初中数学中考二轮专题练习 专题12 二次函数与圆的综合

这是一份初中数学中考二轮专题练习 专题12 二次函数与圆的综合，共9页。试卷主要包含了考点分析，解决此类题目的基本步骤与思路，二次函数中圆的综合问题等内容，欢迎下载使用。
一、考点分析：二次函数与圆的综合题中涉及到的知识面还是很广的，包括待定系数法，勾股定理，相似三角形以及圆的基本的性质特征等等，所以对于学生的知识掌握程度要求很高。这类题目基础问题考察解析式点坐标等问题，压轴问题考察动点相切以及长度面积的变化问题，或者相似三角形构成问题，这类难度比较大。二、解决此类题目的基本步骤与思路1.复习好二次函数与圆的基础题型，把基础内容掌握扎实2.整理二次函数与圆问题的常见题型3. 正确应用二次函数的性质与圆的知识解决问题4. 合理的充分运用三角形的知识与定理5.归纳总结自己的薄弱知识环节并巩固三、二次函数中圆的综合问题（一）例题演示1．已知二次函数y＝－x2＋bx＋c＋1. (1)当b＝1时，求这个二次函数的对称轴的方程；(2)若c＝－b2－2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切；(3)如图，若二次函数的图象与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1＜x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好经过点M，二次函数的对称轴l与x轴，直线BM，直线AM分别相交于点D，E，F，且满足＝，求二次函数的表达式．【解析】： 本题考察了二次函数的性质、二次函数的图像与x轴的交点、顶点坐标圆周角定理，相似三角形的判定与性质、根与系数的关系等知识，综合性很强。【解答】 (1)二次函数的对称轴为x＝－，∵a＝－1，b＝1，∴x＝；(2)与x轴相切就是与x轴只有一个交点，即－x2＋bx－b2－2b＋1＝0有相等的实数根，∴Δ＝b2－4×(－1)×＝0∴－8b＋4＝0，解得b＝，即b＝时，函数图象与x轴相切；设A(m，0)(m＜0)，则B(－，0)，b＝，对称轴为x＝＝，∵yAM经过点A(m，0)，M(0，1)，∴yAM＝－x＋1，∵yBM经过点B(－，0)，M(0，1)，∴yBM＝mx＋1，∵xE＝，∴yE＝，DE＝，∵xF＝，∴yF＝，∵＝，∴ ＝，∴＝，∴m2＝(m＜0)，解得m＝－，∴b＝＝，∴y＝－x2＋x＋1.【试题精炼】2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与⊙M相交于A，B，C，D四点，其中A，B两点坐标分别为(－1，0)，(0，－2)，点D在x轴上且AD为⊙M的直径，E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧上的点F作FH⊥AD于点H，且FH＝1.5.(1)求点D的坐标及抛物线的表达式；(2)若P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 【解答】(1)如答图，连结MB，设⊙M的半径为r.∵A(－1，0)，B(0，－2)，∴在Rt△OMB中，OB＝2，OM＝r－1，由勾股定理，得22＋(r－1)2＝r2.∴r＝.∴AD＝5.∴点D的坐标是(4，0)．∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(0，－2)，D(4，0)，解得∴抛物线的表达式为y＝x2－x－2；.【中考链接】3．如图对称轴为直线x＝2的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为(－1，0)．(1)求抛物线的表达式；(2)直接写出B，C两点的坐标；(3)求过O，B，C三点的圆的面积(结果用含π的代数式表示)．【解析】：(1)根据对称轴和A点坐标可以求出抛物线的表达式。(2)根据抛物线解析式容易求出BC两点的坐标(3)抓住△OBC是直角三角形，所以半径就等于斜边的一半，从而快速的求出圆面积(3)如答图，连结BC，则△OBC是直角三角形，∴过O，B，C三点的圆的直径是线段BC的长度，在Rt△OBC中，OB＝OC＝5，∴BC＝5，∴圆的半径为，∴S＝π＝π. 4.已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a＜0)与x轴交于A(3，0)，B两点，与y轴交于点C.抛物线的对称轴是直线x＝1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE＝.(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；(2)求证：直线DE是△ACD外接圆的切线；(3)在直线AC上方的抛物线上找一点P，使S△PAC＝S△ACD，求点P的坐标；(4)在坐标轴上找一点M，使以点B，C，M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标．【解答】(1)把A(3，0)代入y＝ax2＋bx＋3，得0＝9a＋3b＋3.①∵抛物线的对称轴为x＝1.∴－＝1.②解①②组成的方程组，得a＝－1，b＝2.∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴D的坐标是(1，4)．(2)证明：在y＝－x2＋2x＋3中，当x＝0时，y＝3.∴C(0，3)，OC＝3.∵A(3，0)，∴OA＝3.在△OAC中，由勾股定理得AC2＝18.如答图①，过点E作EH⊥CD，垂足为点H.则EH＝CH＝＝＝.∵CD2＝2，AC2＝18，∴CD＝，AC＝3.∴DH＝－＝.在△DEH中，tan∠EDH＝＝＝.在△ACD中，tan∠DAC＝＝＝.∴∠EDH＝∠DAC.∵∠ACD＝90°，∴∠DAC＋∠ADC＝90°.∴∠EDH＋∠ADC＝90°，即∠ADE＝90°.  ∴AD⊥DE.∴DE是△ACD外接圆的切线． (3)∵CD＝，AC＝3.∴S△ACD＝AC·CD＝3.设直线AC的函数表达式为y＝mx＋n.把A(3，0)，C(0，3)代入，得 解得m＝－1，n＝3.∴直线AC的函数表达式为y＝－x＋3.设P(t，－t2＋2t＋3)，如答图②，(4)，(9，0)，(0，0)．提示：∵△ACD是直角三角形，△ACD与△BCM相似，∴△BCM是直角三角形．∵抛物线的对称轴是直线x＝1，A(3，0)，∴B(－1，0)，OB＝1.连结BC.∵＝，＝，又∵∠ACD＝∠BOC，∴△ACD∽△COB.∴△BCM与△COB相似． 当点B为直角顶点时，如答图③，当点C为直角顶点时，如答图④，过点C作CM2⊥BC交x轴于点M2.同理可求OM2＝9.∴M2(9，0)．当点M为直角顶点时，如答图⑤，