初中数学中考二轮专题练习 专题10 二次函数与四边形的综合

一、考点分析：二次函数的综合题中在第二三小问比较常考到四边形的问题，这类题目主要考察两种题型：1.四边形的面积最值问题 2.特殊平行四边形的存在性问题，这类包括平行四边形，矩形菱形等。

二、解决此类题目的基本步骤与思路

1.四边形面积最值问题的处理方法：核心步骤：对于普通四边形要转化成两个三角形进行研究，然后用求三角形面积最值问题的方法来求解

2对于特殊平行四边形问题要先分类，（按照边和对角线进行分类）

3.画图，（画出大致的平行四边形的样子，抓住目标点坐标）

4. 计算（利用平行四边形的性质以及全等三角形的性质）

三、针对于计算的方法选择

1.全等三角形抓住对应边对应角的相等

2.在利用点坐标进行长度的表示时要利用两点间距离公式 

3.平行四边形的对应边相等列相关的等式

4.利用平行四边形的对角线的交点从而找出四个点坐标之间的关系

XA+XC=XB+XD    YA+YC=YB+YD     （利用P是中点，以及中点坐标公式）

A(x1,y1)、B（x2,y2），那么AB中点坐标就是（,）

处理矩形菱形的方法与平行四边形方法类似

注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。

四、二次函数问题中四边形面积最值问题

1.如图，已知抛物线经过的三个顶点，其中点，点，轴，点是直线下方抛物线上的一个动点.

    (1)求抛物线的解析式;

    (2)过点且与轴平行的直线与直线、分别交于点、，当四边形 的面积最大时，求点的坐标;

【解析】：（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）设点P（m， m2+2m+1），表示出PE=﹣m2﹣3m，再用S四边形AECP=S△AEC+S△APC=AC×PE，建立函数关系式，求出最大值即可

设点P（m，m2+2m+1）∴E（m，-m+1）

∵﹣6＜m＜0
∴当m=﹣时，四边形AECP的面积的最大值是
此时点P（﹣，﹣）．

2.抛物线y＝－x2＋6x交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点B，过点C(2，0)作射线CD交MB于点D(D在x轴上方)，OE∥CD交MB于点E，EF∥x轴交CD的延长线于点F，作直线MF.

(1)求点A，M的坐标；

(2)当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？

(3)当BD＝1时，

①求直线MF的表达式，并判断点A是否落在该直线上；

②延长OE交FM于点G，取CF中点P，连结PG，△FPG，四边形DEGP，四边形OCDE的面积分别记为S1，S2，S3，则S1∶S2∶S3＝__3∶4∶8__.

解：(1)令y＝0，则－x2＋6x＝0，解得x1＝0，x2＝6，∴A(6，0)，∴对称轴是直线x＝3，∴M(3，9)；

(3)①当BD＝1时，BE＝3，∴F(5，3)．

设MF的表达式为y＝kx＋b，将M(3，9)，F(5，3)代入，

得解得

∴y＝－3x＋18.

∵当x＝6时，y＝－3×6＋18＝0，

∴点A落在直线MF上；

②∵BD＝1，BC＝1，

∴△BDC为等腰直角三角形，

∴△OBE为等腰直角三角形，

五、二次函数中特殊平行四边形的存在性问题

（一）例题演示

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．

（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

【解析】：（1）点A的坐标是纵坐标为0，得横坐标为8，所以点A的坐标为（8，0）；

点B的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点B的坐标为（0，6）；

由题意得：BC是∠ABO的角平分线，所以OC=CH，BH=OB=6。

∵AB=10，∴AH=4，设OC=x，则AC=8﹣x，由勾股定理得：x=3，∴点C的坐标为（3，0）

将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；

（2）求得直线BC的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三角函数即可求得；

解法一：如图，作OP∥AD交直线BC于点P，连接AP，作PM⊥x轴于点M．

∵OP∥AD，∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．∴，即．

解得．经检验是原方程的解．此时点P的坐标为．

但此时，OM＜GA．∵，∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，∴直线BC上不存在符合条件的点P

解法二：如图，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于点N．则∠PEO=∠DEA，PE=DE．可得△PEN≌△DEG．由，可得E点的坐标为（4，0）．

NE=EG=，ON=OE﹣NE=，NP=DG=．∴点P的坐标为．

∵x=时，，∴点P不在直线BC上．∴直线BC上不存在符合条件的点P．

【试题精炼】

 如图，已知抛物线与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．

（1）抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；

解答：（1）由题意可知，点A,C坐标分别代入抛物线解析式

解得b=2，c=3.又因为A,C在直线上，设y=kx+b，解得k=1，n=1

所以直线解析式为y=x+1

（2）由（1）、（2）得点D的坐标为(1,4)，点B的横坐标与点D的横坐标相同，且点B在直线AC上，将其代入y=x+1，可得y=2。故点B的坐标为(1,2)，因为点E在直线AC上，设点E的坐标为(x，x+1)。
①如图2所示，当点E在线段AC上时，点F在点E的上方，则点F的坐标为(x，x+3)，因为点F在抛物线上，所以x+3=-x2+2x+3，解得x=0或x=1（舍去），所以点E的坐标为（0,1）

【中考链接】

如图，已知与轴交于点和的抛物线的顶点为，抛物线与关于轴对称，顶点为．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）已知原点，定点，上的点与上的点始终关于轴对称，则当点运动到何处时，以点为顶点的四边形是平行四边形？

【解析】（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值；

（2）过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，所以△ABM的面积为DM•OB，设M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），用含m的式子表示DM，然后求出S与m的函数关系式，即可求出S的最大值，其中m的取值范围是0＜m＜3；

解答：（1）由题意知点的坐标为．设的函数关系式为．

又点在抛物线上，，解得．

抛物线的函数关系式为（或）．

（2）与始终关于轴对称， 与轴平行．

设点的横坐标为，则其纵坐标为，，，即．当时，解得．当时，解得．当点运动到或或或时，

，以点为顶点的四边形是平行四边形．

【巩固练习】

. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点(点在点

  的左侧)，将该抛物线位于轴上方曲线记作，将该抛物线位于轴下方部分沿轴翻

  折，翻折后所得曲线记作，曲线交轴于点，连接.

  (1)求曲线所在抛物线相应的函数表达式;

  (2)点为曲线或曲线上的一个动点，点为轴上的一个动点，若以点

    为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标.

解答：（1）因为y=x2-2x-3可化为y=（x-1）2-4，
所以抛物线的顶点坐标为（1，-4），开口向上，
所以曲线N所在抛物线顶点坐标为（1,4），开口向下，
故曲线N所在抛物线对应的函数表达式为y=-（x-1）2+4，
即y=-x2+2x+3。

当点位于曲线N上时，由-x2+2x+3=3，解得x3=0（舍去）或x4=2，所以CP=2，
因为以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，
所以CP∥BQ且CP=BQ，所以Q5(5,0), Q6(1,0)
综上所述，点Q的坐标分别为：Q1(4+,0)，Q2(4-,0)，Q3(2+,0)，Q4(4-,0), Q5(5,0), Q6(1,0)。

如图5－2－5所示，顶点为的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点M(2，0)．

　图5－2－5　　　  备用图

(1)求抛物线的表达式；

(2)点A是抛物线与x轴的交点(不与点M重合)，点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y＝x＋1上一点(处于x轴下方)，点D是反比例函数y＝(k>0)图象上一点．若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．

【解析】 (1)已知抛物线的顶点坐标，可设顶点式为  y＝a－，再把点M(2，0)代入，可求a＝1，所以抛物线的表达式可求；

解答：(1)依题意可设抛物线为y＝a－，将点M(2，0)代入可得a＝1，∴抛物线的表达式为y＝－＝x2－x－2；

(2)当y＝0时，x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，∴A(－1，0)，当x＝0时，y＝－2，∴B(0，－2)．

在 Rt△OAB 中，OA＝1，OB＝2，∴AB＝.设直线 y ＝ x＋1 与 y 轴的交点为点 G，易求 G(0，1)，∴Rt△AOG为等腰直角三角形，∴∠AGO＝45°.∵点 C 在 y＝x＋1 上且在 x 轴下方，而 k>0，∴y＝的图象位于第一、三象限，故点 D 只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下两种情况：

∴①菱形以 AB 为边且 AC 也为边，如答图①所示，过点 D 作 DN⊥y 轴于点 N，

在 Rt△BDN 中，

∵∠DBN＝∠AGO ＝45°，

∴DN＝BN＝，

∴D，点D在y＝(k>0)的图象上，∴k＝－×＝＋.

②菱形以 AB 为对角线，如答图②所示，作 AB 的垂直平分线 CD 交直线 y ＝ x＋1 于点 C，交 y 

∴点D的坐标为，点D在y＝(k>0)的图象上，

∴k＝.

综上所述，k的值为＋或.