高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.1 随机抽样习题

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9.1随机取样
拓展练习

1. （2021高一下·咸阳期末）有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道13名同学成绩的（    ）
A.平均数
B.众数
C.中位数
D.方差

2. （2021高一下·河东期末）如图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的统计图，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，下列叙述不正确的是（    ）

A.2018年3月的销售任务是400台
B.2018年月销售任务的平均值不超过600台
C.2018年总销售量为4870台
D.2018年月销售量最大的是6月份

3. （2020高三上·河西期末）某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为6：5：7，防疫站欲对该校学生进行身体健康调查，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为n的样本，样本中高三年级的学生有21人，则n等于（    ）
A. 35                                         B. 45                                         
C. 54                                         D. 63

4. （2021高一下·唐山期末）某小区约有3000人，需对小区居民身体状况进行分层抽样调查，样本中有幼龄12人，青壮龄34人，老龄14人，则该小区老龄人数的估计值为（    ）
A.750
B.1700
C.600
D.700

5. （2021高一下·平顶山期末）设样本数据1，3， m ， n ，9的平均数为5，方差为8，则此样本的中位数为（    ）
A.3
B.4
C.5
D.6

6. （2020高二上·宝鸡期末）下列说法：
①若线性回归方程为 y=3x−5 ，则当变量x增加一个单位时，y一定增加3个单位；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不会改变；③线性回归直线方程 y=bx+a 必过点 (x,y) ；④抽签法属于简单随机抽样，而随机数表法属于系统抽样，
其中错误的说法是（    ）
A. ①③                                  B. ②③④                                  C. ①②④                                  D. ①④

7. （2021·成都一诊）甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是：
甲
0
1
0
2
2
0
3
1
2
4
乙
2
2
1
1
1
2
1
1
0
1
x1 ， x2 分别表示甲乙两组数据的平均数，S1 ， S2分别表示甲乙两组数据的方差，则下列选项正确的是(    )
A. x1 = x2 ，S1>S2            B. x1 > x2 ，S1>S2            C. x1 < x2 ，S1>S2            D. x1 > x2 ，S1
8. （2021高三上·广西月考）为了解学生数学能力水平，某市A､B､C､D四所初中分别有200，180，100，120名初三学生参加此次数学调研考试，现制定以下两种卷面分析方案：方案①：C校参加调研考试的学生中有30名数学培优生，从这些培优生的试卷中抽取10份试卷进行分析；方案②：从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析.完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是（    ）
A. 分层抽样法､系统抽样法                                      B. 分层抽样法､简单随机抽样法
C. 系统抽样法､分层抽样法                                      D. 简单随机抽样法､分层抽样法

9. （2021高二下·临沂期末）下列说法正确的是（    ）
A.残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高
B.样本相关系数 r 越大，成对样本数据的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
C.甲、乙两个模型的决定系数 R2 分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好
D.若样本 x1 ， x2 ， x3 ，…， x10 的平均数为5，方差为1，则样本 2x1+1 ， 2x2+1 ， 2x3+1 ，…， 2x10+1 的平均数为11，方差为2

10. （2021·重庆模拟）已知一组数据1，2，a ， b ， 5，8的平均数和中位数均为4，其中 a,b∈N∗ ，在去掉其中的一个最大数后，该组数据的（    ）
A. 平均数不变                        B. 中位数不变                        
C. 众数不变                        D. 标准差不变

11. （2021高一下·宁波期末）某学校有男生400人，女生600人．为调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为0.5．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（    ）．
A. 0.45                                      B. 0.62                                      C. 0.7                                      D. 0.76

12. （2021高三上·平顶山月考）从某高中2021名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样方法从2021名学生中剔除21名，再从余下的2000名学生中随机抽取50名.则其中学生丙被选取和被剔除的概率分别是（    ）
A. 140 ， 212021                 B. 502021 ， 212021                
 C. 140 ， 212000                 D. 212000 ， 502021

13. （2021高一下·南平期末）设样本数据 x1 、 x2 、 ⋯ 、 x2021 的平均数为 x ，标准差为 s ，若数据 2x1+1 、 2x2+1 、 ⋯ 、 2x2021+1 的平均数比标准差大 5 ，则 x2+s 的最小值为（    ）
A.−94 B.−1716 C.6316 D.4

14. （2021高一下·商丘月考）一年内，某单位组织员工进行了六次业务知识考试．一员工将其六次成绩绘成如图所示的茎叶统计图，其中第五次考试成绩以 a 表示．若该员工成绩的中位数是93，则该员工六次业务知识考试成绩的方差是（    ）
879927a9
A. 1036                                      B. 1076                                      
C. 503                                      D. 533

15. （2021高一下·三明期末）若某同学连续3次考试的名次（3次考试均没有出现并列名次的情况）不低于第3名，则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是（    ）
A.甲同学：平均数为2，方差小于1
B.乙同学：平均数为2，众数为1
C.丙同学：中位数为2，众数为2
D.丁同学：众数为2，方差大于1

16. （2021高一下·天津期末）某校选修轮滑课程的学生中，一年级有20人，二年级有30人，三年级有20人.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了4人，则这个样本中共有      人.

17. （2021高一下·信阳期末）一组数据 x1 ， x1 ，…， xn ，的平均数为7，则数据 3x1−4 ， 3x2−4 ，…， 3xn−4 的平均数为       ．

18. （2021高一下·南开期末）某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是      分．

19. （2021·普陀模拟）在某次数学测验中，6位学生的成绩如下：78，85，a，82，69，80，他们得平均成绩为80，他们成绩的中位数为      .

20. （2021高二下·潍坊期末）某地区为调查该地的居民月用水量，调查了本地的10户居民的月平均用水量为：2.0，3.2，4.5，5.3，6.0，7.6，8.0，9.2，10.0，11.6，这组数据的80%分位数为       ．

21. （2021高一下·越秀期末）为了解学生的课外阅读情况，某校采用样本量比例分配的分层随机抽样对高中三个年级的学生进行平均每周课外阅读时间（单位：小时）的调查，所得样本数据如下：
年级
抽样人数
样本平均数
样本方差
高一
40
5
3.5
高二
30
x2
2
高三
30
3
S32
已知高中三个年级学生的总样本平均数为4.1，总样本方差为3.14，则高二年级学生的样本平均数 x2=        ， 高三年级学生的样本方差 S32=       .

22. （2021高一下·绍兴期末）已知一组数据：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则该组数据的众数是       ．

23. （2021高一下·通州期末）在一次文艺比赛中，12名专业人土和12名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一选手的打分：
小组A    42  45  48  46  52  47  49  55  42  51  47  45
小组B    55  36  70  66  75  49  46  68  42  62  58  47
B小组的第75百分位数是      ；从评委打分相似性上看更像专业人士组成的小组是       ．

24. （2021高一下·太原期末）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为       ．



练习答案

1. 【答案】 C
【考点】众数、中位数、平均数
【解析】把13名同学成绩按由大到小排列，取成绩靠前的6个成绩进入决赛，即最中间一个数之前的6个成绩进入决赛，13个成绩按由大到小排列时，最中间一个数即是中位数。
故答案为：C。
【分析】利用已知条件结合中位数的定义，从而找出正确的选项。
2. 【答案】 D
【考点】众数、中位数、平均数，随机抽样和样本估计总体的实际应用
【解析】解：A．根据图像得2018年3月的销售任务是400台，因此A正确，不符合题意．
B．2018年月销售任务的平均值为 100+200+300×3+400×3+500+700+800+100012=450<600 ，
B正确，不符合题意；
C．2018年总销售量 =300×50%+200×100%+400×120%+500×110%+800×100%+ 1000×70%+700×80%+400×90%+300×150%+400×90%+100×80%+300×60%=4870 台，因此C正确，不符合题意，
D．2018年月销售量5月份是800台，6月份是 1000×70%=700 台，因此2018年月销售量最大的是5月份，D错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合折线图中的数据，再结合统计的方法结合平均数公式，从而选出叙述不正确的选项。
3. 【答案】 C
【考点】分层抽样方法
【解析】解：∵某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6：5：7，
∴高三年级学生的数量占总数的 718 ，
∵分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本，若已知高三年级被抽到的人数为21人，∴n＝21 ÷718= 54，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合分层抽样的方法，从而求出n的值。
4. 【答案】 D
【考点】分层抽样方法
【解析】解：根据题意，样本容量为 12+34+14=60 人，
所以样本抽样比为 603000=150 ，
所以该小区老龄人数约为 14÷150=700 人.
故答案为：D
【分析】 利用分层抽样的比例关系列式求解，可得答案。
5. 【答案】 C
【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差
【解析】解:由题知 x=15(1+3+m+n+9)=5 ，
s2=15[(1−5)2+(3−5)2+(m−5)2+(n−5)2+(9−5)2]=8 ，
整理得： m+n=12 ， (m−5)2+(n−5)2=4 ，
进而解方程得： {m=5n=7 或 {m=7n=5
所以该样本数据1，3，5，7，9，中位数为5
故答案为：C
【分析】 根据已知条件，结合平均数和方差公式，即可求解.
6. 【答案】 D
【考点】简单随机抽样，极差、方差与标准差，线性回归方程
【解析】对于①，回归方程中，变量x增加1个单位时，y平均增加3个单位，不是一定增加，所以①错误；
对于②，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，所以②正确；
对于③，线性回归方程必经过样本中心点，所以③正确；
对于④，抽签法和随机数表法属于简单随机抽样，所以④错误.
故答案为：D
【分析】由线性回归直线方程的特点可判断①；由方差的定义和性质可判断②；由线性回归直线必过样本中心可判断③；由简单随机抽样的两种类型可判断④。
7. 【答案】 B
【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差
【解析】x1 = 1+2+2+3+1+2+410 =1.5，
x2 = 2+2+1+1+1+2+1+1+110 =1.2，
∴ x1 > x2
由表可知，甲的数据相对分散，乙的数据相对集中，故S1>S2 ，
故答案为：B
【分析】利用平均数和方差的定义分别求出甲乙两台机床同时生产一种零件的平均数和方差即可得到答案。
8. 【答案】 D
【考点】简单随机抽样，分层抽样方法，系统抽样方法
【解析】方案①中的学生都是培优生，差别不大，且人数不多，宜采用简单随机抽样，
方案②的学生比较多，且来自4所不同的学校，差别较大，宜采用分层抽样，
故答案为：D
【分析】 由简单随机抽样,分层抽样,系统抽样的概念，结合实际问题,直接判断即可.
9. 【答案】 C
【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差，两个变量的线性相关
【解析】对于A：残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低，A不符合题意；
对于B：样本相关系数 r 绝对值越小，成对样本数据的线性相关性越弱；反之，线性相关性越强，B不符合题意；
对于C：甲、乙两个模型的决定系数R2分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好，C符合题意；
对于D：若样本 x1 ， x2 ， x3 ，…， x10 的平均数为5，方差为1，则样本 2x1+1 ， 2x2+1 ， 2x3+1 ，…， 2x10+1 的平均数为11，方差为4，
故答案为：C.
【分析】 直接利用残差分析的应用，相关系数和相关性的关系,相关系数的关系的应用，均值和方差的值的关系判断A、B、C、D的结论.
10. 【答案】 C
【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差
【解析】由平均数为4知， a+b=8 ，由中位数为4，则 a=b=4 或 a=3,b=5 ，去掉最大数8后，根据平均数与标准差的意义，知平均数和标准差均变小，中位数可能是4，也可能是3，当 a=b=4 时，众数与原来一致，都为4，当 a=3,b=5 时，众数也与原来一致，都为5。
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合平均数和中位数、众数、标准差的公式，进而找出正确的选项。
11. 【答案】 D
【考点】分层抽样方法，众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差
【解析】解：由题意得样本总体的均值为4001000×7.5+6001000×7=7.2小时，
而根据分层抽样的性质，可得总体方差为4001000×1+7.5−7.22+6001000×0.5+7.2−72=0.436+0.324=0.76
故答案为：D
【分析】根据样本总体的均值，方差，结合分层抽样的性质求解即可.
12. 【答案】 B
【考点】简单随机抽样，古典概型及其概率计算公式
【解析】由已知丙被剔除的概率是 P1=212021 ，
那么丙不被剔除的概率是 P2=1−212021=20002021 ，
只有在丙不被剔除的情况下，丙才可能被抽取，因此概率为 P=502000×20002021=502021 ．
故答案为：B．
【分析】根据已知条件，结合系统抽样的定义，求出丙被剔除的概率，进而求出答案。
13. 【答案】 D
【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差
【解析】由已知条件可得 x=x1+x2+⋯+x20212021 ， s2=(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x2021−x)22021 ，
则数据 2x1+1 、 2x2+1 、 ⋯ 、 2x2021+1 的平均数为 x'=(2x1+1)+(2x2+1)+⋯+(2x2021+1)2021=2(x1+x2+⋯+x2021)2021+1=2x+1 ，
方差为 s'2=[(2x1+1)−(2x+1)]2+[(2x2+1)−(2x+1)]2+⋯+[(2x2021+1)−(2x+1)]22021
=4[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x2021−x)2]2021=4s2 ，
由已知可得 (2x+1)−2s=2x−2s+1=5 ，所以， x=2+s ，其中 s≥0 ，∴x2+s=(s+2)2+s=s2+5s+4≥4 ，
故答案为：D.
【分析】 根据题意，建立平均数与方差的等量关系，进而得到 x2+s 关于s的函数关系，求解最值即可.
14. 【答案】 D
【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差
【解析】∵ 该员工成绩的中位数是 93 ， ∴92+90+a2=93 ，解得： a=4 ．
∴x=87+89+92+97+94+996=93 ，
∴ 该员工六次业务知识考试成绩的方差： s2=16[(87−93)2+(89−93)2+ (92−93)2+(97−93)2+(94−93)2 +(99−93)2]=1066=533 ．
故答案为：D.
【分析】根据中位数计算，可得a，求得平均数后，由方差的计算公式计算可得结果。
15. 【答案】 A
【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差
【解析】对于甲同学，平均数为2，方差小于1，设甲同学三次考试的名次分别为 x1 、 x2 、 x3 ，
若 x1 、 x2 、 x3 中至少有一个大于等于4，则方差为 s2=13[(x1−2)2+(x2−2)2+(x3−2)2]≥43 ，与已知条件矛盾，
所以， x1 、 x2 、 x3 均不大于3，满足题意；
对于乙同学，平均数为2，众数为1，则三次考试的成绩的名次为1、1、4，
即必有一次考试为第4名，不满足题意；
对于丙同学，中位数为2，众数为2，可举反例：2、2、4，不满足题意；
对于丁同学，众数为2，方差大于1，可举特例： 2、2、5，则平均数为3，
方差为 s2=13[2×(2−3)2+(5−3)2]=2>1 ，不满足条件.
故答案为：A.
【分析】根据定义，结合各组的情况，举出特例排除错误选项，对正确选项计算即可作出判断。
16. 【答案】 14
【考点】分层抽样方法
【解析】设这个样本中共有 n 个人，则 420=n70 ，解得 n=14 。
故答案为：14。
【分析】利用已知条件结合分层抽样的方法，从而求出这个样本中共有的人数。
17. 【答案】 17
【考点】众数、中位数、平均数
【解析】由题意，一组数据 x1 ， x1 ，…， xn ，的平均数为7，即 x=7 ，
则数据 3x1−4 ， 3x2−4 ，…， 3xn−4 的平均数为 3×7−4=17 ．
故答案为：17.
【分析】利用平均数的性质直接求解。
18. 【答案】 85
【考点】众数、中位数、平均数
【解析】甲班有40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，
算得甲班的平均成绩是90分，
乙班的平均成绩是81分，
该校数学建模兴趣班的平均成绩是 40×90+50×8190 =85分。
【分析】利用已知条件结合平均数公式，从而求出该校数学建模兴趣班的平均成绩。
19. 【答案】 81
【考点】众数、中位数、平均数
【解析】解：因为6位学生的成绩如下：78，85，a，82，69，80，他们得平均成绩为80，
所以78+85+a+82+69+80=6×80，解得a=86，
则将6位学生的成绩从小到大排列为：69，78，80，82，85，86，
所以他们成绩的中位数为 12×(80+82)=81 。
故答案为：81。
【分析】利用已知条件结合平均数公式，从而求出a的值，再利用中位数的公式，从而求出6位学生成绩的中位数。
20. 【答案】 9.6
【考点】众数、中位数、平均数
【解析】因为 10×80%=8 ，所以这组数据的80%分位数为 9.2+10.02=9.6
故答案为：9.6
【分析】 百分位数的定义知这组数据的80%分位数是从小到大排序后的第8、9个数的平均数.
21. 【答案】 4；1.5
【考点】分层抽样方法，众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差
【解析】解:由高中三个年级学生的总样本平均数为4.1,
可得 40×5+30⋅x2+30×340+30+30=4.1 ,
解得 x2=4 ;
因为总样本方差为3.14,
所以
40100×[3.5+(5−4.1)2]+30100×[2+(4−4.1)2]+30100×[S32+(3−4.1)2]=3.14 ,解得 S32=1.5 .
故答案为:4;1.5.
【分析】 利用平均数与方差的计算公式列方程求解即可.
22. 【答案】 17
【考点】众数、中位数、平均数
【解析】解：根据众数的定义易知该组数据的众数是：17
故答案为：17
【分析】根据众数的定义直接求解即可
23. 【答案】 67；A
【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差
【解析】将小组B的数据进行排序得到： 36,42,46,47,49,55,58,62,66,68,70,75 ，
12×75%=9 ，B小组的第75百分位数是 66+682=67 .
XA=112( 42+45+48+46+52+47+49+55+42+51+47+45)≈47 ，
sA2=112[(42−47)2+(45−47)2+⋅⋅⋅+(45−47)2]≈17.08 .
XB=112( 55+36+70+66+75+49+46+68+42+62+58+47)≈56
sB2=112[(55−56)2+(36−56)2+⋅⋅⋅+(47−56)2]≈139 .
sA2 故答案为：67；A.
【分析】 根据题意将B小组的分数进行升序排序，取第9个和第10个的平均值，即为小组的第75百分位数，分别求出A，B两组的方差，即可确定那组评委为专业人士组成，即可求解.
24. 【答案】 15
【考点】分层抽样方法
【解析】设样本容量为x人， 7x=350750,∴x=15
【分析】 根据分层抽样的定义和方法,先求出每个个体被抽到的概率，再根据用样本容量除以个体总数得到的值就等于每个个体被抽到的概率，由此求得样本容量.