初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试同步测试题

这是一份初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试同步测试题，共30页。
沪科版九年级数学下册第24章圆月考 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则可以为（    ）A．30° B．60°C．90° D．120°2、等边三角形、等腰三角形、矩形、菱形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（      ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3、如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为（    ）A．22.5° B．45° C．90° D．67.5°4、如图，在中，，，若以点为圆心，的长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（    ）A． B． C． D．5、图2是由图1经过某一种图形的运动得到的，这种图形的运动是（    ）A．平移 B．翻折 C．旋转 D．以上三种都不对6、下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）A． B． C． D．7、平面直角坐标系中点关于原点对称的点的坐标是（    ）A． B． C． D．8、随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徵和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）A．  B． C．  D．9、如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（    ）A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断10、在半径为6cm的圆中，的圆心角所对弧的弧长是（    ）A．cm B．cm C．cm D．cm第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在⊙O中，＝，AB＝10，BC＝12，D是上一点，CD＝5，则AD的长为______．2、 “化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一，即：求作一个正方形，使其面积等于给定圆的面积．这个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的．如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：已知：⊙O（纸片），其半径为．求作：一个正方形，使其面积等于⊙O的面积．作法：①如图1，取⊙O的直径，作射线，过点作的垂线；②如图2，以点为圆心，为半径画弧交直线于点；③将纸片⊙O沿着直线向右无滑动地滚动半周，使点，分别落在对应的，处；④取的中点，以点为圆心，为半径画半圆，交射线于点；⑤以为边作正方形．正方形即为所求．根据上述作图步骤，完成下列填空：（1）由①可知，直线为⊙O的切线，其依据是________________________________．（2）由②③可知，，，则_____________，____________（用含的代数式表示）．（3）连接，在Rt中，根据，可计算得_________（用含的代数式表示）．由此可得．3、已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是______．4、如图，半圆O中，直径AB＝30，弦CD∥AB，长为6π，则由与AC，AD围成的阴影部分面积为_______．5、到点的距离等于8厘米的点的轨迹是__．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，半径OD弦BC．（1）求证：弧AD=弧CD；（2）连接AC、BD相交于点F，AC与OD相交于点E，连接CD，若⊙O的半径为5，BC=6，求CD和EF的长．2、请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al-Binmi （973-1050 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi详本出版了俄文版《阿基米德全集》．第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），， 是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．证明：如图2，在上截取，连接和．是的中点，…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明部分；（2）填空：如图3，已知等边内接于，，为上一点，，于点，则的周长是_________．3、定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A＝∠O．已知：如图2，AC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO于点E，联结OD，⊙O的半径为5，tan∠OAC＝．（1）求弦AC的长．（2）当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值．（3）当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）．4、如图，为的直径，为的切线，弦，直线交的延长线于点，连接．求证：（1）；（2）．5、如图，点A是外一点，过点A作出的一条切线．（使用尺规作图，作出一条即可，不要求写出作法，不要求证明，但要保留作图痕迹） -参考答案-一、单选题1、B【分析】由题意依据每次旋转相同角度，旋转了六次，且旋转了六次刚好旋转了一周为360°进行分析即可得出答案.【详解】解：因为每次旋转相同角度，旋转了六次，且旋转了六次刚好旋转了一周为360°，所以每次旋转相同角度 .故选：B.【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是能够找到旋转中心，从而确定旋转角的度数．2、A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断．【详解】解：矩形，菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；等边三角形、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；共2个既是轴对称图形又是中心对称图形．故选：A．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（2）如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．3、B【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得．【详解】解：∵，∴，∴，故选：B．【点睛】题目主要考查圆周角定理，准确理解，熟练运用圆周角定理是解题关键．4、D【分析】连接CD，由直角三角形斜边中线定理可得CD=BD，然后可得△CDB是等边三角形，则有BD=BC=5cm，进而根据勾股定理可求解．【详解】解：连接CD，如图所示：∵点D是AB的中点，，，∴，∵，∴，在Rt△ACB中，由勾股定理可得；故选D．【点睛】本题主要考查圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．5、C【详解】解：根据图形可知，这种图形的运动是旋转而得到的，故选：C．【点睛】本题考查了图形的旋转，熟记图形的旋转的定义（把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转）是解题关键．6、C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7、B【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．【详解】解：平面直角坐标系中点关于原点对称的点的坐标是故选B【点睛】本题考查了关于原点对称的点的特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．8、C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．9、B【分析】根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断．【详解】解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心．故选：B．【点睛】本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键．10、C【分析】直接根据题意及弧长公式可直接进行求解．【详解】解：由题意得：的圆心角所对弧的弧长是；故选C．【点睛】本题主要考查弧长计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．二、填空题1、3【分析】过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F，根据圆周角定理可得∠ACB=∠B=∠D，AB=AC=10，再由等腰三角形的性质可知BE=CE=6，根据相似三角形的判定证明△ABE∽△CDF，由相似三角形的性质和勾股定理分别求得AE、DF、CF， AF即可求解．【详解】解：过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F，则∠AEB=∠CFD=90°，∵＝， AB＝10，∴∠ACB=∠B=∠D，AB=AC=10，∵AE⊥BC，BC=12，∴BE=CE=6，  ∴，∵∠B=∠D，∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE∽△CDF，∴，∵AB=10，CD=5，BE=6，AE=8，∴，解得：DF=3，CF=4，在Rt△AFC中，∠AFC=90°，AC=10，CF=4，则，∴AD=DF+AF=3＋2，故答案为：3＋2．【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解答的关键．2、（1）经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2），；（3） 【分析】（1）根据切线的定义判断即可．（2）由=AC+，计算即可；根据计算即可．（3）根据勾股定理，得即为正方形的面积，比较与圆的面积的大小关机即可．【详解】解：（1）∵⊙O的直径，作射线，过点作的垂线，∴经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；故答案为：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线； （2）根据题意，得AC=r，==πr，∴=AC+=r+πr，∴=；∵，∴MA=-r=，故答案为：，；                                （3）如图，连接ME，根据勾股定理，得==； 故答案为：．【点睛】本题考查了圆的切线的定义，勾股定理，圆的周长，正方形的面积和性质，熟练掌握圆的切线的定义，勾股定理，正方形的性质是解题的关键．3、六【分析】设这个正多边形的边数为n，根据题意可知OA=OB=AB，则△OAB是等边三角形，得到∠AOB=60°，则，由此即可得到答案．【详解】解：设这个正多边形的边数为n，∵正多边形的半径与边长相等，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴，∴，∴正多边形的边数是六，故答案为：六．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．4、45【分析】连接OC，OD，根据同底等高可知S△ACD=S△OCD，把阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式S=来求解．【详解】解：连接OC，OD，∵直径AB=30，∴OC=OD=，∴CD∥AB，∴S△ACD=S△OCD，∵长为6π，∴阴影部分的面积为S阴影=S扇形OCD=，故答案为：45π．【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解阴影部分的面积=扇形COD的面积是解题的关键．5、以点为圆心，8厘米长为半径的圆【分析】由题意直接根据圆的定义进行分析即可解答．【详解】到点的距离等于8厘米的点的轨迹是：以点为圆心，2厘米长为半径的圆．故答案为：以点为圆心，8厘米长为半径的圆．【点睛】本题主要考查了圆的定义，正确理解定义是关键，注意掌握圆的定义是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合．三、解答题1、（1）见解析；（2）CD=，EF=1．【分析】（1）连接OC，根据圆的性质，得到OB=OC；根据等腰三角形的性质，得到；根据平行线的性质，得到；在同圆和等圆中，根据相等的圆心解所对的弧等即得证．（2）根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB=90°，根据平行线的性质求得∠AEO=∠ACB=90°，利用勾股定理求出AC=8，根据垂径定理求得EC=AE=4，根据中位线定理求出OE，在Rt△CDE中，根据勾股定理求出CD，因为，所以△EDF∽△BCF，最后根据似的性质，列方程求解即可．【详解】（1）解：连结OC．∵∴∠1=∠B∠2=∠C∵OB =OC∴∠B=∠C∴∠1=∠2∴弧AD=弧CD（2）∵AB是的直径∴∠ACB=90°∵∴∠AEO=∠ACB=90°Rt△ABC中，∠ACB=90°，∵BC=6，AB=10 ∴AC=8∵半径OD⊥AC于E ∴EC=AE=4  OE=∴ED=2  由勾股定理得，CD=∵∴△EDF∽△CBF∴设EF=x，则FC=4-x∴EF=1，经检验符合题意.【点睛】本题考查了圆的综合题，圆的有关性质：圆的半径相等；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧等；直径所对的圆周角是直角；垂径定理；平行线的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质等知识，正确理解圆的相关性质是解题的关键．2、（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可得出答案；（2）首先证明，进而得出，以及，进而求出的长即可得出答案．（1）证明：如图2，在上截取，连接，，和．是的中点，．在和中，，，又，，；（2）解：如图3，截取，连接，，，由题意可得：，∵∴，在和中，，，，，则，，，∵，∴则 故答案为：．【点睛】此题主要考查了圆与三角形综合，涉及了圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．3、（1）8（2）（3）或．【分析】（1）过点O作OH⊥AC于点H，由垂径定理可得AH＝CH＝AC，由锐角三角函数和勾股定理可求解；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求AG，EG，CG的长，即可求解；（3）分两种情况讨论，由相似三角形和勾股定理可求解．（1）如图2，过点O作OH⊥AC于点H，由垂径定理得：AH＝CH＝AC，在Rt△OAH中，，∴设OH＝3x，AH＝4x，∵OH2+AH2＝OA2，∴（3x）2+（4x）2＝52，解得：x＝±1，（x＝﹣1舍去），∴OH＝3，AH＝4，∴AC＝2AH＝8；（2）如图2，过点O作OH⊥AC于H，过E作EG⊥AC于G，∵∠DEO＝∠AEC，∴当△DOE与△AEC相似时可得：∠DOE＝∠A或者∠DOE＝∠ACD；，∴∠ACD≠∠DOE∴当△DOE与△AEC相似时，不存在∠DOE＝∠ACD情况，∴当△DOE与△AEC相似时，∠DOE＝∠A，∴OD∥AC，∴，∵OD＝OA＝5，AC＝8，∴，∴，∵∠AGE＝∠AHO＝90°，∴GE∥OH，∴△AEG∽△AOH，∴，∴，∴，∴，，在Rt△CEG中，；（3）当点E在线段OA上时，如图3，过点E作EG⊥AC于G，过点O作OH⊥AC于H，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，由（1）可得 OH＝3，AH＝4，AC＝8，∵OE＝1，∴AE＝4，ME＝6，∵EG∥OH，∴△AEG∽△AOH，∴，∴AG＝，EG＝，∴GC＝，∴EC＝＝＝，∵AM是直径，∴∠ADM＝90°＝∠EGC，又∵∠M＝∠C，  ∴△EGC∽△ADM，∴，∴，∴AD＝2；当点E在线段AO的延长线上时，如图4，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，过点E作EG⊥AC于G，同理可求EG＝，AG＝，AE＝6，GC＝，∴EC＝＝＝，∵AM是直径，∴∠ADM＝90°＝∠EGC，又∵∠M＝∠C，∴△EGC∽△ADM，  ∴，∴，∴AD＝，综上所述：AD的长是或【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，求角的正切值，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，正切的作出辅助线是解题的关键．4、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接，根据，可证．从而可得，，即可证明，故；（2）证明，可得，即可证明．【详解】证明：（1）连接，如图：∵为的直径，为的切线，∴，∵，∴，．∵，∴，∴．在和中，，∴，∴，∵为的直径，∴，即，∴，∵，∴，  ∴，即，∵，∴；（2）由（1）知：，又∵，∴，∴，∴，  ∵，∴．【点睛】本题考查圆中的相似三角形判定与性质，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是证明，从而得到．5、见解析【分析】先作线段的垂直平分线．确定的中点，再以中点为圆心，一半为半径作圆交于点，然后作直线，则根据圆周角定理可得为所求．【详解】如图，直线AB就是所求作的，（作法不唯一，作出一条即可，需要有作图痕迹）【点睛】本题考查了作图复杂作图，解题的关键是掌握复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．