径为R.由题意得:
在Rt△CHO中,,解得
∴
∴,即
∴如图5,当时,与正方形的各边共有6个交点.
【点睛】
本题考查了求弧长,切线的性质,直径所对的圆周角是直角,三角形的外心,正方形的性质,全等三角形的性质与判定,分类讨论是解题的关键.
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