【精品讲义】人教版 七年级数学下册同步 第03课 平行线的判定 (教师版+学生版）学案

这是一份【精品讲义】人教版 七年级数学下册同步 第03课 平行线的判定 (教师版+学生版）学案，文件包含人教版七年级数学下册同步精品讲义第03课平行线的判定教师版docx、人教版七年级数学下册同步精品讲义第03课平行线的判定学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共44页， 欢迎下载使用。

第03课 平行线的判定

目标导航


课程标准
1.理解平行线的概念，会用作图工具画平行线，了解在同一平面内两条直线的位置关系；
2.掌握平行公理及其推论；
3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.

知识精讲

知识点01 平行线的定义及画法
1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．
注意：
(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；不在同一平面内的两条直线，如果没有交点，但是也可能不平行，需要注意；
(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．
(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．
2.平行线的画法：

用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条直角边与已知直线重合.
②靠：用直尺紧靠三角板另一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的直角边通过已知点.
④画：沿着这条直角边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
知识点02 平行公理及推论
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
注意：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
知识点03 直线平行的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，
几何语言：
∵　∠3＝∠2
∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，
几何语言：
∵　∠1＝∠2
∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，
几何语言：
∵　∠4＋∠2＝180°
∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

注意：
平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
能力拓展

考法01 平行线
【典例1】在同一平面内，两条直线的位置关系是（ ）
A．平行和垂直 B．平行和相交 C．垂直和相交 D．平行、垂直和相交
【答案】B
【分析】
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种情况，平行或相交．
【详解】
解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了同一平面内，两条直线的位置关系，注意垂直是相交的一种特殊情况，不能单独作为一类．
【即学即练】下列说法正确的是(　　)
A．经过一点有无数条直线与已知直线平行
B．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线平行
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D．以上说法都不正确
【答案】C
【分析】
根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行即可解题.
【详解】
解：A. 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以错误,
B. 在同一平面内，（经过直线外一点）有且只有一条直线与已知直线平行,所以错误,
C. 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行,正确.
故选C.
【点睛】
本题考查了平面内平行线的性质,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
【即学即练】下列结论正确的是 （ ）
A．不相交的直线互相平行
B．不相交的线段互相平行
C．不相交的射线互相平行
D．有公共端点的直线一定不平行
【答案】D
【分析】
根据同一平面内，不相交的直线互相平行，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行，依次判断各项即可．
【详解】
A、同一平面内，不相交的直线互相平行，故本选项错误；
B、两条线段平行是指它们所在的直线平行，故本选项错误；
C、两条射线平行是指它们所在的直线平行，故本选项错误；
D、有公共端点的直线一定不平行，本选项正确，
故选D.
【即学即练】若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是( )
A．平行公理 B．等量代换
C．等式的性质 D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】D
【详解】
因为直线a∥b,b∥c,所以a∥c的依据是平行于同一条直线的两条直线互相平行,
故选D.
【即学即练】已知直线及一点P，要过点P作一直线与平行，那么这样的直线( )
A．有且只有一条 B．有两条 C．不存在 D．不存在或者只有一条
【答案】D
【分析】
根据平行公理判断即可；
【详解】
当点P在直线上时，这样的直线不存在；当点P在直线外时，这样的直线只有一条．
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了平行公理及其推论，准确判断是解题的关键．
【即学即练】下列说法正确的是（ ）
A．同一平面内不相交的两线段必平行
B．同一平面内不相交的两射线必平行
C．同一平面内不相交的一条线段与一条直线必平行
D．同一平面内不相交的两条直线必平行
【答案】D
【详解】
A. 线段延长后可以相交，错误；
B. 射线反向延长后可以相交，错误；
C. 线段延长后可以与直线相交，错误；
D. 正确.
故选D.
【即学即练】如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（ ）

A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】B
【分析】
根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．
【详解】
解：

∵由题意a⊥AB，b⊥AB，
∴∠1=∠2
∴a∥b
所以本题利用的是：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的判定，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
考法02 平行线的判定
【典例2】如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ）

A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等
【答案】A
【分析】
由已知可知∠DPF=∠BAF，从而得出同位角相等，两直线平行．
【详解】
∵∠DPF=∠BAF，
∴AB∥PD（同位角相等，两直线平行）．
故选A．

【点睛】
此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键．
【典例3】在同一平面内，a、b、c是直线，下列说法正确的是（　　）
A．若a∥b，b∥c 则 a∥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．若a∥b，b⊥c，则a∥c D．若a∥b，b∥c，则a⊥c
【答案】A
【分析】
根据线段垂直平分线上的定义，平行公理以及平行线的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A.在同一平面内,若a∥b,b∥c,则a∥c正确，故本选项正确；
B.在同一平面内,若a⊥b,b⊥c,则a∥c，故本选项错误；
C.在同一平面内,若a∥b，b⊥c，则a⊥c，故本选项错误；
D.在同一平面内,若a∥b,b∥c,则a∥c，故本选项错误．
故选：A．
【即学即练】如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（　　）

A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
B．∵AB∥CD，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）
C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AB∥CD（两直线平行，同位角相等）
【答案】D
【解析】
因为∠DAM和∠CBM是直线AD和BC被直线AB的同位角,因为∠DAM＝∠CBM根据同位角相等,两直线平行可得AD∥BC，所以D选项错误,故选D.
【即学即练】如图，下列条件：中能判断直线的有( )

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】
根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．
【详解】
解：①∵∠1=∠3，∴l1∥l2，故本小题正确；
②∵∠2+∠4=180°，∴l1∥l2，故本小题正确；
③∵∠4=∠5，∴l1∥l2，故本小题正确；
④∠2=∠3不能判定l1∥l2，故本小题错误；
⑤∵∠6=∠2+∠3，∴l1∥l2，故本小题正确．
故选B．
【点睛】
本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．
【即学即练】如图，下列条件中，能判断直线a∥b的有（　　）个．
①∠1＝∠4；
②∠3＝∠5；
③∠2+∠5＝180°；
④∠2+∠4＝180°

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据平行线的判定方法，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：①∵∠1＝∠4，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）；
②∵∠3＝∠5，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行），
③∵∠2+∠5＝180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）；
④∠2和∠4不是同旁内角，所以∠2+∠4=180°不能判定直线a∥b．
∴能判断直线a∥b的有①②③，共3个．
故选C．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行，解题时要认准各角的位置关系．
【即学即练】如图，下列说法错误的是( )

A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若∠1＝∠2，则a∥c C．若∠3＝∠2，则b∥c D．若∠3＋∠5＝180°，则a∥c
【答案】C
【详解】
试题分析：根据平行线的判定进行判断即可．
解：A、若a∥b，b∥c，则a∥c，利用了平行公理，正确；
B、若∠1=∠2，则a∥c，利用了内错角相等，两直线平行，正确；
C、∠3=∠2，不能判断b∥c，错误；
D、若∠3+∠5=180°，则a∥c，利用同旁内角互补，两直线平行，正确；
故选C．
考点：平行线的判定．
【即学即练】一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的度数是（ ）
A．第一次右拐50°，第二次左拐130° B．第一次左拐50°，第二次右拐50°
C．第一次左拐50°，第二次左拐130° D．第一次右拐50°，第二次右拐50°
【答案】B
【分析】
根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意得：两次拐的方向不相同，但角度相等．
【详解】
解：如图，第一次拐的角是∠1，第二次拐的角是∠2，由于平行前进，可以得到∠1=∠2．

因此，第一次与第二次拐的方向不相同，角度要相同，
故只有B选项符合，
故选B．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，注意要想两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则拐的方向应相反，角度应相等．
【即学即练】如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（ ）

A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180°
【答案】C
【详解】
解：A．∵∠1与∠2是直线a，b被c所截的一组同位角，∴∠1=∠2，可以得到a∥b，∴不符合题意
B．∵∠2与∠3是直线a，b被c所截的一组内错角，∴∠2=∠3，可以得到a∥b，∴不符合题意，
C．∵∠3与∠5既不是直线a，b被任何一条直线所截的一组同位角，内错角，∴∠3=∠5，不能得到a∥b，∴符合题意，
D．∵∠3与∠4是直线a，b被c所截的一组同旁内角，∴∠3+∠4=180°，可以得到a∥b，∴不符合题意，
故选C．
【点睛】
本题考查平行线的判定，难度不大．
【典例4】如图，已知∠1=∠2，其中能判定AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由∠1=∠2结合“内错角（同位角）相等，两直线平行”得出两平行的直线，由此即可得出结论．
【详解】
A、∵∠1=∠2，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
B、∵∠1=∠2，∠1、∠2不是同位角和内错角，
∴不能得出两直线平行；
C、∠1=∠2，∠1、∠2不是同位角和内错角，
∴不能得出两直线平行；
D、∵∠1=∠2，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故选D．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，解题的关键是根据相等的角得出平行的直线．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等（或互补）的角，找出平行的直线是关键．
【即学即练】如图，下列条件中，能判断AB∥CD的是( )

A．∠FEC＝∠EFB B．∠BFC+∠C＝180°
C．∠BEF＝∠EFC D．∠C＝∠BFD
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】
A．由∠FEC=∠EFB，可得CE∥BF，故本选项错误；
B．由∠BFC+∠C=180°，可得CE∥BF，故本选项错误；
C．由∠BEF=∠EFC，可得AB∥CD，故本选项正确；
D．由∠C=∠BFD，可得CE∥BF，故本选项错误．
故选C．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，解题时注意：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
【即学即练】如图，下列条件中能得到AB∥CD的是( )

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】
A、因为∠1=∠2，不能得出AB∥CD，错误；
B、∵∠2=∠3，∴AD∥BC，错误；
C、∵∠1=∠4，∴AB∥CD，正确；
D、因为∠3=∠4，不能得出AB∥CD，错误；
故选C．
【点睛】
本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
【即学即练】如图，下列条件：①：②；③；④，其中能判定的有( )

A．1个 B．2个 C．4个 D．3个
【答案】B
【分析】
根据平行线的判定定理依次判断即可.
【详解】
①，能得到，正确
②能得到，正确；
③，不能判定平行，故错误；
④，得到AD∥BC，故错误，
故选B.
【点睛】
此题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟知平行线的判定定理.

考法03 平行判定的几何语言
【典例5】结合下图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵____________，∴a∥b．

【答案】
【分析】
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
【详解】
解：∵∠1＋∠3＝180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平）．
故答案为∠1＋∠3＝180°．
【点睛】
本题主要考查了平行的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
【典例6】如图所示： 
(1)若∠1=∠B，则_____∥_____，理由是 ； 
(2)若∠3=∠5，则_____∥_____，理由是 ； 
(3)若∠2=∠4，则_____∥_____，理由是 ； 
(4)若∠1=∠D，则_____∥_____，理由是 ； 
(5)若∠B+∠BCD=180°，_____∥_____，理由是 ； 

【答案】(1) AD∥BC, 理由是同位角相等，两直线平行；
(2) AB∥CD, 理由是内错角相等，两直线平行；
(3) AD∥BC, 理由是内错角相等，两直线平行；
(４) AB∥CD, 理由是内错角相等，两直线平行；
(５) AB∥CD, 理由是同旁内角互补，两直线平行；
【解析】
【分析】
平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可．
【详解】
解：(1) AD∥BC, 理由是同位角相等，两直线平行；
(2) AB∥CD, 理由是内错角相等，两直线平行；
(3) AD∥BC, 理由是内错角相等，两直线平行；
(４) AB∥CD, 理由是内错角相等，两直线平行；
(５) AB∥CD, 理由是同旁内角互补，两直线平行；
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定定理，关键是熟练掌握平行线的判定定理．
【即学即练】如图，AC平分∠DAB，∠1＝∠2，试说明AB∥CD.

证明：∵AC平分∠DAB(　　　　　)，
∴∠1＝∠____(　　　　　　)，
又∵∠1＝∠2(　　　　　　)，
∴∠2＝∠____(　　　　　　)，
∴AB∥____(　　　　　　)．
【答案】已知　3　角平分线的定义　已知　3　等量代换　CD　内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】
根据平行线证明对书写过程的要求和格式填写即可.
【详解】
证明：∵AC平分∠DAB( 已 知 )，
∴∠1＝∠ 3 (角平分线的定义)，
又∵∠1＝∠2( 已 知 )，
∴∠2＝∠ 3 (等量代换)，
∴AB∥CD (内错角相等，两直线平行)．
【点睛】
本题主要考察平行线证明的书写，正确的逻辑推理和书写格式是解题的关键.
【即学即练】如图，已知∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，请说明AB与DE平行的理由．
解：将∠2的邻补角记作∠4，则
∠2+∠4＝　　°（　　）
因为∠2+∠3＝180° （　　）
所以∠3＝∠4（　　）
因为　 　（　　）
所以∠1＝∠4（ ）
所以AB//DE（　 　）

【答案】180，邻补角的意义；已知；同角的补角相等；∠1＝∠3，已知；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【分析】
根据邻补角的意义，得出∠2+∠4＝180°，由同角的补角相等得出∠3＝∠4，等量代换得出∠1＝∠4，由同位角相等，两直线平行得出结论AB//DE．
【详解】
解：将∠2的邻补角记作∠4，则
∠2+∠4＝180° （邻补角的意义）
因为∠2+∠3＝180° （已知）
所以∠3＝∠4 （同角的补角相等）
因为∠1＝∠3（已知）
所以∠1＝∠4 （等量代换）
所以AB//DE（同位角相等，两直线平行）
故答案为：180，邻补角的意义；已知；同角的补角相等；∠1＝∠3，已知；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【点评】
此题考查平行线的判定，关键是根据平行线的判定解答．
【即学即练】如图，由下列条件可判定哪两条直线平行，并说明根据．

(1)∠1=∠2，________________________．
(2)∠A=∠3，________________________．
(3)∠ABC+∠C=180°，________________________．
【答案】AD∥BC，内错角相等，两直线平行 AD∥BC，同位角相等，两直线平行 AB∥CD，同旁内角互补，两直线平行
【分析】
（1）根据内错角相等，两直线平行推出即可；
（2）根据同位角相等，两直线平行推出即可；
（3）根据同旁内角互补，两直线平行推出即可．
【详解】
解（1）∵∠1=∠2，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
故答案为AD∥BC，根据内错角相等，两直线平行；
 （2）∵∠A=∠3，
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），
故答案为AD∥BC，根据同位角相等，两直线平行；
 （3）∵∠ABC+∠C=180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
故答案为AB∥CD，根据同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】
本题考查了平行线判定的应用，主要考查学生的理解能力和推理能力．
【即学即练】完成下面的证明：
已知：如图，平分平分，且．

求证：，
证明：平分(已知)
（ ）
平分(已知)
（ ）

（ ）
(已知)
（ ）
（ ）
【答案】角平分线的定义；；等式的基本性质；180°；同旁内角互补，两直线平行
【分析】
根据角平分线的性质及平行线的判定解决即可．
【详解】
解：平分(已知)
（角平分线的定义）
平分(已知)
（2∠β）
（等式的基本性质）
(已知)
（180°）
（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；；等式的基本性质；180°；同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，平行线的性质及判定等，熟练掌握角平分线的性质及平行线的判定和性质是解决本题的关键．

分层提分


题组A 基础过关练
1．下列说法不正确的是（ ）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．在同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【答案】A
【详解】
试题分析：平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A不正确；
在同一平面内两条不相交的直线是平行线，这是平行线的概念，故B正确；
在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直，故C正确；
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故D正确；
故选：A.
2．已知直线a、b、c在同一平面内，则下列说法错误的是(　　)
A．如果a∥b，b∥c，那么a∥c
B．a⊥b，c⊥b，那么a∥c
C．如果a与b相交，b与c相交，那么a与c一定相交
D．如果a与b相交，b与c不相交，那么a与c一定相交
【答案】C
【分析】
根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行进行分析即可．
【详解】
A．如果a∥b，b∥c，那么a∥c，说法正确；
B．a⊥b，c⊥b，那么a∥c，说法正确；
C．如果a与b相交，b与c相交，那么a与c一定相交，说法错误；
D．如果a与b相交，b与c不相交，那么a与c一定相交，说法正确．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了平行公理及推论，关键是熟练掌握所学定理．
3．如下图，下列条件中：①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5，能判定AB∥CD的条件为（　　）

A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
【答案】C
【详解】
解：①∵∠B+∠BCD=180°，
∴AB∥CD；
②∵∠1=∠2，
∴AD∥BC；
③∵∠3=∠4，
∴AB∥CD；
④∵∠B=∠5，
∴AB∥CD；
∴能得到AB∥CD的条件是①③④．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定，解题关键是合理利用平行线的判定，确定同位角、内错角、同旁内角. 平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；
同位角相等，两直线平行.
4．如图，点E在射线AB上，要ADBC，只需（ ）

A．∠A=∠CBE B．∠A=∠C  C．∠C=∠CBE D．∠A+∠D= 180°
【答案】A
【分析】
根据平行线的判定定理：同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，逐项进行判断，即可求解．
【详解】
解：∵ ∠A=∠CBE，
∴ADBC．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定方法．
5．如图，直线被直线所截，下列条件中不能判定a//b的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据平行线的判定定理逐项判断即可．
【详解】
解：A. 由和是同位角，则 ，可得a//b，故该选项不符合题意；
B. 由和是内错角，则，可得a//b，故该选项不符合题意；
C. 由∠3和∠1相等，，可得a//b，故该选项不符合题意；
D. 由∠1和∠2是邻补角，则不能判定a//b，故该选项满足题意．
故答案为D．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答本题的关键．
6．下列说法不正确的是（ ）
A．同一平面上的两条直线不平行就相交 B．同位角相等，两直线平行
C．过直线外一点只有一条直线与已知直线平行 D．同位角互补，两直线平行
【答案】D
【分析】
根据平行线的概念对选项A进行判断；根据平行线的性质对选项B进行判断；
根据平行线的公理和判定定理对选项C和D进行判断.
【详解】
A. 同一平面上的两条直线不平行就相交，所以选项A正确；
B. 同位角相等，两直线平行，这是平行线的判定定理，所以B选项正确；
C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以选项C正确；
D. 同旁内角互补，两直线平行，所以选项D错误.
故选D.
【点睛】
本题是一道关于平行线的题目，掌握平行线的性质和定理是解决此题的关键.
7．如图，由∠1＝∠2，则可得出（　　）

A．AB∥CD B．AD∥BC C．A D∥BC 且 AB∥CD D．∠3＝∠4
【答案】A
【分析】
∠1与∠2是直线AB、CD被直线AC所截形成的内错角，利用内错角相等，两直线平行即可求解．
【详解】
解：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故选A．
【点睛】
本题考查平行线的判定定理，平行线的概念，解题的关键在于根据图形找到被截的两直线．
题组B 能力提升练
1．如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是__________．

【答案】同位角相等，两直线平行．
【详解】
试题解析：利用三角板中两个60°相等，可判定平行
考点:平行线的判定
2．小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边，在同一条直线上，可以得到________//________，依据是________．

【答案】AC DE 内错角相等,两直线平行
【分析】
利用直角三角形的两个直角构成内错角可得答案．
【详解】
解：由题意得：

（内错角相等，两直线平行．）
故答案为：内错角相等，两直线平行．
【点睛】
本题考查的是平行线的判定，掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．
3．如图，∠1=120°，∠2=45°，若使b∥c，则可将直线b绕点A逆时针旋转_________度.

【答案】15
【分析】
先根据邻补角的定义得到（如下图）∠3=60°，根据平行线的判定当b与a的夹角为45°时，b∥c，由此得到直线b绕点A逆时针旋转60°-45°=15°．
【详解】
解：如图：

∵∠1=120°，
∴∠3=60°，
∵∠2=45°，
∴当∠3=∠2=45°时，b∥c，
∴直线b绕点A逆时针旋转60°-45°=15°．
故答案为：15．
【点睛】
本题考查的是平行线的判定定理，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键．
4．如图, 已知: CDE是直线, ∠1＝130°, ∠A＝50°, 则___∥__.理由是_______________.

【答案】AB CE 同旁内角互补,两直线平行 
【分析】
先由邻补角定义求出∠2=50°，再根据内错角相等，两直线平行得出AB∥CE．
【详解】
证明：∵∠1+∠2=180°(邻补角的定义)，∠1=130° (已知) ，
∴∠2=50°(等式的性质)，
∵∠A=50°(已知)，
∴∠A=∠2(等量代换)，
∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)．
故答案为AB，CE，同旁内角互补,两直线平行.
【点睛】
本题考查了平行线的判定及邻补角定义，比较简单．
5．如图，条件__（填写所有正确的序号）一定能判定AB∥CD．
①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5．

【答案】①③④
【分析】
根据平行线的判定方法逐个条件分析即可.
【详解】
①∵∠B+∠BCD=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），故①正确；
②∵∠1=∠2，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故②错误；
③∵∠3=∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故③正确；
④∵∠B=∠5，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故④正确；
故答案为①③④.
【点睛】
本题考查了平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行.
6．已知：如图AB⊥BC，BC⊥CD且∠1＝∠2，试说明：BE//CF．

解：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）
∴________＝________＝90°（___）
∵∠1＝∠2（已知）
∴________＝________（等式性质）
∴BE//CF（____________）
【答案】无答案 无答案 无答案 无答案 无答案 无答案
【分析】
根据平行线的判定定理进行填空.
【详解】
∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）
∴∠ABC＝∠DCB＝90°（ 垂直的定义 ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠EBC ＝∠FCB （等式性质）
∴BE∥CF（ 内错角相等，两直线平行 ）
题组C 培优拔尖练
1．已知：如图，直线AB，CD被直线GH所截，∠1＝112°，∠2＝68°，求证：AB//CD．

完成下面的证明．
证明：∵AB被直线GH所截，∠1＝112°，
∴∠1＝∠　 　＝112°
∵∠2＝68°，
∴∠2+∠3＝　 　，
∴AB//　 　（　 　）（填推理的依据）
【答案】∠3，180°，CD，同旁内角互补，两直线平行．
【分析】
先根据对顶角相等求得∠3的度数，进而得到∠2+∠3=180°，即可判定AB∥CD．
【详解】
证明：∵AB被直线GH所截，∠1=112°，
∴∠1=∠3=112°
∵∠2=68°，
∴∠2+∠3=180°，
∴AB∥CD，（同旁内角互补，两直线平行）
故答案为：∠3，180°，CD，同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，对顶角的性质，掌握两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行是解题的关键．
2．已知：如图：∠1=∠2，∠3+∠4= 180°；确定直线a，c的位置关系，并说明理由；

解：a c；
理由：∵∠1=∠2（ ）,
∴ a // ( )；
∵ ∠3+∠4= 180°（ ）,
∴ c // ( )；
∵ a // ,c // ,
∴ // ( )；
【答案】答案见解析
【详解】
试题分析：本题考查的是同学们对于平行线的判定的运用能力,内错角相等的两条直线平行；同旁内角互补的两条直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行.
解：a // c；
理由：∵∠1=∠2（ 已知 ）,
∴ a // b ( 内错角相等，两直线平行 )；
∵ ∠3+∠4= 180°（ 已知 ）,
∴ c // b ( 同旁内角互补， 两直线平行 )；
∵ a // b ,c // b ,
∴ a // c ( 平行于同一条直线的两条直线平行 )；
3．如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠4．试说明DF∥AE．请你完成下列填空，把证明过程补充完整．

证明：∵_________（___________）
∴∠CDA=90°，∠DAB=90°（_________）．
∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°．
又∵∠1=∠4，
∴_____（_____），
∴DF∥AE（______）．
【答案】CD⊥DA，DA⊥AB；已知；垂直定义；∠2=∠3；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【分析】
先根据垂直的定义，得到，，再根据等角的余角相等，得出，最后根据内错角相等，两直线平行进行判定即可．
【详解】
证明：∵　CD⊥DA，DA⊥AB （已知）
∴∠CDA=90°，∠DAB=90° (　垂直定义　)．
∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°．
又∵∠1=∠4，
∴∠2=∠3 (　等角的余角相等 　)，
∴DF∥AE (　内错角相等，两直线平行 　)．

故答案为：．CD⊥DA，DA⊥AB ， 已知；垂直定义；∠2=∠3 ，等角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定以及垂直的定义，解题时注意：内错角相等，两直线平行．
4．如图，已知BC平分∠ACD，且∠1＝∠2，求证：AB∥CD．

【答案】见解析
【分析】
证明∠2=∠BCD，最后再利用内错角相等，两直线平行即可证明．
【详解】
证明：∵BC平分∠ACD，
∴∠1＝∠BCD．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BCD．
∴AB∥CD．
【点睛】
本题主要考查的是平行线的判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．
5．如图，已知∠A＝∠EDF，∠C＝∠F．求证：BC∥EF．

【答案】详见解析
【分析】
由∠A=∠EDF利用“同位角相等，两直线平行”可得出AC∥DF，由“两直线平行，内错角相等”可得出∠C=∠CGF，结合∠C=∠F可得出∠CGF=∠F，再利用“内错角相等，两直线平行”即可证出BC∥EF．
【详解】
证明：∵∠A＝∠EDF（已知），
∴AC∥DE（同位角相等，两直线平行），
∴∠C＝∠CGF（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠C＝∠F（已知），
∴∠CGF＝∠F（等量代换），
∴BC∥EF（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解题的关键．
6．已知：如图，，和互余，和互余，求证：．

【答案】证明见详解
【分析】
根据题意先由∠1和∠D互余，∠2和∠D互余，得到∠1=∠2，再由已知∠C=∠1，所以得∠C=∠2，从而证得AB∥CD．
【详解】
解：证明：∵∠1和∠D互余，∠2和∠D互余，
∴∠1=∠2，
∵∠C=∠1，
∴∠C=∠2，
∴AB∥CD．
【点睛】
本题考查的知识点是平行线的判定，解题的关键是利用内错角相等两直线平行进行求证．
7．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点且∠1+∠2＝90°．求证：DE∥BC．

【答案】见解析
【分析】
依据同角的余角相等，即可得到∠3＝∠2，即可得出DE∥BC．
【详解】
解：证明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1+∠3＝90°（垂直定义）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠3＝∠2（同角的余角相等）．
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．

【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：内错角相等，两直线平行．