高中3 简谐运动的回复力和能量学案

这是一份高中3 简谐运动的回复力和能量学案，共19页。
3　简谐运动的回复力和能量
[学习目标]　
1.理解回复力的概念，知道回复力在机械振动中的特征.
2.会用动力学的方法，分析简谐运动中位移、回复力、速度、加速度的变化规律.
3.会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子在振动过程中动能、势能、总能量的变化规律．

一、简谐运动的回复力
1．回复力
(1)定义：使振动物体回到平衡位置的力．
(2)方向：总是指向平衡位置．
(3)表达式：F＝－kx.
2．简谐运动
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动．
二、简谐运动的能量
1．能量转化
弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程．
(1)在最大位移处，势能最大，动能为零．
(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小．
2．能量特点
在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型．

1．判断下列说法的正误．
(1)简谐运动的回复力F＝－kx公式中的k为弹簧的劲度系数，是由弹簧的性质决定的．
(　×　)
(2)小球做简谐运动，它的位移方向和加速度的方向相反．(　√　)
(3)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此能量也为零．(　×　)
(4)回复力的大小与速度的大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小．(　×　)
(5)同一简谐运动中的能量由平衡位置的速度决定，若经过平衡位置的速度不变，则振动系统的能量不变．(　×　)
2．如图1所示的弹簧振子，O为平衡位置，B、C为最大位移位置，以向右的方向为正方向，则振子从B运动到O的过程中，位移方向为________，大小逐渐________；回复力方向为________，大小逐渐________；振子速度方向为________，大小逐渐________；动能逐渐________；势能逐渐________．(均选填“正”“负”“增大”或“减小”)

图1
答案　正　减小　负　减小　负　增大　增大　减小

一、简谐运动的回复力
导学探究
如图2所示为水平方向的弹簧振子模型．

图2
(1)当振子离开O点后，是什么力使其回到平衡位置？
(2)使振子回到平衡位置的力与振子离开平衡位置的位移的大小及方向有何关系？
答案　(1)弹簧的弹力使振子回到平衡位置．
(2)弹簧弹力与位移大小成正比，方向与位移方向相反．
知识深化
1．回复力
(1)回复力的方向总是指向平衡位置，回复力为零的位置就是平衡位置．
(2)回复力的性质
回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供．它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力．例如：如图3甲所示，水平方向的弹簧振子，弹簧弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹簧弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力由静摩擦力提供．

图3
2．回复力公式：F＝－kx.
(1)k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数．其值由振动系统决定，与振幅无关．
(2)“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反．
3．简谐运动的加速度
由F＝－kx及牛顿第二定律F＝ma可知：a＝－x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反．
4．物体做简谐运动的判断方法
(1)简谐运动的回复力满足F＝－kx；
(2)简谐运动的振动图像是正弦曲线．
(2020·沈阳市铁路实验中学高二下期中)如图4所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是(　　)

图4
A．物块A受重力、支持力及B对它施加的大小和方向都随时间变化的摩擦力
B．物块A受重力、支持力及弹簧对它施加的大小和方向都随时间变化的弹力
C．物块A受重力、支持力及B对它施加的恒定的摩擦力
D．物块A受重力、支持力及弹簧对它施加的恒定的弹力
答案　A
解析　物块A受到重力、支持力和摩擦力的作用，重力和支持力二力平衡，摩擦力提供A做简谐运动所需的回复力，由F＝－kx知，摩擦力大小和方向都随时间变化，故A正确．
如图5所示，物体m系在两水平弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然伸长状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动(不计阻力)，O为平衡位置，则下列判断正确的是(　　)

图5
A．m做简谐运动，OC＝OB
B．m做简谐运动，OC≠OB
C．回复力F＝－kx
D．回复力F＝－2kx
答案　A
解析　以O点为原点，水平向右为x轴正方向，物体在O点右方x处时所受合力：F＝－(k1x＋k2x)＝－3kx，因此物体做简谐运动，由对称性可知，OC＝OB＝A，故A正确．
二、简谐运动的能量
导学探究
如图6所示为水平弹簧振子，振子在A、B之间往复运动．

图6
(1)从A到B的运动过程中，振子的动能如何变化？弹簧弹性势能如何变化？振动系统的总机械能是否变化？
(2)如果使振子振动的振幅增大，振子回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？振动系统的机械能的大小与什么因素有关？
(3)实际的振动系统有空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？理想化的弹簧振动系统，忽略空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？
答案　(1)振子的动能先增大后减小　弹簧的弹性势能先减小后增大　总机械能保持不变
(2)振子回到平衡位置的动能增大　振动系统的机械能增大　振动系统的机械能与弹簧的劲度系数和振幅有关
(3)实际的振动系统，能量逐渐减小　理想化的弹簧振动系统，能量不变
知识深化
简谐运动的能量是指物体在经过某一位置时所具有的势能和动能之和．在振动过程中，势能和动能相互转化，机械能守恒．
1．简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大．
2．在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去．
3．在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化．物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能．
如图7所示，一水平弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M.

图7
(1)简谐运动的能量取决于________，振子振动时动能和________相互转化，总机械能________．
(2)振子在振动过程中，下列说法中正确的是________．
A．振子在平衡位置，动能最大，弹性势能最小
B．振子在最大位移处，弹性势能最大，动能最小
C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与弹性势能之和保持不变
(3)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是________．
A．振幅不变 B．振幅减小
C．最大动能不变 D．最大动能减小
答案　(1)振幅　弹性势能　守恒　(2)ABD　(3)AC
解析　(1)简谐运动的能量取决于振幅，振子振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒．
(2)振子在平衡位置两侧往复运动，在平衡位置处速度达到最大，动能最大，弹性势能最小，所以A正确；在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变量最大，弹性势能最大，所以B正确；振幅的大小与振子的位置无关，在任意时刻只有弹簧的弹力做功，故机械能守恒，所以C错误，D正确．
(3)振子运动到B点时速度恰为零，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，选项A正确，B错误；由于机械能守恒，所以最大动能不变，选项C正确，D错误．
三、简谐运动中各物理量的变化
1．如图8所示为水平的弹簧振子示意图，振子运动过程中各物理量的变化情况如下表．

图8
振子的运动
A→O
O→A′
A′→O
O→A
位移
方向
向右
向左
向左
向右
大小
减小
增大
减小
增大
回复力
方向
向左
向右
向右
向左
大小
减小
增大
减小
增大
加速度
方向
向左
向右
向右
向左
大小
减小
增大
减小
增大
速度
方向
向左
向左
向右
向右
大小
增大
减小
增大
减小
振子的动能
增大
减小
增大
减小
弹簧的势能
减小
增大
减小
增大
系统总能量
不变
不变
不变
不变
2.说明：(1)简谐运动中各个物理量对应关系不同．位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同．
(2)简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep＝0，Ek最大．
(3)位移增大时，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；位移减小时，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大．
一质点做简谐运动的图像如图9所示，在0.1～0.15 s这段时间内，质点的(　　)

图9
A．加速度增大，速度变小，加速度和速度方向相同
B．加速度增大，速度变小，加速度和速度方向相反
C．加速度减小，速度变大，加速度和速度方向相同
D．加速度减小，速度变大，加速度和速度方向相反
答案　B
解析　由题图可知，在0.1～0.15 s这段时间内，位移为负且增大，质点沿负方向远离平衡位置，则加速度增大，速度减小，二者方向相反．故选B.
如图10所示是弹簧振子做简谐运动的振动图像，可以判定(　　)

图10
A．t1到t2时间内，系统的动能不断增大，势能不断减小
B．0到t2时间内，振子的位移增大，速度增大
C．t2到t3时间内，振子的回复力先减小再增大，加速度的方向一直沿x轴正方向
D．t1、t4时刻振子的动能、速度都相同
答案　A
解析　t1到t2时间内，x减小，弹力做正功，系统的动能不断增大，势能不断减小，A正确；0到t2时间内，振子的位移减小，速度增大，B错误；t2到t3时间内，振子的位移先增大再减小，所以回复力先增大再减小，C错误；t1和t4时刻振子的位移相同，即位于同一位置，其速度等大反向，但动能相同，D错误．

分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧
(1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化．另外，各矢量均在其值为零时改变方向．
(2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性．位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定．
针对训练　如图11甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，以向右为正方向，由图可知下列说法中正确的是(　　)

图11
A．在t＝0.2 s时刻，弹簧振子运动到O位置
B．在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度相同
C．从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的动能持续地减小
D．在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的加速度相同
答案　C
解析　由题图知，t＝0时，弹簧振子位于平衡位置，则在t＝0.2 s时刻，弹簧振子运动到B位置，故A错；在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度大小相等，方向相反，故B错；从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的位移越来越大，弹簧的弹性势能越来越大，其动能越来越小，故C对；在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的加速度大小相等，方向相反，故D错．

1．(简谐运动的回复力)关于简谐运动的回复力，以下说法正确的是(　　)
A．简谐运动的回复力不可能是恒力
B．做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相同
C．简谐运动中回复力的公式F＝－kx中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度
D．做简谐运动的物体每次经过平衡位置合力一定为零
答案　A
解析　根据简谐运动的定义可知，物体做简谐运动时，受到的回复力为F＝－kx，k是比例系数，x是物体相对平衡位置的位移，回复力不可能是恒力，故A正确，C错误；物体的回复力方向总是指向平衡位置，与位移方向相反，根据牛顿第二定律，加速度的方向与合外力的方向相同，所以做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反，故B错误；做简谐运动的物体每次经过平衡位置回复力为零，但是合力不一定为零，故D错误．
2.(简谐运动的回复力)如图12所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是(　　)

图12
A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C．振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D．振子由O向B运动过程中，回复力的方向由O指向B
答案　A
解析　弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力，回复力是根据效果命名的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，振子由A向O运动过程中位移的大小在减小，故此过程回复力逐渐减小，故C错误；回复力的方向总是指向平衡位置，故D错误．
3．(简谐运动的能量)(2020·天津市和平区期末)物体做简谐运动的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．当物体的位移减小时，其速度和加速度的方向一定相同
B．当物体的速度变化最快时，其动能最大
C．当物体的加速度与速度反向时，其回复力正在减小
D．在物体的动能相等的两个时刻，其加速度相同
答案　A
解析　当物体的位移减小时，物体向平衡位置运动，速度的方向指向平衡位置，加速度的方向始终指向平衡位置，所以其速度和加速度的方向一定相同，故A正确；当物体的速度变化最快时，其加速度最大，物体处于最大位移处，速度为零，所以其动能也为零，故B错误；加速度方向始终指向平衡位置，当加速度与速度反向时，速度的方向指向最大位移处，位移增大，回复力增大，故C错误；动能相等的两个时刻，速度大小相等，位移不一定相同，其加速度也不一定相同，故D错误．
4.(简谐运动中各物理量的变化)一个弹簧振子做简谐运动的周期为T，设t1时刻振子不在平衡位置，经过一段时间到t2时刻，振子的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同，(t2－t1)a2，E1a2，E1>E2
C．a1