初中数学中考二轮专题练习 专题05 反比例函数的应用

知识梳理

1．利用待定系数法确定反比例函数解析式

由于反比例函数y＝中只有一个待定系数，因此只要一对对应的x，y值，或已知其图象上一个______的坐标即可求出k，进而确定反比例函数的解析式．

2．反比例函数的实际应用

解决反比例函数应用问题时，首先要找出存在反比例关系的两个变量，然后建立反比例函数模型，进而利用反比例函数的有关知识加以解决．

3.反比例函数K的几何意义

4.反比例函数与图形面积问题

考点一、反比例函数解析式的确定

【例1】如图，直线y＝2x与反比例函数y＝的图象在第一象限的交点为A，AB垂直于x轴，垂足为B，已知OB＝1，求点A的坐标和这个反比例函数的解析式．

方法总结 反比例函数只有一个基本量k，故只需一个条件即可确定反比例函数．这个条件可以是图象上一点的坐标，也可以是x，y的一对对应值．

触类旁通1 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝－2x的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为A(－1，n)．

(1)求反比例函数y＝的解析式；

(2)若P是坐标轴上一点，且满足PA＝OA，直接写出点P的坐标．

【解析】(1)把A的坐标代入函数解析式即可求得k的值，即可得到函数解析式；

(2)以A为圆心，以OA为半径的圆与坐标轴的交点就是P.

解：(1)∵点A(－1，n)在一次函数y＝－2x的图象上，

∴n＝－2×(－1)＝2.∴点A的坐标为(－1,2)．

∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴k＝－2.

∴反比例函数的解析式为y＝－.

(2)点P的坐标为(－2,0)或(0,4)．

考点二、反比例函数实际应用

【例2】已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）．

（1）求v关于t的函数表达式．

（2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？

（2）∵不超过5小时卸完船上的这批货物，

∴t≤5，

则v≥=20，

答：平均每小时至少要卸货20吨．&

触类旁通2 某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验．测得成人服药后血液中药物深度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间的函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比）．             

  （1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；

  （2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？

【解析】第1问先根据交点坐标求出两个函数关系式，第二问中找出y=4的时刻，然后分别代入函数关系式求出对于的x，从而求出符合要求的范围时间。

 解：（1）当0≤x≤4时，设直线解析式为：y=kx，将（4，8）代入得：8=4k，

解得：k=2，故直线解析式为：y=2x，当4≤x≤10时，设直反比例函数解析式为：y=，

将（4，8）代入得：8=，解得：a=32，故反比例函数解析式为：y=；

因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=2x（0≤x≤4），

下降阶段的函数关系式为y=（4≤x≤10）．

（2）当y=4，则4=2x，解得：x=2，当y=4，则4=，解得：x=8，

∵8﹣2=6（小时），∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时．

同步练习：春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5min的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（　　）

A．经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/m3

B．室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min

C．当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效

D．当室内空气中的含药量低于2mg/m3时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到2mg/m3开始，需经过59min后，学生才能进入室内

【解析】利用图中信息一一判断即可；

考点三、反比例函数的比例系数k的几何意义

【例3】已知点P在函数y＝(x＞0)的图象上，PA⊥x轴，PB⊥y轴，垂足分别为A，B，则矩形OAPB的面积为__________．

【解析】设p点坐标为（x，y），矩形OAPB的面积等于|xy|＝|k|＝2.

方法总结 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|；过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积S＝|k|.

触类旁通3  一个反比例函数的图象如图所示，若A是图象上任意一点，AM⊥x轴于M，O是原点，如果△AOM的面积是3，那么这个反比例函数的解析式是__________．

同步练习：如图，平行于x轴的直线与函数y=（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（　　）

A．8 　　　　B．﹣8 　　　　C．4 　　　　D．﹣4

【解析】设A（a，h），B（b，h），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ah=k1，bh=k2．根据三角形的面积公式得到S△ABC=AB•yA=（a﹣b）h=（ah﹣bh）=（k1﹣k2）=4，求出k1﹣k2=8．

考点四、反比例函数与图形面积问题

【例4】如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC．

（1）求该反比例函数的解析式；

（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．

【解析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求得；

（2）作AD⊥BC于D，则D（2，b），即可利用a表示出AD的长，然后利用三角形的面积公式可得到一个关于b的方程求得b的值，进而求得a的值，根据待定系数法，可得答案．

解：（1）由题意得，k=xy=2×3=6

∴反比例函数的解析式为y=．

（2）设B点坐标为（a，b），如图，

作AD⊥BC于D，则D（2，b）

方法总结   处理反比例函数中图形的面积问题，首先要设出未知点的点坐标，然后表示出三角形或者四边形的面积，借助于平面直角坐标系中的一次函数或者反比例函数的解析式进行坐标的表示。关键要抓住恰当的长度作为底和高。&

触类旁通4 如图，A（4，3）是反比例函数y=在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=的图象于点P．

（1）求反比例函数y=的表达式；

（2）求点B的坐标；

（3）求△OAP的面积．

解：（1）将点A（4，3）代入y=，得：k=12，

则反比例函数解析式为y=；

（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，

则OC=4、AC=3，∴OA==5，

∵AB∥x轴，且AB=OA=5，

∴点B的坐标为（9，3）；

同步练习：如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C．

（1）求此反比例函数的表达式；

（2）若点P在x轴上，且S△ACP=S△BOC，求点P的坐标．

【解析】（1）利用点A在y=﹣x+4上求a，进而代入反比例函数y=求k．

（2）联立方程求出交点，设出点P坐标表示三角形面积，求出P点坐标．

解：（1）把点A（﹣1，a）代入y=x+4，得a=3，

∴A（﹣1，3）

把A（﹣1，3）代入反比例函数y=∴k=﹣3，

∴反比例函数的表达式为y=﹣

1.如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y＝的图象经过点A，则k的值是(　　)

A．2   　　　   B．－2　　　　　C．4    　　　  D．－4

2.如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，点C和点D在x轴上．若四边形ABCD为矩形，则矩形ABCD的面积为__________．

3.如图，一次函数y＝－2x＋b(b为常数)的图象与反比例函数y＝(k为常数，且k≠0)的图象交于A，B两点，且点A的坐标为(－1,4)．

 (1)分别求出反比例函数及一次函数的表达式；

(2)求点B的坐标．

4.据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量y(毫克)与燃烧时间x(分钟)之间的关系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分)，根据图象所示信息，解答下列问题：

 (1)写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；

(2)据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x轴、y轴交于点B，A，与反比例函数的图象分别交于点C，D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO＝，OB＝4，OE＝2.

 (1)求该反比例函数的解析式；

(2)求直线AB的解析式．

参考答案

品鉴经典考题

1．D　因为正方形ABOC的边长为2，所以面积为4，根据反比例函数系数k的几何意义，又图象在第二象限，所以k＝－4.

2．2　延长BA交y轴于点E，则矩形EBCO的面积为3，矩形EADO的面积为1，所以矩形ABCD的面积为3－1＝2.

4．解：(1)药物燃烧后，设y与x的函数关系式为y＝.把B(25,6)代入得6＝，解得k1＝150.

∴药物燃烧后，y与x的函数关系式为y＝.

令y＝＝10，解得x＝15.∴A(15,10)．

药物燃烧时，设y与x的函数关系式为y＝k2x.

把A(15,10)代入得10＝15k2，

解得k2＝.

∴药物燃烧时y与x的函数关系式为y＝x(0≤x＜15)，药物燃烧后y与x的函数关系式为y＝(x≥15)．

(2)把y＝2代入y＝，得＝2，解得x＝75，

∴从消毒开始，至少在75分钟内，师生不能进入教室．

(2)∵OB＝4，∴B(4,0)．

∵tan∠ABO＝＝，∴OA＝2，∴A(0,2)．

设直线AB的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．

将点A，B的坐标分别代入，得

解得∴直线AB的解析式为y＝－x＋2.