江苏省启东、通州2021-2022学年高三上学期期末考试数学含答案

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数 学
(满分：150分 考试时间：120分钟)
2022．1
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. ( eq \f(1－i,1＋i))2 022＝( )
A. 1 B. i C. －1 D. －i
2. 已知集合A＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x－2,x＋1)≥0))}，B＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(（\f(1,2)）x≥1))}，则(∁RA)∩B＝( )
A. [0，2) B. [－1，0] C. (－1，0] D. (－∞，－1)
3. 若二项式( eq \r(x)－ eq \f(a,\r(x)))6的展开式中常数为160，则a的值为( )
A. 2 B. －2 C. 4 D. －4
4. 甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为10，5，3.竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是( )
A. 第二名、第三名的总分之和为29分或31分
B. 第二名的总分可能超过18分
C. 第三名的总分共有3种情形
D. 第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名
5. 梅森素数是指形如2p－1的素数，其中p也是素数(质数)，如27－1＝127是梅森素数，211－1＝23×89不是梅森素数．长期以来，数学家们在寻找梅森素数的同时，不断提出一些关于梅森素数分布的猜测，1992年中国学者周海中提出一个关于梅森素数分布的猜想，并首次给出其分布的精确表达式，被数学界命名为“周氏猜测”．已知在不超过20的素数中随机抽取2个，则至少含有1个梅森素数的概率为( )
A. eq \f(13,28) B. eq \f(1,28) C. eq \f(9,14) D. eq \f(3,7)
6. 已知a＝，b＝lg660，c＝ln 6，则( )
A. c＜b＜a B. b＜a＜c C. c＜a＜b D. a＜c＜b
7. 在正三棱锥PABC中，D是棱PC上的点，且PD＝2DC.设PB，PC与平面ABD所成的角分别为α，β，则sin α∶sin β＝( )
A. eq \f(1,6) B. eq \f(1,2) C. eq \f(\r(2),2) D. eq \f(2,3)
8. 函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过实数x的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝[lg2x]，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝( )
A. 4 097 B. 4 107 C. 5 119 D. 5 129
二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的是( )
A. 若事件A与事件B互斥，则事件A与事件B独立
B. 已知随机变量X的方差为V(X)，则V(2X－3)＝4V(X)
C. 已知随机变量X服从二项分布B(n， eq \f(1,3))，若E(3X＋1)＝6，则n＝5
D. 已知随机变量X服从从正态分布N(1，σ2)，若P(X＜3)＝0.6，则P(－1＜X＜1)＝0.2
10. 已知点A(4，3)在以原点O为圆心的圆上，B，C为该圆上的两点，满足 eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))，则( )
A. 直线BC的斜率为 eq \f(3,4) B. ∠AOC＝60°
C. △ABC的面积为 eq \f(25\r(3),2) D. B，C两点在同一象限
11. 已知函数f(x)＝A sin ( eq \f(3,2)x＋φ)(A＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则( )
A. φ＝ eq \f(π,4)
B. f(x－ eq \f(π,6))是偶函数
C. 当x∈[－π，－ eq \f(π,3)]时，f(x)的最大值为1
D. 若f(x1)f(x2)＝2(x1≠x2)，则|x1＋x2|的最小值为π
12. 已知函数f(x)＝ekx，g(x)＝ eq \f(ln x,k)，其中k≠0，则( )
A. 若点P(a，b)在f(x)的图象上，则点P′(b，a)在g(x)的图象上
B. 当k＝e时，设点A，B分别在f(x)，g(x)的图象上，则AB的最小值为 eq \f(\r(2),e)
C. 当k＝1时，函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值小于 eq \f(5,2)
D. 当k＝－2e时，函数G(x)＝f(x)－g(x)有3个零点
三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知单位向量a，b，c满足c＝a－ eq \f(2,3)b，则b·c＝________．
14. 若1＋ eq \f(\r(3),tan 80°)＝ eq \f(1,sin α)，则α的一个可能角度值为________．
15. 已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的上顶点与抛物线C′：x2＝2py(p＞0)的焦点F重合，P为C与C′的一个公共点．若C的离心率为 eq \f(\r(3),3)，且PF＝2，则p＝________．
16. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A′BDC，设三棱锥A′BDC的外接球和内切球的半径分别为r1，r2，球心分别为O1，O2.若正方形ABCD的边长为1，则 eq \f(r2,r1)＝________，O1O2＝________．
四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
从以下3个条件中选择2个条件进行解答．
①BA＝3，②BC＝ eq \r(7)，③∠A＝60°.
在△ABC中，已知________，D是边AC的中点，且BD＝ eq \r(7)，求AC的长及△ABC的面积．
18. (本小题满分12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝2，2(Sn＋Sn＋1)＝6－an＋1.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 设Sn的最大值为M，最小值为m，求M－m的值．
19.(本小题满分12分)
如图，C，D分别是以AB为直径的半圆O上的点，且满足BC＝CD＝DA，△PAB为等边三角形，且与半圆O所成二面角的大小为90°，E为PA的中点．
(1) 求证：DE∥平面PBC；
(2) 求二面角ABED的余弦值．
20. (本小题满分12分)
当今时代，国家之间的综合国力的竞争，在很大程度上表现为科学技术水平与创新能力的竞争．特别是进入人工智能时代后，谁掌握了核心科学技术，谁就能对竞争对手进行降维打击．我国自主研发的某种产品，其厚度越小，则该种产品越优良，为此，某科技研发团队经过较长时间的实验研发，不断地对该产品的生产技术进行改造提升，最终使该产品的优良厚度达到领先水平并获得了生产技术专利．
(1) 在研发过程中，对研发时间x(月)和该产品的厚度y(nm)进行统计，其中1～7月的数据资料如下：
现用y＝a＋ eq \f(b,x)作为y关于x的回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并估计该产品的“理想”优良厚度约为多少？
(2) 某企业现有3条老旧的该产品的生产线，迫于竞争压力，决定关闭并出售生产线．现有以下两种售卖方案可供选择：
① 直接售卖，则每条生产线可卖5万元；
② 先花20万元购买技术专利并对老旧生产线进行改造，使其达到生产领先水平后再售卖．已知在改造过程中，每条生产线改造成功的概率均为 eq \f(3,4)，若改造成功，则每条生产线可卖20万元；若改造失败，则卖价为0万元．请判断该企业应选择哪种售卖方案更为科学？并说明理由．
参考公式和数据：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝βu＋α中的斜率和纵截距的最小二乘法估计的计算公式为
设z＝ eq \f(1,x)，zi＝ eq \f(1,xi)，z－＝0.37，y－＝50，
21. (本小题满分12分)
已知双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程为y＝± eq \r(3) x，直线l交C于A，B两点．
(1) 若线段AB的中点为(－1，3)，求l的方程；
(2) 若以线段AB为直径的圆过坐标原点O，且O到l的距离为 eq \f(\r(6),2) ，求C的方程．
22. (本小题满分12分)
已知函数f(x)＝sin x＋tan x－ax2－2x.
(1) 当a＝0时，试判断并证明f(x)在(－ eq \f(π,2) ， eq \f(π,2) )上的单调性；
(2) 当x∈(0， eq \f(π,2) )时，f(x)＞0，求实数a的取值范围．
2021～2022学年高三年级期末试卷(启东、通州)
数学参考答案及评分标准
1. C 2. B 3. B 4. C 5. A 6. A 7. D 8. B 9. BC 10. ABD 11. AC 12. ACD
13. － eq \f(1,3) 14. 50°(答案不唯一) 15. 3 16. 2－ eq \r(3) 2－ eq \r(3)
17. 解：选①②：由D是边AC的中点，可得 eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→)))，
所以 eq \(BD,\s\up6(→))2＝ eq \f(1,4)( eq \(BA,\s\up6(→))2＋ eq \(BC,\s\up6(→))2＋2 eq \(BA,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))).(2分)
因为BA＝3，BC＝ eq \r(7)，BD＝ eq \r(7)，所以7＝ eq \f(1,4)(9＋7＋2×3× eq \r(7)cs ∠ABC)，
解得cs ∠ABC＝ eq \f(2\r(7),7).(4分)
在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BC·cs ∠ABC，
即AC2＝9＋7－2×3× eq \r(7)× eq \f(2\r(7),7)＝4，
所以AC＝2.(7分)
又sin ∠ABC＝ eq \f(\r(21),7)，
所以△ABC的面积S＝ eq \f(1,2)×3× eq \r(7)× eq \f(\r(21),7)＝ eq \f(3\r(3),2).(10分)
选①③：在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cs A，
设AD＝CD＝x，因为BA＝3，BD＝ eq \r(7)，∠A＝60°，
可得7＝9＋x2－2×3x cs 60°，(4分)
解得x＝1或x＝2，所以AC＝2或AC＝4.(6分)
当AC＝2时，△ABC的面积S＝ eq \f(1,2)×3×2× eq \f(\r(3),2)＝ eq \f(3\r(3),2)；
当AC＝4时，△ABC的面积S＝ eq \f(1,2)×3×4× eq \f(\r(3),2)＝3 eq \r(3).(10分)
选②③：设AD＝CD＝m，AB＝n，
在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs A，
在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cs A，(4分)
因为BC＝ eq \r(7)，BD＝ eq \r(7)，∠A＝60°，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7＝n2＋4m2－2×n×2m cs 60°，,7＝n2＋m2－2×n×m cs 60°，))
解得m＝1，n＝3，即AC＝2，AB＝3.(8分)
所以△ABC的面积S＝ eq \f(1,2)×3×2× eq \f(\r(3),2)＝ eq \f(3\r(3),2).(10分)
18. 解：(1) 由2(Sn＋Sn＋1)＝6－an＋1，得n≥2时，2(Sn－1＋Sn)＝6－an，
两式相减，得2(an＋an＋1)＝－an＋1＋an(n≥2)，
所以3an＋1＝－an，即 eq \f(an＋1,an)＝－ eq \f(1,3)(n≥2).(3分)
因为a1＝2，2(a1＋a1＋a2)＝6－a2，
解得a2＝－ eq \f(2,3)，所以 eq \f(a2,a1)＝－ eq \f(1,3)，所以 eq \f(an＋1,an)＝－ eq \f(1,3)(n∈N*)，
所以{an}是首项为2，公比为－ eq \f(1,3)的等比数列．
所以an＝2×(－ eq \f(1,3))n－1.(6分)
(2) 由(1)可得Sn＝ eq \f(2×[1－（－\f(1,3)）n],1－（－\f(1,3)）)＝ eq \f(3,2)×[1－(－ eq \f(1,3))n].(8分)
当n为偶数时，Sn＝ eq \f(3,2)×[1－( eq \f(1,3))n]， eq \f(4,3)≤Sn＜ eq \f(3,2)；
当n为奇数时，Sn＝ eq \f(3,2)×[1＋( eq \f(1,3))n]， eq \f(3,2)＜Sn≤2，
当n＝2时，Sn取最小值 eq \f(4,3)，当n＝1时，Sn取最大值2，
所以M－m＝2－ eq \f(4,3)＝ eq \f(2,3).(12分)
19. (1) 证明：取PB的中点F，连接EF，FC，DC，OC，OD.
因为 eq \x\t(BC)＝ eq \x\t(CD)＝ eq \x\t(DA)，所以∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°.
因为OA＝OD＝OC＝OB，所以BC＝DC＝OD＝OB，
所以四边形ODCB是平行四边形，
所以DC∥OB.(2分)
因为E为PA的中点，F为PB的中点，所以EF∥OB，且EF＝OB，
所以EF∥DC，EF＝DC，所以四边形EFCD是平行四边形，
所以DE∥CF.(4分)
因为DE⊄平面PBC，CF⊂平面PBC，所以DE∥平面PBC.(6分)
(2) 解：连接OP，在半圆O内过O作AB的垂线OG.
因为△PAB为等边三角形，O为AB的中点，所以OP⊥AB.
因为平面PAB与半圆O所成二面角的大小为90°，
平面PAB∩半圆O＝AB，所以OP⊥半圆O，
所以OP⊥OA，OP⊥OG.
所以以{ eq \(OA,\s\up6(→))， eq \(OG,\s\up6(→))， eq \(OP,\s\up6(→))}为一组基底建立如图所示的平面直角坐标系Oxyz.
设AB＝2，则B(－1，0，0)，E( eq \f(1,2)，0， eq \f(\r(3),2))，D( eq \f(1,2)， eq \f(\r(3),2)，0)，
所以 eq \(BE,\s\up6(→))＝( eq \f(3,2)，0， eq \f(\r(3),2))， eq \(BD,\s\up6(→))＝( eq \f(3,2)， eq \f(\r(3),2)，0).(8分)
设平面BDE的法向量n1＝(x，y，z)，则n1⊥ eq \(BE,\s\up6(→))，n1⊥ eq \(BD,\s\up6(→))，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n1·\(BE,\s\up6(→))＝\f(3,2)x＋\f(\r(3),2)z＝0，,n1·\(BD,\s\up6(→))＝\f(3,2)x＋\f(\r(3),2)y＝0，))取x＝1，则y＝z＝－ eq \r(3)，
即n1＝(1，－ eq \r(3)，－ eq \r(3)).(10分)
取平面ABE的一个法向量n2＝(0，1，0)，
则cs 〈n1，n2〉＝ eq \f(－\r(3),\r(7))＝－ eq \f(\r(21),7).
因为二面角ABED为锐二面角，
所以二面角ABED的余弦值为 eq \f(\r(21),7).(12分)
20. 解：(1) ＝ eq \f(184.5－7×0.37×50,0.55) ＝100，(2分)
a＝y－－bz－＝50－100×0.37＝13，所以y＝13＋100z，
所以y关于x的回归方程为y＝13＋ eq \f(100,x) .(4分)
所以可以估计该产品的“理想”优良厚度约为13 nm.(5分)
(2) 方案①，3条生产线的卖价共为X＝15万元；
方案②，设3条生产线的卖价共为Y万元，
则Y的取值可能为0，20，40，60万元．(7分)
P(Y＝0)＝( eq \f(1,4) )3＝ eq \f(1,64) ，P(Y＝20)＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ( eq \f(3,4) )( eq \f(1,4) )2＝ eq \f(9,64) ，
P(Y＝40)＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ( eq \f(3,4) )2( eq \f(1,4) )＝ eq \f(27,64) ，P(Y＝60)＝( eq \f(3,4) )3＝ eq \f(27,64) ，
所以E(Y)＝0× eq \f(1,64) ＋20× eq \f(9,64) ＋40× eq \f(27,64) ＋60× eq \f(27,64) ＝45(万元).(10分)
因为E(Y)－20＝25＞X，
所以该企业应选择方案②售卖更为科学．(12分)
21. 解：(1) 因为双曲线C的两条渐近线方程为y＝± eq \r(3) x，
所以 eq \f(b,a) ＝ eq \r(3) ，即a2＝ eq \f(1,3) b2，(2分)
所以双曲线C的方程为3x2－y2＝b2.
显然直线l的斜率存在，设l的方程为y＝kx＋m，
联立方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,3x2－y2＝b2，)) 消y得(3－k2)x2－2kmx－(m2＋b2)＝0.
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－k2≠0，,Δ＝4k2m2＋4（3－k2）（m2＋b2）＞0，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k2≠3，,（3－k2）b2＋3m2＞0.)) (*)(4分)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由线段AB的中点为(－1，3)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝\f(2km,3－k2)＝2×（－1）＝－2，,3＝－k＋m，)) 解得k＝－1，m＝2，符合(*)式，
所以l的方程为y＝－x＋2.(6分)
(2) ① 当直线l的斜率存在时，由(1)知， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝\f(2km,3－k2)，,x1x2＝－\f(m2＋b2,3－k2)．))
由以线段AB为直径的圆过坐标原点O，
所以OA⊥OB，即 eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OB,\s\up6(→)) ＝x1x2＋y1y2＝0，
所以x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，
即 eq \f(－（1＋k2）（m2＋b2）＋2k2m2＋m2（3－k2）,3－k2) ＝ eq \f(2m2－（k2＋1）b2,3－k2) ＝0，
所以2m2＝(k2＋1)b2.(8分)
因为O到l的距离为 eq \f(|m|,\r(1＋k2)) ＝ eq \f(b,\r(2)) ＝ eq \f(\r(6),2) ，所以b2＝3，
所以C的方程为x2－ eq \f(y2,3) ＝1.(10分)
② 当直线l的斜率不存在时，根据对称性知，△OAB为等腰直角三角形，
不妨设A( eq \f(\r(6),2) ， eq \f(\r(6),2) )，代入3x2－y2＝b2，得b2＝3，
所以C的方程为x2－ eq \f(y2,3) ＝1.
综合①②可知，C的方程为x2－ eq \f(y2,3) ＝1.(12分)
22. 解： (1) 当a＝0时，f(x)＝sin x＋ eq \f(sin x,cs x) －2x，
所以f′(x)＝cs x＋ eq \f(1,cs2x) －2.(1分)
因为x∈(－ eq \f(π,2) ， eq \f(π,2) )，所以cs x∈(0，1]，
于是f′(x)＝cs x＋ eq \f(1,cs2x) －2≥cs2x＋ eq \f(1,cs2x) －2≥0(等号当且仅当x＝0时成立).
所以函数f(x)在(－ eq \f(π,2) ， eq \f(π,2) )上单调递增．(4分)
(2) 令p(x)＝sin x－x，则p′(x)＝cs x－1.
当x∈(0， eq \f(π,2) )时，p′(x)＜0，所以p(x)在(0， eq \f(π,2) )上单调递减．
又p(0)＝0，所以p(x)＜0，故x∈(0， eq \f(π,2) )时，sin x＜x. (*)(6分)
① 当a≤0时，f(x)≥sin x＋tan x－2x，
由(1)得f(x)在(0， eq \f(π,2) )上单调递增，
又f(0)＝0，所以f(x)＞0.(8分)
② (解法1)当a＞0时，
f(x)＝sin x＋tan x－2x－ax2＜tan x－x－ax2.
令g(x)＝tan x－x－ax2，则g′(x)＝tan2x－2ax，
所以g′(x)＜ eq \f(x2,cs2x) －2ax＝ eq \f(x,cs2x) (x－2a cs2x).
令h(x)＝x－2a cs2x，得h′(x)＝1＋4a csx sin x＞0，
所以h(x)在(0， eq \f(π,2) )上单调递增．
又h(0)＜0，h( eq \f(π,2) )＞0，
所以存在t∈(0， eq \f(π,2) )使得h(t)＝0，即x∈(0，t)时，h(x)＜0，
所以x∈(0，t)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．
又g(0)＝0，所以g(x)＜0，即x∈(0，t)时，f(x)＜0，与f(x)＞0矛盾．
综上，满足条件的m的取值范围是(－∞，0].(12分)
(解法2)当a＞0时，
f(x)＝sin x(1＋ eq \f(1,cs x) )－ax2－2x＜x( eq \f(1,cs x) －ax－1).
当a≥1时，f(1)＜ eq \f(1,cs 1) －a－1＜ eq \f(1,cs \f(π,3)) －a－1＝1－a≤0，不符合题意；
当0＜a＜1时，cs a＞cs 1＞ eq \f(1,2) ，
于是f(a)＜a( eq \f(1,cs a) －a2－1)＝ eq \f(a,cs a) (1－cs a－a2cs a).
而1－cs a－a2cs a＝2sin2 eq \f(a,2) －a2cs a＜ eq \f(a2,2) －a2cs a＝a2( eq \f(1,2) －cs a)＜0，
所以f(a)＜0，不符合题意．
综上，满足条件的m的取值范围是(－∞，0].(12分)x(月)
1
2
3
4
5
6
7
y(nm)
99
99
45
32
30
24
21