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物理选择性必修 第一册5 实验：用单摆测量重力加速度导学案
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这是一份物理选择性必修 第一册5 实验：用单摆测量重力加速度导学案，共14页。
1.进一步理解单摆做简谐运动的条件和单摆周期公式中各量的意义.
2.学会利用单摆的周期公式测量重力加速度．
一、实验思路
由T＝2πeq \r(\f(l,g))，得g＝eq \f(4π2l,T2)，则测出单摆的摆长l和周期T，即可求出当地的重力加速度．
二、实验器材
铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、停表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺．
三、物理量的测量
1．让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆．
2．将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆线自由下垂．在单摆平衡位置处做上标记．
3．用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为l＝l′＋eq \f(d,2).
4．把单摆拉开一个角度，角度小于5°，释放摆球．摆球经过最低位置时，用停表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期．
5．改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格．
四、数据分析
1．公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝eq \f(4π2l,T2)中求出g值，最后求出g的平均值．
设计如下所示实验表格
2.图像法：由T＝2πeq \r(\f(l,g))得T2＝eq \f(4π2,g)l，以T2为纵轴，以l为横轴作出T2－l图像(如图1所示)．其斜率k＝eq \f(4π2,g)，由图像的斜率即可求出重力加速度g.
图1
五、注意事项
1．选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球．
2．摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小．
3．摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆．
4．计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，要测n次全振动的时间t.
一、实验原理与操作
(2020·北京市东城区高三上期末)实验小组的同学用如图2所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验．
图2
(1)实验室有如下器材可供选用：
A．长约1 m的细线
B．长约1 m的橡皮绳
C．直径约2 cm的铁球
D．直径约2 cm的塑料球
E．米尺
F．时钟
G．停表
实验时需要从上述器材中选择：________.(填写器材前面的字母)
(2)在挑选合适的器材制成单摆后他们开始实验，操作步骤如下：
①将单摆上端固定在铁架台上．
②测得摆线长度，作为单摆的摆长．
③在偏角较小的位置将小球由静止释放．
④记录小球完成n次全振动所用的总时间t，得到单摆的振动周期T＝eq \f(t,n).
⑤根据单摆周期公式计算重力加速度的大小．
其中有一处操作不妥当，是________．(填写操作步骤前面的序号)
(3)发现(2)中操作步骤的不妥之处后，他们做了如下改进：让单摆在不同摆线长度的情况下做简谐运动，测量其中两次实验时摆线的长度l1、l2和对应的周期T1、T2，通过计算也能得到重力加速度的大小．请你写出该测量值的表达式g＝________.
(4)实验后同学们进行了反思，他们发现由单摆周期公式可知周期与摆角无关，而实验中却要求摆角较小．请你简要说明其中的原因：________________________________________
____________________________________________________________________________.
答案 (1)ACEG (2)② (3)eq \f(4π2l1－l2,T12－T22) (4)见解析
解析 (1)实验时需要从题述器材中选择：A.长约1 m的细线；C.直径约2 cm的铁球；E.米尺；G.停表．
(2)步骤②中存在不妥当之处，应该测得摆线长度加上摆球的半径作为单摆的摆长．
(3)根据单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可得T1＝2πeq \r(\f(l1＋r,g))，T2＝2πeq \r(\f(l2＋r,g))，联立解得g＝eq \f(4π2l1－l2,T12－T22).
(4)T＝2πeq \r(\f(l,g))是单摆做简谐运动的周期公式，当摆角较小时才可以将单摆的运动视为简谐运动．
二、实验数据处理及误差分析
在“用单摆测量重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到g＝eq \f(4π2l,T2)，只要测出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T2－l图像，就可以求出当地的重力加速度．理论上T2－l图线是一条过坐标原点的直线，某同学根据实验数据作出的图像如图3所示：
图3
(1)造成图线不过坐标原点的原因可能是______________________________________
________________________________________________________________________.
(2)由图像求出的重力加速度g＝________ m/s2(取π2＝9.87)．
(3)如果测得的g值偏小，可能的原因是________．
A．测摆长时摆线拉得过紧
B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了
C．开始计时时，停表过迟按下
D．实验时误将49次全振动记为50次
答案 (1)测量摆长时漏掉了摆球的半径 (2)9.87 (3)B
解析 (1)T2－l图线不通过坐标原点，将图线向右平移1 cm会通过坐标原点，可知相同的周期下摆长偏小1 cm，故造成图线不过坐标原点的原因可能是测量摆长时漏掉了摆球的半径．
(2)由单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可得T2＝4π2·eq \f(l,g)，则T2－l图像的斜率为k＝eq \f(4π2,g)；由图像得k＝eq \f(4.0,1) s2·m－1，解得g＝9.87 m/s2.
(3)测摆长时摆线拉得过紧，则测量的摆长偏大，测得的重力加速度偏大，A不符合题意；摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，知测量的摆长偏小，则测得的重力加速度偏小，B符合题意；开始计时时，停表过迟按下，测量的周期偏小，则测得的重力加速度偏大，C不符合题意；实验时误将49次全振动记为50次，测量的周期偏小，则测得的重力加速度偏大，D不符合题意．
针对训练 (2020·上海交大附中期中)(1)在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，用摆长l和T计算重力加速度的公式是g＝________.若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零刻度线对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图4甲所示，则单摆摆长是________ m．若测定了40次全振动的时间如图乙所示，则停表读数是________ s，单摆的摆动周期是________ s.
图4
(2)为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值．现将测得的六组数据标在以l为横轴、T2为纵轴的坐标系上，即图5中用“·”表示的点，则：
图5
①单摆做简谐运动应满足的条件是________．
②试根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝________ m/s2.(结果取两位有效数字)
答案 (1)eq \f(4π2l,T2) 0.875 0 75.2 1.88 (2)①偏角小于5° ②见解析图 9.9
解析 (1)由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，
可得g＝eq \f(4π2l,T2).
由题图甲可知，摆长l＝(88.50－1.00) cm＝87.50 cm＝0.875 0 m.
停表的读数t＝60 s＋15.2 s＝75.2 s，
所以T＝eq \f(t,40)＝1.88 s.
(2)①单摆做简谐运动的条件是偏角小于5°.
②连线时使大部分点落在图线上，不在图线上的点均匀分布在图线的两侧(如图)，图线斜率k＝eq \f(ΔT2,Δl)＝4 s2/m.由g＝eq \f(4π2l,T2)可知T2－l图线的斜率表示eq \f(4π2,g)，故eq \f(4π2,g)＝4 s2/m，可得g≈9.9 m/s2.
1．某实验小组在利用单摆测量当地重力加速度的实验中：
(1)用游标卡尺测量摆球的直径，测量结果如图6所示，则该摆球的直径为________ cm.
图6
(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是________(填选项前的字母)．
A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时
B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为eq \f(t,100)
C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大
D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小
答案 (1)1.050 (2)C
解析 (1)游标卡尺读数等于固定刻度读数加游标尺读数，固定刻度读数为1.0 cm，游标尺第10刻线与主尺刻线对齐，读数为10×0.05 mm＝0.50 mm，故读数为1.0 cm＋0.050 cm＝1.05 cm.
(2)单摆的最大摆角应小于5°，要从摆球到达最低点开始计时，故A错误；一个周期的时间内，摆球通过最低点2次，若测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为eq \f(t,50)，故B错误；由单摆的周期公式可推出重力加速度的计算式g＝eq \f(4π2l,T2)，用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，则摆长偏大，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大，故C正确；为减小实验误差，应选择密度较大的摆球，故D错误．
2．(2021·抚顺十中月考)实验小组的同学们用如图7甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验．
图7
(1)选择好器材，将符合实验要求的单摆挂在铁架台上，应采用图________(填“乙”或“丙”)所示的固定方式．
(2)将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是______(选填选项前的字母)．
A．测出摆线长作为单摆的摆长
B．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动
C．在摆球经过平衡位置时开始计时
D．用秒表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期
(3)甲同学多次改变单摆的摆长并测得相应的周期，他根据测量数据画出了如图8所示的图像，但忘记在图中标明横轴所代表的物理量，你认为横轴所代表的物理量是________(选填“l2”“l”或“eq \r(l)”)，若图线斜率为k，则重力加速度g＝________(用k表示)．
图8
答案 (1)丙 (2)BC (3)eq \r(l) eq \f(4π2,k2)
解析 (1)选择好器材，将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，摆线的悬点要固定，则应采用题图丙所示的固定方式．
(2)测出摆线长加上摆球的半径作为单摆的摆长，选项A错误；把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放(小于5°)，使之做简谐运动，选项B正确；在摆球经过平衡位置时开始计时，选项C正确；用秒表测量单摆完成30次或50次全振动所用时间，再计算单摆的周期，选项D错误．
(3)T＝2πeq \r(\f(l,g))，则T＝eq \f(2π,\r(g)) eq \r(l)，
则横轴所代表的物理量是eq \r(l)，
由eq \f(2π,\r(g))＝k可得g＝eq \f(4π2,k2).
1．(2020·济南市期中)某实验小组利用单摆测当地的重力加速度实验中，发现某次测得的重力加速度的值偏大，其原因可能是( )
A．把摆线长作为摆长来进行计算
B．单摆所用摆球质量太大
C．把(n－1)次全振动时间误当成n次全振动时间
D．开始计时时，秒表过早按下
答案 C
解析 根据T＝2πeq \r(\f(l,g))，得g＝eq \f(4π2l,T2).把摆线长作为摆长来进行计算，则l偏小，测得的g偏小，故A错误；单摆所用摆球质量大小与重力加速度无关，故B错误；把(n－1)次全振动时间误当成n次全振动时间，则周期测量值偏小，重力加速度测量值偏大，故C正确；开始计时时，秒表过早按下，则测得的T偏大，则g测量值偏小，故D错误．
2．(2020·郑州七中期末)在“用单摆测量重力加速度”实验中．(如图1所示)
图1
(1)下列操作正确的是________．
A．甲图：小球从偏离平衡位置60°开始摆动
B．乙图：细线上端用铁夹子固定
C．丙图：小球到达最高点时作为计时开始与终止的位置
D．丁图：小球自由下垂时测量摆线的长度
(2)某同学通过测量30次全振动的时间来测定单摆的周期T，他在单摆经过平衡位置时按下秒表记为“1”，若同方向再次经过平衡位置时记为“2”，在数到“30”时停止秒表，读出这段时间t，算出周期T＝eq \f(t,30).其他操作步骤均正确．多次改变摆长时，他均按此方法记录多组数据，并绘制了T2－L图像，则他绘制的图像可能是________．
(3)按照(2)中的操作，此同学获得的重力加速度将________．(选填“偏大”“偏小”或“不变”)
答案 (1)BD (2)D (3)偏大
解析 (1)摆线与竖直方向的夹角小于5°时，才可以认为摆球的运动为简谐运动，故A错误；细线上端应用铁夹子固定，防止松动引起摆长变化，故B正确；当小球运动到最低点时开始计时误差较小，故C错误；实验时应该测量小球自由下垂时摆线的长度，故D正确．
(2)根据T＝2πeq \r(\f(L,g))得，T2＝eq \f(4π2L,g)，可知T2与L成正比，故D正确，A、B、C错误．
(3)实际的全振动次数为29，按30次计算，则计算得到的周期测量值偏小，根据g＝eq \f(4π2L,T2)知，测得的重力加速度偏大．
3．(2020·山东师范大学附属中学模拟)某同学利用单摆测定当地的重力加速度．
(1)为了减小测量周期的误差，实验时需要在适当的位置做一标记，当摆球通过该标记时开始计时，该标记应该放置在摆球摆动的________．
A．最高点
B．最低点
C．任意位置
(2)用停表测量单摆的周期．当单摆摆动稳定且到达计时标记时开始计时并记为n＝1，单摆每经过标记记一次数，当数到n＝60时停表的示数如图2甲所示，该单摆的周期是T＝________ s(结果保留三位有效数字)．
图2
(3)若用最小刻度为1 mm的刻度尺测摆线长，测量情况如图乙所示．O为悬挂点，从图乙中可知单摆的摆线长为________ m；用游标卡尺测量摆球的直径如图丙所示，则球的直径为________ cm；单摆的摆长为________ m(计算结果保留三位有效数字)．
(4)若用l表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝________.
答案 (1)B (2)2.28 (3)0.991 5 2.075 1.00 (4)eq \f(4π2l,T2)
解析 (1)为了减小测量周期时由操作者引起的偶然误差，实验时需要在摆球速度大的点做标记，即最低点．
(2)用停表测量单摆的周期，为减小实验误差需测量多个周期的总时间．根据题意可知从n＝1到n＝60共有59个时间间隔，每一个时间间隔为eq \f(1,2)个周期，故为29eq \f(1,2)T，根据停表读出此时间间隔为Δt＝67.4 s．代入数据解得，此时单摆的周期为2.28 s.
(3)用最小刻度为1 mm的刻度尺测得单摆的摆线长为99.15 cm＝0.991 5 m，用游标卡尺测量摆球的直径，此游标尺为20分度，读数为20 mm＋eq \f(1,20)×15 mm＝20.75 mm＝2.075 cm，单摆的摆长为l＝(0.991 5＋eq \f(0.020 75,2)) m＝1.001 875 m，计算结果保留三位有效数字，故摆长为1.00 m.
(4)根据T＝2πeq \r(\f(l,g))可知g＝eq \f(4π2l,T2).
4．在“用单摆测量重力加速度”的实验中，某实验小组在测量单摆的周期时，测得摆球经过n次全振动的总时间为Δt，在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆线长度为l，再用游标卡尺测量摆球的直径为D，某次测量游标卡尺的示数如图3甲所示．
图3
回答下列问题：
(1)由图甲可知，摆球的直径为D＝________ mm.
(2)该单摆的周期为________．
(3)为了提高实验的准确度，在实验中可改变几次摆长L并测出相应的周期T，从而得出几组对应的L和T的数值，以L为横坐标、T2为纵坐标作出T2－L图线，但同学们不小心每次都把小球直径当作半径来计算摆长，由此得到的T2－L图像是图乙中的________(选填“①”“②”或“③”)，由图像可得当地重力加速度g＝________，由此得到的g值会________(选填“偏小”“不变”或“偏大”)．
答案 (1)16.4 (2)eq \f(Δt,n) (3)① eq \f(4π2a,b) 不变
解析 (1)由题图甲所示游标卡尺可知，主尺示数是16 mm，游标尺示数是4×0.1 mm＝0.4 mm，则摆球的直径为16 mm＋0.4 mm＝16.4 mm.
(2)由于测得摆球经过n次全振动的总时间为Δt，所以该单摆的周期为T＝eq \f(Δt,n).
(3)由单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))可知T2＝eq \f(4π2,g)L，则T2－L图像的斜率k＝eq \f(4π2,g)，则重力加速度g＝eq \f(4π2,k)，但同学们不小心每次都把小球直径当作半径来计算摆长，则有T2＝eq \f(4π2,g)(L－eq \f(d,2))，由此得到的T2－L图像是题图乙中的①，由于图线的斜率不变，计算得到的g值不变，由图像可得k＝eq \f(b,a)，当地重力加速度g＝eq \f(4π2a,b).
5.用单摆测量重力加速度的实验装置如图4所示．
图4
(1)组装单摆时，应在下列器材中选用________(选填选项前的字母)．
A．长度为1 m左右的细线
B．长度为30 cm左右的细线
C．直径为1.5 cm左右的塑料球
D．直径为1.5 cm左右的小钢球
(2)在实验中，有人提出以下几点建议，其中合理的是________(选填选项前的字母)．
A．测摆线长时，应让小球静止在平衡位置，测量悬点到小球顶点的距离
B．单摆偏离平衡位置的角度不能太大，摆角θ<5°
C．在摆球经过最低点时启动秒表计时
D．用秒表记录摆球一次全振动的时间作为周期
(3)某次实验时，测得摆线长为l，小球的直径为d，单摆完成n次全振动所用的时间为t，则重力加速度g＝________(用已知物理量表示)．
(4)下表是甲同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理．
请计算出第3组实验中的T＝______ s，g＝______ m/s2.
图5
(5)乙同学用多组实验数据作出周期的平方(T2)与摆长(L)关系的图像，如图5所示，图像是一条过原点的直线，斜率为k，由此可知重力加速度g＝________.
(6)丙同学在家里测重力加速度．他用细线和小铁锁制成一个单摆，如图6甲所示．由于他无法确定铁锁的重心位置，所以他只测得摆线的长度l.然后将铁锁拉离平衡位置一个小角度由静止释放，测出振动周期T.多次改变摆线的长度，重复上面操作，得到多组l、T的数据，作出T2－l图像如图乙所示，图像是一条不过原点的直线．他借鉴乙同学的思路，结合直线的斜率求得重力加速度．丙同学得到的重力加速度是否正确？并说明理由______________．(可忽略空气阻力对该实验的影响)
图6
答案 (1)AD (2)ABC (3)eq \f(4π2n2,t2)(l＋eq \f(d,2)) (4)2.01 9．76 (5)eq \f(4π2,k) (6)正确，理由见解析
解析 (1)为减小实验误差，摆线长度应适当长些，因此选A；为减小空气阻力对实验的影响，摆球质量应大而体积较小，因此选D.
(2)测摆线长时，应让小球静止在平衡位置，测量悬点到小球顶点的距离，A正确；单摆在摆角很小的情况下才做简谐运动，则单摆偏离平衡位置的角度不能太大，一般小于5°，B正确；当摆球经过最低点(平衡位置)开始计时误差较小，需用秒表测量大约30次或50次全振动所需的时间，再求出周期，单测一次全振动所需的时间表示周期误差较大，C正确，D错误．
(3)摆长为L＝l＋eq \f(d,2)，单摆周期T＝eq \f(t,n)，根据单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))，
联立解得g＝eq \f(4π2n2,t2)(l＋eq \f(d,2))．
(4)通过以上分析可知，T＝eq \f(t,n)，
所以T＝eq \f(100.5,50) s＝2.01 s，g＝eq \f(4π2,T2)(l＋eq \f(d,2))，
代入解得g≈9.76 m/s2.
(5)根据T＝2πeq \r(\f(L,g))得T2＝eq \f(4π2,g)L，所以斜率为k，则重力加速度g＝eq \f(4π2,k).
(6)设摆线下端至铁锁重心位置的长度为a，则铁锁振动周期T＝2πeq \r(\f(l＋a,g))，得T2＝4π2eq \f(l＋a,g)＝eq \f(4π2,g)l＋eq \f(4π2a,g)，图像斜率k＝eq \f(4π2,g)，得g＝eq \f(4π2,k)，所以计算正确．实验
次数
摆长l/m
周期T/s
重力加速度
g/(m·s－2)
重力加速度g的
平均值/(m·s－2)
1
g＝eq \f(g1＋g2＋g3,3)
2
3
组次
1
2
3
摆线长l/mm
793.0
893.0
993.0
小球直径d/mm
14.0
14.0
14.0
50次全振动时间t/s
90.0
95.5
100.5
振动周期T/s
1.80
1.91
重力加速度g/(m·s－2)
9.74
9.73
1.进一步理解单摆做简谐运动的条件和单摆周期公式中各量的意义.
2.学会利用单摆的周期公式测量重力加速度．
一、实验思路
由T＝2πeq \r(\f(l,g))，得g＝eq \f(4π2l,T2)，则测出单摆的摆长l和周期T，即可求出当地的重力加速度．
二、实验器材
铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、停表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺．
三、物理量的测量
1．让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆．
2．将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆线自由下垂．在单摆平衡位置处做上标记．
3．用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为l＝l′＋eq \f(d,2).
4．把单摆拉开一个角度，角度小于5°，释放摆球．摆球经过最低位置时，用停表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期．
5．改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格．
四、数据分析
1．公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝eq \f(4π2l,T2)中求出g值，最后求出g的平均值．
设计如下所示实验表格
2.图像法：由T＝2πeq \r(\f(l,g))得T2＝eq \f(4π2,g)l，以T2为纵轴，以l为横轴作出T2－l图像(如图1所示)．其斜率k＝eq \f(4π2,g)，由图像的斜率即可求出重力加速度g.
图1
五、注意事项
1．选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球．
2．摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小．
3．摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆．
4．计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，要测n次全振动的时间t.
一、实验原理与操作
(2020·北京市东城区高三上期末)实验小组的同学用如图2所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验．
图2
(1)实验室有如下器材可供选用：
A．长约1 m的细线
B．长约1 m的橡皮绳
C．直径约2 cm的铁球
D．直径约2 cm的塑料球
E．米尺
F．时钟
G．停表
实验时需要从上述器材中选择：________.(填写器材前面的字母)
(2)在挑选合适的器材制成单摆后他们开始实验，操作步骤如下：
①将单摆上端固定在铁架台上．
②测得摆线长度，作为单摆的摆长．
③在偏角较小的位置将小球由静止释放．
④记录小球完成n次全振动所用的总时间t，得到单摆的振动周期T＝eq \f(t,n).
⑤根据单摆周期公式计算重力加速度的大小．
其中有一处操作不妥当，是________．(填写操作步骤前面的序号)
(3)发现(2)中操作步骤的不妥之处后，他们做了如下改进：让单摆在不同摆线长度的情况下做简谐运动，测量其中两次实验时摆线的长度l1、l2和对应的周期T1、T2，通过计算也能得到重力加速度的大小．请你写出该测量值的表达式g＝________.
(4)实验后同学们进行了反思，他们发现由单摆周期公式可知周期与摆角无关，而实验中却要求摆角较小．请你简要说明其中的原因：________________________________________
____________________________________________________________________________.
答案 (1)ACEG (2)② (3)eq \f(4π2l1－l2,T12－T22) (4)见解析
解析 (1)实验时需要从题述器材中选择：A.长约1 m的细线；C.直径约2 cm的铁球；E.米尺；G.停表．
(2)步骤②中存在不妥当之处，应该测得摆线长度加上摆球的半径作为单摆的摆长．
(3)根据单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可得T1＝2πeq \r(\f(l1＋r,g))，T2＝2πeq \r(\f(l2＋r,g))，联立解得g＝eq \f(4π2l1－l2,T12－T22).
(4)T＝2πeq \r(\f(l,g))是单摆做简谐运动的周期公式，当摆角较小时才可以将单摆的运动视为简谐运动．
二、实验数据处理及误差分析
在“用单摆测量重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到g＝eq \f(4π2l,T2)，只要测出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T2－l图像，就可以求出当地的重力加速度．理论上T2－l图线是一条过坐标原点的直线，某同学根据实验数据作出的图像如图3所示：
图3
(1)造成图线不过坐标原点的原因可能是______________________________________
________________________________________________________________________.
(2)由图像求出的重力加速度g＝________ m/s2(取π2＝9.87)．
(3)如果测得的g值偏小，可能的原因是________．
A．测摆长时摆线拉得过紧
B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了
C．开始计时时，停表过迟按下
D．实验时误将49次全振动记为50次
答案 (1)测量摆长时漏掉了摆球的半径 (2)9.87 (3)B
解析 (1)T2－l图线不通过坐标原点，将图线向右平移1 cm会通过坐标原点，可知相同的周期下摆长偏小1 cm，故造成图线不过坐标原点的原因可能是测量摆长时漏掉了摆球的半径．
(2)由单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可得T2＝4π2·eq \f(l,g)，则T2－l图像的斜率为k＝eq \f(4π2,g)；由图像得k＝eq \f(4.0,1) s2·m－1，解得g＝9.87 m/s2.
(3)测摆长时摆线拉得过紧，则测量的摆长偏大，测得的重力加速度偏大，A不符合题意；摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，知测量的摆长偏小，则测得的重力加速度偏小，B符合题意；开始计时时，停表过迟按下，测量的周期偏小，则测得的重力加速度偏大，C不符合题意；实验时误将49次全振动记为50次，测量的周期偏小，则测得的重力加速度偏大，D不符合题意．
针对训练 (2020·上海交大附中期中)(1)在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，用摆长l和T计算重力加速度的公式是g＝________.若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零刻度线对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图4甲所示，则单摆摆长是________ m．若测定了40次全振动的时间如图乙所示，则停表读数是________ s，单摆的摆动周期是________ s.
图4
(2)为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值．现将测得的六组数据标在以l为横轴、T2为纵轴的坐标系上，即图5中用“·”表示的点，则：
图5
①单摆做简谐运动应满足的条件是________．
②试根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝________ m/s2.(结果取两位有效数字)
答案 (1)eq \f(4π2l,T2) 0.875 0 75.2 1.88 (2)①偏角小于5° ②见解析图 9.9
解析 (1)由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，
可得g＝eq \f(4π2l,T2).
由题图甲可知，摆长l＝(88.50－1.00) cm＝87.50 cm＝0.875 0 m.
停表的读数t＝60 s＋15.2 s＝75.2 s，
所以T＝eq \f(t,40)＝1.88 s.
(2)①单摆做简谐运动的条件是偏角小于5°.
②连线时使大部分点落在图线上，不在图线上的点均匀分布在图线的两侧(如图)，图线斜率k＝eq \f(ΔT2,Δl)＝4 s2/m.由g＝eq \f(4π2l,T2)可知T2－l图线的斜率表示eq \f(4π2,g)，故eq \f(4π2,g)＝4 s2/m，可得g≈9.9 m/s2.
1．某实验小组在利用单摆测量当地重力加速度的实验中：
(1)用游标卡尺测量摆球的直径，测量结果如图6所示，则该摆球的直径为________ cm.
图6
(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是________(填选项前的字母)．
A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时
B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为eq \f(t,100)
C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大
D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小
答案 (1)1.050 (2)C
解析 (1)游标卡尺读数等于固定刻度读数加游标尺读数，固定刻度读数为1.0 cm，游标尺第10刻线与主尺刻线对齐，读数为10×0.05 mm＝0.50 mm，故读数为1.0 cm＋0.050 cm＝1.05 cm.
(2)单摆的最大摆角应小于5°，要从摆球到达最低点开始计时，故A错误；一个周期的时间内，摆球通过最低点2次，若测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为eq \f(t,50)，故B错误；由单摆的周期公式可推出重力加速度的计算式g＝eq \f(4π2l,T2)，用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，则摆长偏大，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大，故C正确；为减小实验误差，应选择密度较大的摆球，故D错误．
2．(2021·抚顺十中月考)实验小组的同学们用如图7甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验．
图7
(1)选择好器材，将符合实验要求的单摆挂在铁架台上，应采用图________(填“乙”或“丙”)所示的固定方式．
(2)将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是______(选填选项前的字母)．
A．测出摆线长作为单摆的摆长
B．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动
C．在摆球经过平衡位置时开始计时
D．用秒表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期
(3)甲同学多次改变单摆的摆长并测得相应的周期，他根据测量数据画出了如图8所示的图像，但忘记在图中标明横轴所代表的物理量，你认为横轴所代表的物理量是________(选填“l2”“l”或“eq \r(l)”)，若图线斜率为k，则重力加速度g＝________(用k表示)．
图8
答案 (1)丙 (2)BC (3)eq \r(l) eq \f(4π2,k2)
解析 (1)选择好器材，将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，摆线的悬点要固定，则应采用题图丙所示的固定方式．
(2)测出摆线长加上摆球的半径作为单摆的摆长，选项A错误；把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放(小于5°)，使之做简谐运动，选项B正确；在摆球经过平衡位置时开始计时，选项C正确；用秒表测量单摆完成30次或50次全振动所用时间，再计算单摆的周期，选项D错误．
(3)T＝2πeq \r(\f(l,g))，则T＝eq \f(2π,\r(g)) eq \r(l)，
则横轴所代表的物理量是eq \r(l)，
由eq \f(2π,\r(g))＝k可得g＝eq \f(4π2,k2).
1．(2020·济南市期中)某实验小组利用单摆测当地的重力加速度实验中，发现某次测得的重力加速度的值偏大，其原因可能是( )
A．把摆线长作为摆长来进行计算
B．单摆所用摆球质量太大
C．把(n－1)次全振动时间误当成n次全振动时间
D．开始计时时，秒表过早按下
答案 C
解析 根据T＝2πeq \r(\f(l,g))，得g＝eq \f(4π2l,T2).把摆线长作为摆长来进行计算，则l偏小，测得的g偏小，故A错误；单摆所用摆球质量大小与重力加速度无关，故B错误；把(n－1)次全振动时间误当成n次全振动时间，则周期测量值偏小，重力加速度测量值偏大，故C正确；开始计时时，秒表过早按下，则测得的T偏大，则g测量值偏小，故D错误．
2．(2020·郑州七中期末)在“用单摆测量重力加速度”实验中．(如图1所示)
图1
(1)下列操作正确的是________．
A．甲图：小球从偏离平衡位置60°开始摆动
B．乙图：细线上端用铁夹子固定
C．丙图：小球到达最高点时作为计时开始与终止的位置
D．丁图：小球自由下垂时测量摆线的长度
(2)某同学通过测量30次全振动的时间来测定单摆的周期T，他在单摆经过平衡位置时按下秒表记为“1”，若同方向再次经过平衡位置时记为“2”，在数到“30”时停止秒表，读出这段时间t，算出周期T＝eq \f(t,30).其他操作步骤均正确．多次改变摆长时，他均按此方法记录多组数据，并绘制了T2－L图像，则他绘制的图像可能是________．
(3)按照(2)中的操作，此同学获得的重力加速度将________．(选填“偏大”“偏小”或“不变”)
答案 (1)BD (2)D (3)偏大
解析 (1)摆线与竖直方向的夹角小于5°时，才可以认为摆球的运动为简谐运动，故A错误；细线上端应用铁夹子固定，防止松动引起摆长变化，故B正确；当小球运动到最低点时开始计时误差较小，故C错误；实验时应该测量小球自由下垂时摆线的长度，故D正确．
(2)根据T＝2πeq \r(\f(L,g))得，T2＝eq \f(4π2L,g)，可知T2与L成正比，故D正确，A、B、C错误．
(3)实际的全振动次数为29，按30次计算，则计算得到的周期测量值偏小，根据g＝eq \f(4π2L,T2)知，测得的重力加速度偏大．
3．(2020·山东师范大学附属中学模拟)某同学利用单摆测定当地的重力加速度．
(1)为了减小测量周期的误差，实验时需要在适当的位置做一标记，当摆球通过该标记时开始计时，该标记应该放置在摆球摆动的________．
A．最高点
B．最低点
C．任意位置
(2)用停表测量单摆的周期．当单摆摆动稳定且到达计时标记时开始计时并记为n＝1，单摆每经过标记记一次数，当数到n＝60时停表的示数如图2甲所示，该单摆的周期是T＝________ s(结果保留三位有效数字)．
图2
(3)若用最小刻度为1 mm的刻度尺测摆线长，测量情况如图乙所示．O为悬挂点，从图乙中可知单摆的摆线长为________ m；用游标卡尺测量摆球的直径如图丙所示，则球的直径为________ cm；单摆的摆长为________ m(计算结果保留三位有效数字)．
(4)若用l表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝________.
答案 (1)B (2)2.28 (3)0.991 5 2.075 1.00 (4)eq \f(4π2l,T2)
解析 (1)为了减小测量周期时由操作者引起的偶然误差，实验时需要在摆球速度大的点做标记，即最低点．
(2)用停表测量单摆的周期，为减小实验误差需测量多个周期的总时间．根据题意可知从n＝1到n＝60共有59个时间间隔，每一个时间间隔为eq \f(1,2)个周期，故为29eq \f(1,2)T，根据停表读出此时间间隔为Δt＝67.4 s．代入数据解得，此时单摆的周期为2.28 s.
(3)用最小刻度为1 mm的刻度尺测得单摆的摆线长为99.15 cm＝0.991 5 m，用游标卡尺测量摆球的直径，此游标尺为20分度，读数为20 mm＋eq \f(1,20)×15 mm＝20.75 mm＝2.075 cm，单摆的摆长为l＝(0.991 5＋eq \f(0.020 75,2)) m＝1.001 875 m，计算结果保留三位有效数字，故摆长为1.00 m.
(4)根据T＝2πeq \r(\f(l,g))可知g＝eq \f(4π2l,T2).
4．在“用单摆测量重力加速度”的实验中，某实验小组在测量单摆的周期时，测得摆球经过n次全振动的总时间为Δt，在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆线长度为l，再用游标卡尺测量摆球的直径为D，某次测量游标卡尺的示数如图3甲所示．
图3
回答下列问题：
(1)由图甲可知，摆球的直径为D＝________ mm.
(2)该单摆的周期为________．
(3)为了提高实验的准确度，在实验中可改变几次摆长L并测出相应的周期T，从而得出几组对应的L和T的数值，以L为横坐标、T2为纵坐标作出T2－L图线，但同学们不小心每次都把小球直径当作半径来计算摆长，由此得到的T2－L图像是图乙中的________(选填“①”“②”或“③”)，由图像可得当地重力加速度g＝________，由此得到的g值会________(选填“偏小”“不变”或“偏大”)．
答案 (1)16.4 (2)eq \f(Δt,n) (3)① eq \f(4π2a,b) 不变
解析 (1)由题图甲所示游标卡尺可知，主尺示数是16 mm，游标尺示数是4×0.1 mm＝0.4 mm，则摆球的直径为16 mm＋0.4 mm＝16.4 mm.
(2)由于测得摆球经过n次全振动的总时间为Δt，所以该单摆的周期为T＝eq \f(Δt,n).
(3)由单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))可知T2＝eq \f(4π2,g)L，则T2－L图像的斜率k＝eq \f(4π2,g)，则重力加速度g＝eq \f(4π2,k)，但同学们不小心每次都把小球直径当作半径来计算摆长，则有T2＝eq \f(4π2,g)(L－eq \f(d,2))，由此得到的T2－L图像是题图乙中的①，由于图线的斜率不变，计算得到的g值不变，由图像可得k＝eq \f(b,a)，当地重力加速度g＝eq \f(4π2a,b).
5.用单摆测量重力加速度的实验装置如图4所示．
图4
(1)组装单摆时，应在下列器材中选用________(选填选项前的字母)．
A．长度为1 m左右的细线
B．长度为30 cm左右的细线
C．直径为1.5 cm左右的塑料球
D．直径为1.5 cm左右的小钢球
(2)在实验中，有人提出以下几点建议，其中合理的是________(选填选项前的字母)．
A．测摆线长时，应让小球静止在平衡位置，测量悬点到小球顶点的距离
B．单摆偏离平衡位置的角度不能太大，摆角θ<5°
C．在摆球经过最低点时启动秒表计时
D．用秒表记录摆球一次全振动的时间作为周期
(3)某次实验时，测得摆线长为l，小球的直径为d，单摆完成n次全振动所用的时间为t，则重力加速度g＝________(用已知物理量表示)．
(4)下表是甲同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理．
请计算出第3组实验中的T＝______ s，g＝______ m/s2.
图5
(5)乙同学用多组实验数据作出周期的平方(T2)与摆长(L)关系的图像，如图5所示，图像是一条过原点的直线，斜率为k，由此可知重力加速度g＝________.
(6)丙同学在家里测重力加速度．他用细线和小铁锁制成一个单摆，如图6甲所示．由于他无法确定铁锁的重心位置，所以他只测得摆线的长度l.然后将铁锁拉离平衡位置一个小角度由静止释放，测出振动周期T.多次改变摆线的长度，重复上面操作，得到多组l、T的数据，作出T2－l图像如图乙所示，图像是一条不过原点的直线．他借鉴乙同学的思路，结合直线的斜率求得重力加速度．丙同学得到的重力加速度是否正确？并说明理由______________．(可忽略空气阻力对该实验的影响)
图6
答案 (1)AD (2)ABC (3)eq \f(4π2n2,t2)(l＋eq \f(d,2)) (4)2.01 9．76 (5)eq \f(4π2,k) (6)正确，理由见解析
解析 (1)为减小实验误差，摆线长度应适当长些，因此选A；为减小空气阻力对实验的影响，摆球质量应大而体积较小，因此选D.
(2)测摆线长时，应让小球静止在平衡位置，测量悬点到小球顶点的距离，A正确；单摆在摆角很小的情况下才做简谐运动，则单摆偏离平衡位置的角度不能太大，一般小于5°，B正确；当摆球经过最低点(平衡位置)开始计时误差较小，需用秒表测量大约30次或50次全振动所需的时间，再求出周期，单测一次全振动所需的时间表示周期误差较大，C正确，D错误．
(3)摆长为L＝l＋eq \f(d,2)，单摆周期T＝eq \f(t,n)，根据单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))，
联立解得g＝eq \f(4π2n2,t2)(l＋eq \f(d,2))．
(4)通过以上分析可知，T＝eq \f(t,n)，
所以T＝eq \f(100.5,50) s＝2.01 s，g＝eq \f(4π2,T2)(l＋eq \f(d,2))，
代入解得g≈9.76 m/s2.
(5)根据T＝2πeq \r(\f(L,g))得T2＝eq \f(4π2,g)L，所以斜率为k，则重力加速度g＝eq \f(4π2,k).
(6)设摆线下端至铁锁重心位置的长度为a，则铁锁振动周期T＝2πeq \r(\f(l＋a,g))，得T2＝4π2eq \f(l＋a,g)＝eq \f(4π2,g)l＋eq \f(4π2a,g)，图像斜率k＝eq \f(4π2,g)，得g＝eq \f(4π2,k)，所以计算正确．实验
次数
摆长l/m
周期T/s
重力加速度
g/(m·s－2)
重力加速度g的
平均值/(m·s－2)
1
g＝eq \f(g1＋g2＋g3,3)
2
3
组次
1
2
3
摆线长l/mm
793.0
893.0
993.0
小球直径d/mm
14.0
14.0
14.0
50次全振动时间t/s
90.0
95.5
100.5
振动周期T/s
1.80
1.91
重力加速度g/(m·s－2)
9.74
9.73
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