初中数学中考二轮专题练习 专题11 二次函数与相似三角形的综合

一、考点分析：二次函数的综合题中在第二三小问比较常考到相似三角形的问题，这类题目出现在压轴题目中的概率比较高，难度系数也是偏大的，对于学生的计算和综合知识掌握要求比较高。我们要利用我们现学的相似的知识在平面直角坐标系中研究。

二、解决此类题目的基本步骤与思路

1.抓住相似的两个目标三角形，找出已知条件（例如已知边、已知角度、已知点坐标等）

2.找现成的等量关系，例如相等的角度从而确定下来对应关系

3. 运用分类讨论思想，几种不同相似的可能性逐一讨论

4. 充分运用相似的性质，相似比或者面积比等进行列式计算

5.大胆设点坐标去做，充分利用点在函数图像上从而代入函数表达式.

三、注意事项：1.相似三角形的字母对应要注意2.分类讨论思想不要多讨论也不要漏掉，充分抓住已知条件分析3.运用相似比进行计算时，边之比千万不能比错了。4.求出有多个解时一定要去检验是否符合要求

四、二次函数中相似三角形问题

（一）例题演示

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c，其中2a＝b>0>c，且a＋b＋c＝0.

(1)直接写出关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0的一个根；

(2)证明：抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点A在第三象限；

(3)直线y＝ x＋m与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y＝ax2＋bx＋c相交于A，D两点．设抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴与x轴相交于E，如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F，使得△ADF与△BOC相似，并且S△ADF＝S△ADE，求此时抛物线的表达式．

【解答】(1)ax2＋bx＋c ＝0的一个根为1(或者－3)；

(2)证明：∵b ＝2a，∴对称轴x为＝－＝－1，将b＝2a代入a＋b＋c＝0，得c＝－3a.

∵a＝b>0>c，∴b2－4ac>0，∴<0，

∴顶点A在第三象限；

又∵点F在对称轴左侧的抛物线上，则∠BAE>45°，这时△BOC与△ADF相似，顶点A只可能对应△BOC中的直角顶点O，即△ADF是以A为直角顶点的等腰直角三角形，且对称轴是x＝－1，设对称轴x＝－1与OF交于点G，

∵直线y＝x＋m过顶点A，∴m＝1－4a，

∴直线表达式为y＝x＋1－4a，解方程组解得

这里的(－1，4a)即为顶点A，点即为点D的坐标，

D点到对称轴x＝－1的距离为－1－(－1)＝，AE＝|－4a|＝4a，

S△ADE＝××4a＝2，即它的面积为定值．

这时等腰直角三角形ADF的面积为1，∴底边DF ＝2，而x＝－1是它的对称轴，这时D，C重合且在y轴上，由－1＝0，∴a＝1，此时抛物线的表达式y＝x2＋2x－3

【试题精炼】

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y= x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣ 且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B。

（1）求抛物线解析式。

（2）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

【解答】（1）y=

当x=0时  y=2       当y=0时  x=﹣4

∴C（0，2），A（﹣4，0），

由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=﹣ 对称，

∴点B的坐标为（1，0）

∵抛物线y=ax2+bx+c过A（﹣4，0），B（1，0）

∴可设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣1）

又∵抛物线过点C（0，2）

∴2=﹣4a         ∴a=        ∴y=x2x+2

（2）在Rt△AOC中，tan∠CAO=

在Rt△BOC中，tan∠BCO=

∴∠CAO=∠BCO，

∵∠BCO+∠OBC=90°   ∴∠CAO+∠OBC=90°

∴∠ACB=90°     ∴△ABC∽△ACO∽△CBO 

如下图：

③当点M在第四象限时

设M（n，n2 n+2）     则N（n，0）

∴MN=n2+ n﹣2         AN=n+4

当 时  MN=AN   即 n2+ n﹣2= （n+4）

整理得：n2+2n﹣8=0   解得：n1=﹣4（舍）   n2=2

∴M（2，﹣3）

当 时   MN=2AN    即 n2+ n﹣2=2（n+4）

整理得：n2﹣n﹣20=0    解得：n1=﹣4（舍）  n2=5

∴M（5，﹣18）

综上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18）， 使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．

【中考链接】

如图，已知二次函数（其中0＜m＜1）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC．

（1）∠ABC的度数为  ▲  °；

（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；

（3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

【解答】（1）令x=0，则y=﹣m，C点坐标为：（0，﹣m），

令y=0，则x2+（1﹣m）x﹣m=0，解得：x1=﹣1，x2=m，

∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，∴B点坐标为：（m，0），

∴OB=OC=m，

∵∠BOC=90°，

∴△BOC是等腰直角三角形，∠OBC=45°；

（2）如图1，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，

由题意得，抛物线的对称轴为：x=，

设点P坐标为：（，n），

∵PA=PC，∴PA2=PC2，即AE2+PE2=CD2+PD2，

∴（+1）2+n2=（n+m）2+（）2，解得：n=，

∴P点的坐标为：（，）；

①如图1，当Q点坐标为：（﹣m，0）时，

若PQ与x轴垂直，则=﹣m，解得：m=，PQ=，

若PQ与x轴不垂直，

则PQ2=PE2+EQ2

=（）2+（+m）2=m2﹣2m+=（m﹣）2+

∵0＜m＜1，∴当m=时，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，

∵＜，∴当m=，即Q点的坐标为：（﹣，0）时，PQ的长度最小，

②如图2，当Q点的坐标为：（0，m）时，

若PQ与y轴垂直，则=m，解得：m=，PQ=，

若PQ与y轴不垂直，

则PQ2=PD2+DQ2=（）2+（m﹣）2=m2﹣2m+=（m﹣）2+，

∵0＜m＜1，∴当m=时，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，

∵＜，∴当m=，即Q点的坐标为：（0，）时，PQ的长度最小，

综上所述：当Q点坐标为：（﹣，0）或（0，）时，PQ的长度最小．

【巩固练习】

1.如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t，

设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似点P的坐标；

【解答】1）在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO==3，

∴OB=3OA=3．

∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的

∴△DOC≌△AOB，∴OC=OB=3，OD=OA=1，

∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）．

代入解析式为：，解得：．

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；

2.关于x的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0，c＞0，a，b，c是常数)与x轴交于两个不同的点A(x1，0)，B(x2，0)(0＜x1＜x2)，与y轴交于点P，其图象顶点为M，点O为坐标原点．

(1)当x1＝c＝2，a＝时，求x2与b的值；

(2)当x1＝2c时，试问△ABM能否等边三角形？判断并证明你的结论；

(3)当x1＝mc(m＞0)时，记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1＝S2，求m的值．

(2)当x1＝2c时，x2＝＝，

此时b＝－a(x1＋x2)＝－，4ac＝－2b－1，

∵M，

当△ABM为等边三角形时＝AB，

即＝，

∴b2＋2b＋1＝(1＋2b＋1)，

解得b1＝－1，b2＝2－1(舍去)，

此时4ac＝－2b－1，即2c＝，A，B重合，

∴△ABM不可能为等边三角形；

(3)∵△BPO∽△PAO，

∴＝，即x1x2＝c2＝，

∴ac＝1，a＝，

∵x1＜x2，x1＝mc，

∴mc＝(－1)c，∴m＝－1.