2020-2021学年第四章 牛顿运动定律综合与测试学案

这是一份2020-2021学年第四章 牛顿运动定律综合与测试学案，共14页。学案主要包含了题后反思，加固训练等内容，欢迎下载使用。


知识点一 瞬时加速度问题
1.两类模型：
（1）刚性绳（或接触面）——不发生明显形变就能产生弹力的物体，剪断（或脱离）后，其弹力立即消失，不需要形变恢复时间。
（2）弹簧（或橡皮绳）——两端同时连接（或附着）有物体的弹簧（或橡皮绳），特点是形变量大，其形变恢复需要较长时间，在瞬时性问题中，其弹力的大小往往可以看成保持不变。
2.受力条件变化时瞬时加速度的求解思路：
（1）分析原状态（给定状态）下物体的受力情况，求出各力大小（若物体处于平衡状态，则利用平衡条件；若处于加速状态则利用牛顿运动定律）。
（2）分析当状态变化时（烧断细绳、剪断弹簧、抽出木板、撤去某个力等），哪些力变化，哪些力不变，哪些力消失（被烧断的绳的拉力、弹簧中的弹力、发生在被撤去物体接触面上的弹力都立即消失）。
（3）求物体在状态变化后所受的合外力，利用牛顿第二定律求出瞬时加速度。
质量分别为m和2m的A和B两球用轻弹簧连接，A球用细线悬挂起来，两球均处于静止状态，如果将悬挂A球的细线剪断，此时A和B两球的瞬时加速度aA、aB的大小分别是多少？
提示：aA＝3g，aB＝0
【典例】如图所示，质量为m的小球被水平绳AO和与竖直方向成θ角的轻弹簧系着处于静止状态，现将绳AO烧断，在烧断绳AO的瞬间，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的拉力F＝ eq \f(mg,cs θ)
B．弹簧的拉力F＝mg sin θ
C．小球的加速度为零
D．小球的加速度a＝g sin θ
【解析】选A。
烧断AO之前，小球受3个力，受力分析如图所示，此时轻弹簧弹力F＝ eq \f(mg,cs θ) ，烧断绳的瞬间，绳的张力没有了，但由于轻弹簧形变的恢复需要时间，故烧断AO瞬间弹簧的弹力不变，A正确，B错误。烧断绳的瞬间，小球受到的合力与烧断AO前绳的拉力等大反向，即F合＝mg tan θ，则小球的加速度a＝g tan θ，C、D错误。
【题后反思】抓住“两关键”、遵循“四步骤”
（1）分析瞬时加速度的“两个关键”：
①明确绳或线类、弹簧或橡皮条类模型的特点；
②分析瞬时前、后的受力情况和运动状态。
（2）“四个步骤”：
第一步：分析原来物体的受力情况；
第二步：分析物体在突变时的受力情况；
第三步：由牛顿第二定律列方程；
第四步：求出瞬时加速度，并讨论其合理性。
1.（2021·金昌高一检测）如图所示，质量相等的三个物体A、B、C，A与天花板之间、B与C之间均用轻弹簧相连，A与B之间用细线相连，当系统静止后，突然剪断A、B间的细线，则此瞬间A、B、C的加速度分别为（取竖直向下为正方向）（ ）
A．－g、2g、0 B．－2g、2g、0
C．－2g、2g、g D．－2g、g、g
【解析】选B。剪断细线前，对B、C整体受力分析，整体受到的重力和细线的拉力平衡，故FT＝2mg，再对物体A受力分析，其受到重力、细线拉力和轻弹簧的弹力；剪断细线后，三个物体的重力和轻弹簧的弹力不变，细线的拉力变为零，故物体B受到的合力等于2mg，方向竖直向下，物体A受到的合力为2mg，方向竖直向上，物体C受到的力不变，合力为零，故物体B有方向竖直向下的大小为2g的加速度，物体A具有方向竖直向上的大小为2g的加速度，物体C的加速度为0，因取竖直向下为正方向，故选项B正确。
2.如图所示，在倾角为θ＝30°的光滑斜面上，物块A、B质量均为m。物块A静止在轻弹簧上端，物块B用细线与斜面顶端相连，A、B靠在一起，但A、B之间无弹力。已知重力加速度为g，某时刻将细线剪断，下列说法正确的是（ ）
A．细线剪断前，弹簧的弹力为mg
B．细线剪断前，细线的拉力为mg
C．细线剪断瞬间，弹簧的弹力发生变化
D．细线剪断瞬间，物块B的加速度大小为 eq \f(1,4) g
【解析】选D。剪断细线前，由于A、B之间无弹力，对A分析可以得到弹簧的弹力：F＝mg sin θ＝ eq \f(1,2) mg，故A错误；剪断细线前，由于A、B之间无弹力，对A分析可以得到T＝mg sin θ＝ eq \f(1,2) mg，故B错误；细线剪断瞬间，弹簧的弹力不变，故C错误；剪断细线瞬间，对A、B系统，加速度：a＝ eq \f(2mg sin θ－F,2m) ＝ eq \f(1,4) g，故D正确。
【加固训练】
1.（多选）质量均为m的A、B两个小球之间连接一个质量不计的弹簧，放在光滑的台面上。A球紧靠墙壁，如图所示，今用恒力F将B球向左挤压弹簧，达到平衡时，突然将力撤去，此瞬间（ ）
A．A球的加速度为 eq \f(F,2m) B．A球的加速度为0
C．B球的加速度为 eq \f(F,2m) D．B球的加速度为 eq \f(F,m)
【解析】选B、D。撤去恒力F前，A和B都平衡，它们的合力都为0，且弹簧弹力为F。突然将力F撤去，对A来说水平方向依然受弹簧弹力和墙壁的弹力，二力平衡，所以A球的合力为0，加速度为0，A错误，B正确；而B球在水平方向只受水平向右的弹簧的弹力作用，加速度a＝ eq \f(F,m) ，故C错误，D正确。
2.如图所示，吊篮A、物体B、物体C的质量均为m，B和C分别固定在竖直弹簧两端，弹簧的质量不计。整个系统在轻绳悬挂下处于静止状态。现将悬挂吊篮的轻绳剪断，在轻绳刚断的瞬间（ ）
A．物体B的加速度大小为g
B．物体C的加速度大小为2g
C．吊篮A的加速度大小为3g
D．A、C间的弹力大小为0.5mg
【解析】选D。弹簧开始的弹力F＝mg，剪断细线的瞬间，弹簧弹力不变，B的合力仍然为零，则B的加速度为0，A错误；剪断细线的瞬间，弹力不变，将C和A看成一个整体，根据牛顿第二定律得，aAC＝ eq \f(F＋2mg,2m) ＝ eq \f(mg＋2mg,2m) ＝1.5g，即A、C的加速度均为1.5g，B、C错误；剪断细线的瞬间，A受到重力和C对A的作用力，对A：FC＋mg＝ma。得：FC＝ma－mg＝0.5mg，D正确。
知识点二 连接体问题
1.连接体：两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同加速度的整体叫连接体。如几个物体叠放在一起，或并排挤放在一起，或用绳子、细杆等连在一起。如：
（1）用细线连接的物体系。
（2）相互挤压在一起的物体系。
（3）用弹簧连接的物体系。
2.处理连接体问题的方法：
说明：有些题目既可用“整体法”，也可用“隔离法”，还有些题目则需要交替运用“整体法”与“隔离法”。
在F作用下M、m一起匀速运动，M受到地面的摩擦力为多大？m与M之间的摩擦力为多大？
提示：由于整体做匀速直线运动，处于平衡状态，由整体法得到F＝Ff，隔离m得到fm＝mg sin θ。
【典例】（2020·江苏高考）中欧班列在欧亚大陆开辟了“生命之路”，为国际抗疫贡献了中国力量。某运送防疫物资的班列由40节质量相等的车厢组成，在车头牵引下，列车沿平直轨道匀加速行驶时，第2节对第3节车厢的牵引力为F。若每节车厢所受摩擦力、空气阻力均相等，则倒数第3节对倒数第2节车厢的牵引力为（ ）
A．F B． eq \f(19F,20) C． eq \f(F,19) D． eq \f(F,20)
【解析】选C。根据题意可知第2节车厢对第3节车厢的牵引力为F，因为每节车厢质量相等，阻力相同，以后面38节车厢为研究对象，根据牛顿第二定律有F－38f＝38ma。设倒数第3节车厢对倒数第2节车厢的牵引力为F1，以最后两节车厢为研究对象，根据牛顿第二定律有F1－2f＝2ma，联立解得F1＝ eq \f(F,19) 。故选C。
【题后反思】
1.当物体各部分加速度相同且不涉及求内力的情况，用整体法比较简单；
2.若涉及物体间相互作用力时，必须用隔离法。整体法与隔离法在较为复杂的问题中常常需要结合起来运用，这将会更快捷有效。
1.如图所示，质量为m1和m2的两物块放在光滑的水平地面上。用轻质弹簧将两物块连接在一起。当用水平力F作用在m1上时，两物块均以加速度a做匀加速运动，此时，弹簧伸长量为x；若用水平力F′作用在m1上时，两物块均以加速度a′＝2a做匀加速运动，此时弹簧伸长量为x′。则下列关系正确的是（ ）
A．F′＝2F B．x′>2x C．F′>2F D．x′<2x
【解析】选A。把两个物块看作整体，由牛顿第二定律可得F＝（m1＋m2）a，F′＝（m1＋m2）a′，又a′＝2a，可得出F′＝2F，选项A正确，C错误；隔离物块m2，由牛顿第二定律得kx＝m2a，kx′＝m2a′，解得x′＝2x，故选项B、D错误。
2.在水平地面上有两个彼此接触的物体A和B，它们的质量分别为m1和m2，与地面间的动摩擦因数均为μ，若用水平推力F作用于A物体，使A、B一起向前运动，如图所示，求两物体间的相互作用力大小。
【解析】以A、B整体为研究对象，其受力如图甲所示，由牛顿第二定律可得
F－μ（m1＋m2）g＝（m1＋m2）a
所以a＝ eq \f(F,m1＋m2) －μg
再以B物体为研究对象，其受力如图乙所示，由牛顿第二定律可得
FAB－μm2g＝m2a
联立得两物体间的作用力
FAB＝ eq \f(m2F,m1＋m2) 。
答案： eq \f(m2F,m1＋m2)
【加固训练】
1.如图所示，在光滑地面上，水平外力F拉动小车和木块一起做无相对滑动的加速运动。小车质量是M，木块质量是m，外力大小是F，木块和小车之间动摩擦因数是μ，则在这个过程中，木块受到的摩擦力大小是（ ）
A．μmg B． eq \f(mF,M＋m)
C．μ（M＋m）g D． eq \f(MF,M＋m)
【解析】选B。对m和M整体，由牛顿第二定律：
F＝（M＋m）a①
对m：Ff＝ma②
由①②得：Ff＝ eq \f(m,M＋m) F，故B正确。
2.如图所示，两个质量相同的物体A和B紧靠在一起，放在光滑的水平面上，如果它们分别受到水平推力F1和F2，而且F1>F2，则A施于B的作用力大小为（ ）
A．F1 B．F2
C． eq \f(F1＋F2,2) D． eq \f(F1－F2,2)
【解析】选C。选取A和B整体为研究对象，共同加速度a＝ eq \f(F1－F2,2m) 。再选取物体B为研究对象，受力分析如图所示，根据牛顿第二定律FN－F2＝ma，FN＝F2＋ma＝F2＋m eq \f(F1－F2,2m) ＝ eq \f(F1＋F2,2) 。C正确。
知识点三 动力学的临界问题
1.概念：
（1）临界问题：某种物理现象（或物理状态）刚好要发生或刚好不发生的转折状态。
（2）极值问题：在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。
2.关键词语：在动力学问题中出现的“最大”“最小”“刚好”“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件。
3.常见类型：
（1）弹力发生突变时接触物体间的脱离与不脱离的问题。
（2）绳子的绷紧与松弛的问题。
（3）摩擦力发生突变的滑动与不滑动问题。
4.产生临界值和极值的条件：
（1）相互接触的两物体脱离的临界条件：相互作用的弹力为零。
（2）绳子松弛（断裂）的临界条件：绳中张力为零（最大）。
（3）两物体发生相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值。
（4）加速度最大的条件：合外力最大。
（5）速度最大的条件：应通过运动过程分析，很多情况下当加速度为零时速度最大。
【典例】
如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m的物块A和木板B，A、B间的最大静摩擦力为μmg，现用水平拉力F拉B，使A、B以同一加速度运动，求拉力F的最大值。
【解析】A、B两物体恰好相对滑动时，
由牛顿第二定律得：对A：μmg＝ma，
对A、B系统：F＝（m＋2m）a，解得：F＝3μmg。
答案：3μmg
解决临界问题的一般方法
（1）极限法：极限分析法作为一种预测和处理临界问题的有效方法，是指通过恰当地选取某个变化的物理量，将其推向极端（“极大”或“极小”，“极右”或“极左”等），从而把比较隐蔽的临界现象（或“各种可能”）暴露出来，使问题明朗化，以便非常简捷地得出结论。
（2）假设法：有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，也可能不出现临界问题，解答这类问题，一般用假设法。
（3）数学方法：将物理过程转化为数学公式，根据数学公式求解临界条件。
（2020·山东等级考）如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行。A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为（ ）
A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,4) C． eq \f(1,5) D． eq \f(1,6)
【解析】选C。当木板与水平面的夹角为45°时，两物块刚好滑动，对A物块受力分析如图甲，沿斜面方向，A、B之间的滑动摩擦力f1＝μN＝μmgcs45°，根据平衡条件可知T＝mgsin45°＋μmgcs45°①；对B物块受力分析如图乙，
沿斜面方向，B与斜面之间的滑动摩擦力f2＝μN″＝μ·3mgcs45°，根据平衡条件可知2mgsin45°＝T＋μmgcs45°＋μ·3mgcs45°②，①②两式联立，可得2mgsin45°＝mgsin45°＋μmgcs45°＋μmgcs45°＋μ·3mgcs45°，
解得μ＝ eq \f(1,5) ，A、B、D错误，C正确。故选C。
【加固训练】
1.如图所示，水平地面上有一车厢，车厢内固定的平台通过相同的弹簧把相同的物块A、B压在竖直侧壁和水平的顶板上，已知A、B与接触面间的动摩擦因数均为μ，车厢静止时，两弹簧长度相同，A恰好不下滑，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。现使车厢沿水平方向加速运动，为保证A、B仍相对车厢静止，则（ ）
A．速度可能向左，加速度可大于（1＋μ）g
B．加速度一定向右，不能超过（1－μ）g
C．加速度一定向左，不能超过μg
D．加速度一定向左，不能超过（1－μ）g
【解析】选B。开始A恰好不下滑，对A分析有fA＝mg＝μFNA＝μF弹，解得F弹＝ eq \f(mg,μ) ，此时弹簧处于压缩状态。当车厢做加速运动时，为了保证A不下滑，侧壁对A的支持力必须大于等于 eq \f(mg,μ) ，根据牛顿第二定律可知加速度方向一定向右，对B分析，有fBm＝μFNB＝μ（F弹－mg）≥ma，解得a≤（1－μ）g，故B正确，A、C、D错误。
2.如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上端固定一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端连有一质量为m的小球，小球被一垂直于斜面的挡板A挡住，此时弹簧没有形变。若手持挡板A以加速度a（a（1）从挡板开始运动到小球与挡板分离所经历的时间。
（2）从挡板开始运动到小球的速度达到最大，小球经过的最小路程。
【解析】（1）当小球与挡板分离时，挡板对小球的作用力恰好为零，对小球，由牛顿第二定律得
mg sin θ－kx＝ma
解得小球做匀加速运动的位移为
x＝ eq \f(mg sin θ－ma,k)
由x＝ eq \f(1,2) at2得从挡板开始运动到小球与挡板分离所经历的时间为t＝ eq \r(\f(2x,a)) ＝ eq \r(\f(2（mg sin θ－ma）,ka)) 。
（2）小球的速度达到最大时，其加速度为零，则有
kx′＝mg sin θ
故小球从开始运动到小球速度达到最大，小球经过的最小路程为x′＝ eq \f(mg sin θ,k) 。
答案：（1） eq \r(\f(2mg sin θ－a,ka)) （2） eq \f(mg sin θ,k)
1.如图所示，光滑水平面上放有质量均为m的滑块A和斜面体C，在C的斜面上又放有一质量也为m的滑块B，用力F推滑块A使三者无相对运动地向前加速运动，则各物体所受的合力（ ）
A．滑块A最大 B．斜面体C最大
C．同样大 D．不能判断谁大谁小
【解析】选C。由于三者无相对运动地向前共同加速运动，且质量均相同，根据牛顿第二定律F＝ma可知，各物体所受合力均相同，故C正确。
2.如图所示，天花板上用细绳吊起两个用轻弹簧相连的质量相同的小球，两小球均保持静止。当突然剪断细绳的瞬间，上面小球A与下面小球B的加速度分别为（以向上为正方向）（ ）
A．a1＝g a2＝g B．a1＝2g a2＝0
C．a1＝－2g a2＝0 D．a1＝0 a2＝g
【解析】选C。分别以A、B为研究对象，分析剪断前和剪断时的受力。剪断前A、B静止，A球受三个力：
绳子的拉力FT、重力mg和弹簧弹力F，B球受两个力：重力mg和弹簧弹力F′。
A球：FT－mg－F＝0，
B球：F′－mg＝0，F＝F′
解得FT＝2mg，F＝mg。
剪断瞬间，A球受两个力，因为绳无弹性，剪断瞬间拉力不存在，而弹簧在此瞬间形状不可改变，弹力不变。如图，
A球受重力mg、弹簧的弹力F，同理B球受重力mg和弹簧的弹力F′。A球：－mg－F＝ma1，B球：F′－mg＝ma2，解得a1＝－2g，a2＝0，故C正确。
3.（2021·西安高一检测）如图所示是采用动力学方法测量空间站质量的原理图，若已知飞船质量为3.0×103 kg，其推进器的平均推力为900 N，在飞船与空间站对接后，推进器工作5 s内，测出飞船和空间站速度变化是0.05 m/s，则空间站的质量为（ ）
A．9.0×104 kg B．8.7×104 kg
C．6.0×104 kg D．6.0×103 kg
【解析】选B。整体的加速度a＝ eq \f(Δv,Δt) ＝ eq \f(0.05 m/s,5 s) ＝0.01 m/s2；由牛顿第二定律F＝ma可知，空间站的质量M＝ eq \f(F,a) －m＝ eq \f(900,0.01) kg－3.0×103 kg＝8.7×104 kg，故本题选B。
4.如图所示，木块A、B静止叠放在光滑水平面上，A的质量为m，B的质量为2m。现施加水平力F拉B（如图甲），A、B刚好不发生相对滑动，一起沿水平面运动。若改用水平力F′拉A（如图乙），使A、B也保持相对静止，一起沿水平面运动，则F′不得超过（ ）
A．2F B． eq \f(F,2) C．3F D． eq \f(F,3)
【解析】选B。力F拉木块B时，A、B恰好不滑动，故A、B间的静摩擦力达到最大值，对木块A受力分析，受重力mg、支持力FN1、向前的静摩擦力fm，根据牛顿第二定律，有fm＝ma；对A、B整体受力分析，受重力3mg、支持力和拉力F，根据牛顿第二定律，有F＝3ma，解得fm＝ eq \f(1,3) F。当F′作用在木块A上，A、B恰好不滑动时，A、B间的静摩擦力达到最大值，对木块A，有F′－fm＝ma1，对整体，有F′＝3ma1，联立解得F′＝ eq \f(3,2) fm＝ eq \f(1,2) F，即F′的最大值是 eq \f(1,2) F。
【加固训练】
如图甲所示，物体M放在光滑水平桌面上，桌面一端附有轻质光滑定滑轮，若用一根跨过滑轮的轻绳系住M，另一端挂一质量为m的物体，M的加速度为a1，若另一端改为施加一竖直向下F＝mg的恒力，如图乙所示，M的加速度为a2，则（ ）
A．a1>a2 B．a1＝a2
C．a1【解析】选C。对M和m组成的整体，由牛顿第二定律得mg＝（M＋m）a1，a1＝ eq \f(mg,M＋m) ，另一端改为施加一竖直向下的恒力，则F＝Ma2，a2＝ eq \f(F,M) ＝ eq \f(mg,M) ，所以a1研究对象
选择原则
整体法
将一起运动的物体系作为研究对象
求解物体系整体的加速度和所受外力
隔离法
将系统中的某一物体作为研究对象
求解物体之间的内力