2021年北京市平谷区中考一模数学试卷-有答案解析

这是一份2021年北京市平谷区中考一模数学试卷-有答案解析，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共16分）
1. 下列几何体中，主视图为三角形的是
A. B.
C. D.

2. 技术融合打破时空限制， 服贸会全面上“云”，据悉本届服贸会共有境内外 家企业搭建了线上电子展台，共举办 场纯线上会议和 场线上直播会议，线上发布项目 个，发起在线洽谈 次，将 用科学记数法表示为
A. B. C. D.

3. 如图， 中，， 于点 ，则下列结论不一定成立的是
A. B. C. D.

4. 年 月 日三星堆遗址的最新考古发现又一次让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 正多边形每个内角都是 ，则它的边数为
A. B. C. D.

6. 实数 ，， 在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数 ， 满足 ，则下列结论正确的是
A. B. C. D.

7. 不透明袋子中有 个红球和 个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出 个球，恰好是红球的概率为
A. B. C. D.

8. 学习完函数的有关知识之后，强强对函数产生了浓厚的兴趣，他利用绘图软件画出函数 的图象并对该函数的性质进行了探究．下面推断正确的是
①该函数的定义域为 ；
②该函数与 轴没有交点；
③该函数与 轴交于点 ；
④若 ， 是该函数上两点，当 时，一定有 ．
A. ①②③④B. ①③C. ①②③D. ②③④

二、填空题（共8小题；共16分）
9. 若代数式 有意义，则 的取值范围是 ．

10. 分解因式： ．

11. 写出一个比 大且比 小的整数 ．

12. 化简 ．

13. 如图，在 和 中，，，只需添加一个条件即可证明 ，这个条件可以是 （写出一个即可）．

14. 《孙子算经》记载：今有 人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何?译文：今有若干人乘车，若每三人共乘一辆车，最终剩余 辆车；若每 人共乘一辆车，最终剩余 人无车可乘．问共有多少人?多少辆车?若设有 辆车，有 人，则可列方程组为 ．

15. 如图所示的网格是正方形网格，，，， 是网格线交点，则 的面积与 的面积的大小关系为： （填“”，“”或“”）．

16. 某种预防病虫害的农药即将于三月上旬喷洒，需要连续三天完成，又知当最低温度不低于 摄氏度，且昼夜温差不大于 摄氏度时药物效果最佳，为此农广站工作人员查看了三月上旬天气预报，请你结合气温图给出一条合理建议，药剂喷洒可以安排在 日开始进行．

三、解答题（共12小题；共75分）
17. 计算：．

18. 解不等式组：

19. 先化简，再求值：，求代数式 的值．

20. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）选择一个你喜欢的 值代入，并求此时方程的解．

21. 已知：如图，．
求作：，使得 ，
作法：①在射线 上取点 ，以点 为圆心， 长为半径画圆，交射线 于点 ；
②连接 ；
③以点 为圆心， 长为半径画弧，交射线 于点 ；连接 线段 就是所求作．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明
证明：
点 ， 在 上．
（填推理依据）．

．
．

22. 已知：直线 过点 ，且与双曲线 相交于点 ．
（1）求 值及直线 的解析式；
（2）画出 ， 的图象，结合图象直接写出不等式 的解集．

23. 如图， 中，， 是 的中点，连接 ，过点 作 ，过点 作 两直线相交于点 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ，，求四边形 的面积．

24. 如图，点 是 中弦 的中点，过点 作 的直径 ， 是 上一点，过点 作 的切线，与 的延长线交于 ，与 的延长线交于点 ，连接 与 交于点 ．
（1）求证：；
（2）若点 是 的中点，， 半径长为 ，求 长．

25. “十三五”时期是北京市迄今为止大气污染治理力度最大，成效最明显的五年， 年空气质量优良天数继续增加，大气主要污染中细颗粒物（）年均浓度首次实现 微克/立方米，空气质量改善取得标志性、历史性突破．下面对 年北京市的空气质量有关数据进行收集、整理、描述和分析，给出了部分信息：
a. 年北京市空气质量指数为优良级别天数变化；
b.收集了 年 月北京市 个城区的 的浓度均值（单位：微克/立方米）， 并整理如下表：
c. 年 月北京市每日的 的浓度（单位：微克/立方米）统计情况如下：
（1） 年北京市空气质量优良天数比 年增加了 天；
（2） 的值为 ； 的值为 ；
（3） 年 月北京市 个城区的 浓度值的中位数是 ；
（4）依据 年 月北京市每日的 的浓度情况统计图，若三月上旬（ 日）北京市的 的浓度平均值为 ，方差为 ，三月下旬（ 日）北京市的 的浓度平均值为 ，方差为 ，则 ， （填“”“”或“”）．

26. 已知关于 的二次函数 ．
（1）当抛物线过点 时，求抛物线的表达式，并求它与 轴的交点坐标；
（2）求这个二次函数的对称轴（用含 的式子表示）；
（3）若抛物线上存在两点 和 ，当 ， 时，总有 ，求 的取值范围．

27. 在 中，，， 是直线 上一点（点 不与点 ， 重合），连接 并延长到 ，使得 ，过点 作 ，交直线 于点 ．
（1）如图 ，当点 为线段 的上任意一点时，用等式表示线段 ，， 的数量关系，并证明；
（2）如图 ，当点 为线段 的延长线上一点时，依题意补全图 ，猜想线段 ，， 的数量关系是否发生改变，并证明；

28. 已知点 ， 分别为图形 和图形 上的任意点，若存在点 ， 使得 ，我们就称图形 ， 为友好图形，， 为关于图形 ， 的一对友好点．
（1）已知点 ，， 中， 与点 为一对友好点；
（2）已知 半径 ，若直线 与 有且只有一对友好点，求 的值；
（3）已知点 ， 半径 ，若直线 与 是友好图形，求 的取值范围．
答案
第一部分
1. A【解析】A．主视图是三角形，故此选项正确；
B．主视图是矩形，故此选项错误；
C．主视图是圆，故此选项错误；
D．主视图是矩形，故此选项错误．
2. B
3. D【解析】，，
，，
．
A．，
，故A成立，不选A；
B．，，
，故B成立，不选B；
C．，，
，故C成立，不选C；
D．，
， 不一定等于 ，故D不一定成立．
4. B
5. B
【解析】设所求正多边形边数为 ，
正 边形的每个内角都等于 ，
正 边形的每个外角都等于 ．
又 多边形的外角和为 ，
即 ，
．
6. D【解析】，
原点在 ， 的中间，
如图，
由图可得：，，．
7. A【解析】 袋子中共有 个小球，其中红球有 个，
摸出一个球是红球概率是 ．
8. C【解析】 中分母不为零，故 ，①正确；
由图象可知该函数与 轴没有交点，②正确；
令 ，，
该函数与 轴交于点 ，③正确；
当 ， 是该函数上两侧的两点时，，，故④错误．
第二部分
9.
【解析】 代数式 有意义，
，
．
故答案为 ．
10.
【解析】
故答案为 ．
11. 或
【解析】，，
比 大且比 小的整数是 或 ．
12.
【解析】
13. （答案不唯一）
【解析】在 与 中，
，，
若 ，
则由 可得 ．
14.
15.
【解析】由图易有：，，
和 同底等高，
，
．
16. 或 日（任写一个即可）
【解析】由图可知， 日、 日、 日最低温度分别是 摄氏度、 摄氏度、 摄氏度，且昼夜温差分别是 摄氏度， 摄氏度， 摄氏度，最低温度不低于 摄氏度，且昼夜温差不大于 摄氏度，可以药剂喷洒， 日、 日、 日、最低温度分别是 摄氏度、 摄氏度、 摄氏度，且昼夜温差分别是 摄氏度， 摄氏度， 摄氏度，最低温度不低于 摄氏度，且昼夜温差不大于 摄氏度，可以药剂喷洒．
故答案为： 或 ．
第三部分
17.
18.
由①得
由②得
．
19.
，
，
．
20. （1）
，
方程总有两个实数根．
（2） 当 时，方程为
解得
21. （1）
（2） 一条弧所对圆周角是它所对的圆心角的一半；
22. （1） 相交于点 ，
，
；
直线 过点 、点 ，
解得
直线 的解析式为 ．
（2） 由 得 或
直线 与双曲线 相交于点 、点 ，
可得图象如图所示：
由图象可得不等式 的解集为： 或 ．
23. （1） 过点 作 ，过点 作 ，
四边形 是平行四边形，
在 中，
， 是 中点，
，
四边形 是菱形．
（2） 连接 交 于 ，
四边形 是菱形；
，，
，
，，
，，
，，
，
．
24. （1） 连接 ．
为 直径， 为弦 的中点，
，
．
是 的切线，
．
.
，
．
．
，
，
．
（2） 连接 ．
，
．
，
，
，
在 中，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
25. （1）
【解析】由图可知 年北京市空气质量优良天数 天， 年北京市空气质量优良天数为 天．
年北京市空气质量优良天数比 年增加：（天）．
（2） ；
【解析】由 年 月北京市 个城区 的浓度均值可知 出现了 次， 出现了 次，
，；
故答案为：；．
（3）
【解析】将 个城区的 的浓度均值按照从小到大排列可得：

则中位数 ；
故答案为：．
（4） ；
【解析】 前 天大部分分布在 到 之间，后 天多分布在 到 之间，
，
前 天数据比较分散，后 天数据比较集中，
，
故答案为：；．
26. （1） 抛物线过点 ，
，
解得：，
抛物线的表达式为：，
当 时，，
与 轴的交点坐标为 ．
（2） ，
，
时，，
故对称轴为 ．
（3） 由函数表达式 可知函数开口向上，
，
，，
，
即 ．
27. （1） 结论：．
证明：过 作 于 ，
于 ，
，
，，
，
，，
，，
，
．
（2） 依题意补全图形．
结论：．
证明：过 作 交 的延长线于 ，
于 ，
，
，，
，
，，
，，
，
．
28. （1）
【解析】，，，
，
，
，
符合新定义的点是 ．
（2） 如图，
直线 与圆 相切是时，直线与圆有一个公共点，此时 ，
根据直线的特点，知道直线与坐标轴构成等腰直角三角形，
根据友好点的定义，只需将相切的直线沿着 或 向外平移一个单位长即可，
分别到达 或 点，此时 或 ，
根据平移的性质， 或 ，
根据勾股定理，得 ，
或 ．
（3） 如图，
根据题意，得 ，，
点 的坐标为 ．
由（）可知 ，
，
当 时，得 ，解得：；
同理可得，当 时，得 ，解得：．
综上所述，满足条件的 的取值范围是 ．