初中数学中考二轮专题练习 专题09 由动点引出的各种面积问题

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专题9：由动点引出的几种面积问题动点题是近年来中考的一个热点问题也是难点问题，而因动点产生的面积问题是这类题目考查的重点. 解这类题目要掌握几个基本图形及思路，而后“以静制动”、“转化求解”. 即把动态问题变为静态问题，变为我们所熟知的模型来解。基本模型一利用“铅垂高、水平宽”求三角形面积. 面积公式：S=基本模型二其中： ，基本模型三类型一、一次函数由动点问题引出的面积问题                                         例1. 如图例1-1，在平面直角坐标系中，直线和直线交于点A. 直线从x轴出发以每秒2个单位的速度向上运动，至通过A点时停止. 在运动过程中，直线分别交y1、y2两条直线于C、B两点，交y轴于点D. 连接OC、OB. （1）设运动时间为t（s），求t的取值范围. （2）求出△OBC的面积S与t的函数关系式，并求出S的最大值及此时n的值. 图例1-1【答案】见解析【解析】（1）联立，得：解得：即点A坐标为.直线y=n运动到A点的时间为.所以t的取值范围为.（2）由题意可知OD=2t，B、C两点纵坐标为2t. 将y=2t分别代入，求得两点横坐标为：，.所以.根据三角形面积公式，得：.因为，，所以当时，S取最大值，最大值为. 此时.【点睛】会利用联立函数解析式求函数的交点坐标；平面直角坐标系中两点A(x1,y)、B(x2,y)，则AB=|x1－x2|.类型二、二次函数由动点问题引出的面积问题                                         例2. 如图例2-1，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点为A、D(A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A(4，0)，C(0，－3)，对称轴是直线x=1．      (1)求二次函数的解析式；      (2)若M是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m，设四边形OCMA的面积为S．请写出S与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，四边形OCMA的面积最大.   图例2-1         图例2-2【答案】见解析【解析】（1）因为二次函数对称轴是直线x=1，所以. 将A(4，0)，C(0，－3)代入y=ax2+bx+c得：解得：即二次函数解析式为：. （2）连接AC. 过点M作MF⊥x轴，交AC于点E. 设直线AC的解析式为：将A(4，0)，C(0，－3)代入得：. 解得：. 即直线AC的解析式为：.因为M点横坐标为m，所以M点坐标为，E点坐标为所以.      所以，当m=2时，四边形OCMA的面积最大.【点睛】利用待定系数法求函数解析式；平面直角坐标系中两点A(x,y1)、B(x,y2)，则AB=|y1－y2|；利用配方法求函数最值.类型三、反比例函数由动点问题引出的面积问题                                          例3. 如图例3-1，直线y＝2x＋6与反比例函数(k＞0)的图象交于点A(1，m)，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM.(1)求m的值和反比例函数的表达式；(2)直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？图例3-1【答案】见解析【解析】（1）将A(1，m)代入y＝2x＋6，得m=8.将(1，8)代入得：k=8.即反比例函数解析式为：.（2）由题意可知：N、M点纵坐标为n，将y=n分别代入y＝2x＋6和得：，，可得MN=.      因为，所以当n=3时，△BMN的面积最大.【点睛】利用待定系数法求函数解析式；熟练利用函数解析式用纵坐标表示横坐标；平面直角坐标系中两点A(x1,y)、B(x2,y)，则AB=|x1－x2|.类型四、利用三角函数求解由动点问题引出的面积问题                                          例4. 如图例4-1，在矩形OABC中，点O为原点，边OA的长度为8，对角线AC＝10，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A、C，与AB交于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合)，点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S. 求S关于m的函数表达式并求出S最大时的m值.                            图例4-1                     图例4-2【答案】见解析【解析】（1）在矩形AOCB中，∠AOC＝90°，由勾股定理可得，OC＝＝＝6.所以C(6，0).将A(0，8)、C(6，0)分别代入抛物线解析式y＝－x2＋bx＋c，得，解得，所以抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋8.(2) 由题意得：AQ=PC=m，QC=10－m.如图例4-2，过点Q作QE⊥BC于E点. 在Rt△QEC和Rt△ABC中，由三角函数可得：.∴＝，即QE＝(10－m)，∴S＝·CP·QE＝m×(10－m)＝－m2＋3 m，＝－(m－5)2＋，∴当m＝5时，S取最大值. 【点睛】矩形的性质；用三角函数表示线段间的比例关系；配方法求二次函数最值.类型五、由动点问题引出的面积存在性问题                                           例5. 如图例5-1，在平面直角坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），C（3，1）抛物线的图象过C点，交y轴于点D．（1）在后面的横线上直接写出点D的坐标及b的值：　    　，b=　    　；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l，设l与x轴交于点G（x，0），当OG等于多少时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？   图例5-1                        图例5-2【答案】见解析【解析】（1）D(0，－2).将C（3，1）代入抛物线，得b= . ∴二次函数解析式为：（2）在Rt△AOB中，由勾股定理得：，所以.设直线BC、直线AC的解析式为，将A（1，0），B（0，2），C（3，1）代入得：解得：，即.如图例5-2所示. 设直线l交直线BC、直线AC于点F、G. 过C作CH⊥l于点H.因为G(x，0)，所以，所以EF=，CH=3－x由，得即：，解得：.所以OG等于时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分. 【点睛】待定系数法求解函数解析式；第（2）问需画出图形，转化为我们所熟知的三角形△CFG的面积求解.类型六、利用转化思想解决由动点问题引出的面积问题                                           例6. 如图例6-1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A、B两点，已知点B的横坐标是4，直线与x、y轴的交点分别为A、C，点P是抛物线上一个动点.（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在直线上方，求△PAC的最大面积.        图例6-1                         图例6-2【答案】见解析【解析】（1）因为点B的横坐标是4，所以，，.将、代入得：，解得：即抛物线的解析式为：.（2）如图例6-2，过点B作BH⊥x轴于点H. 过P作PG⊥x轴于点G，交AB于点E，连接PB.由勾股定理得： 所以，即：.设P点横坐标为m，则，，，AH=5∴∴当时，△PAC的面积有最大值，最大值为.【点睛】待定系数法求解函数解析式；利用两三角形的高相等，则面积比等于底的比，将题目中的三角形转化为我们熟知的三顶点都在抛物线上的三角形，利用铅垂高、水平宽求解.