湖北省荆州中学2021-2022学年高三上学期期末考试数学含答案

高三数学期末答案

BBCD      DACB    ACD  ABC   AC   AC

x-6y+6=0或x-6y-6=0   14.2   15.4   16. 2n-1（1≤n≤9，n为奇数）

17.【答案】解：若选①：
（1）因为，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB+sinA，
因为A为三角形内角，所以sinA≠0，sinB=cosB+1，可得：2sin（B-）=1，即sin（B-）=，因为B∈（0，π），可得B-∈（-，），可得B-=，所以可得B=．
（2）因为b2=a2+c2-2accosB=（a+c）2-3ac=16-3ac，即3ac=16-b2，
所以16-b2=3ac≤3（）2=12，解得b≥2，当且仅当a=c=2时，取等号，
所以bmin=2，△ABC周长的最小值为6，此时，△ABC的面积S=acsinB=．
若选②：（1）因为2bsinA=atanB，所以2bsinA=，
由正弦定理可得2sinBsinA=sinA•，
因为A,B为三角形内角，所以sinA≠0，sinB≠0，所以cosB=，
又B∈（0，π），所以B=．
（2）因为b2=a2+c2-2accosB=（a+c）2-3ac=16-3ac，即3ac=16-b2，
所以16-b2=3ac≤3（）2=12，解得b≥2，当且仅当a=c=2时，取等号，
所以bmin=2，△ABC周长的最小值为6，此时，△ABC的面积S=acsinB=．
若选③：（1）因为（a-c）sinA+csin（A+B）=bsinB，
所以（a-c）sinA+csinC=bsinB，
由正弦定理可得：（a-c）a+c2=b2，整理可得：a2+c2-b2=ac，
由余弦定理可得cosB===，因为B∈（0，π），​所以B=．
（2）因为b2=a2+c2-2accosB=（a+c）2-3ac=16-3ac，即3ac=16-b2，
所以16-b2=3ac≤3（）2=12，解得b≥2，当且仅当a=c=2时，取等号，
所以bmin=2，△ABC周长的最小值为6，此时，△ABC的面积S=acsinB=．

18.【答案】解：（1）由Sn=（an-1），得Sn+1=（an+1-1），n∈N+，
两式相减得an+1=an+1-an，即an+1=-an，
又当n=1时，a1=S1=（a1-1），解得a1=-，
所以{an}是以-为首项，-为公比的等比数列，所以an=（-）n；
（2）由（1）可知bn=ansin=，n∈N+，
所以a1，a3，a5，a7，…，a97，a99是首项为a1，公比为-的等比数列，共有50项，所以T100=a1-a3+a5-a7+…+a97-a99===-+×．

19.【答案】（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，AD⊂平面ABCD，AD⊥DC，
∴AD⊥平面PCD，∵PC⊂平面PCD，
∴AD⊥PC；
（Ⅱ）解：在平面PCD内过点D作DH⊥DC，交PC于H，由（Ⅰ）知，AD⊥平面PDC，DH⊂平面PDC，
∴AD⊥DH，∴AD，CD，DH两两垂直，
以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则D（0，0，0），P（0，﹣1，），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），∵DH⊥平面ABCD，
∴平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1），又=（2，1，），=（2，2，），设平面PAB的一个法向量为=（x，y，z），
由，取z=2，则m=（），
∴cos，由题意可知，二面角P﹣AB﹣C为锐角，
∴二面角P﹣AB﹣C的余弦值为；
 

20.【答案】解：（1）由散点图知，选择回归类型y=m⋅xk更好．
（2）对y=m⋅xk两边取对数，得lny=lnm+klnx，即v=lnm+ku，
由表中数据得，
，
所以，所以=e，
所以年广告费用x和年利润额y的回归方程为．
（3）由（2），知，令，得，得，
所以x＞3.67883≈49.787，故下一年应至少投入498万元广告费用．

21. 【答案】解：（1）由题意知P（0，3），过点P与圆相切的直线斜率存在，设切线方程为y=kx+3，联立，得（1+2k2）x2+12kx+12=0，由△=（12k）2-4（1+2k2）×12=0，解得k=±1，即切线方程为y=±x+3，此时切点坐标为A（-2，1），B（2，1），
    △PAB为直角三角形，|PA|=|PB|=2，所以S△PAB=|PA||PB|=4．
    （2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），
    则切线PA为+=1，切线PB为+=1，
    设P（x0，y0），则+=1，+=1，所以直线AB的方程为+=1①，
    又点P（x0，y0）在直线l：+=1上，所以+=1，即=1-，代入①，得+（1-）y=1，
    即x0（x-y）+6（y-1）=0，所以直线过定点T（1，1），
    又因为OD⊥AB，所以点D在以OT为直径，Q（，）为圆心的定圆上，
    所以|DQ|为定值，且|DQ|=．

22.【答案】解：（1）由题意可知f'（x）=ex+e-x-acosx，
①当0＜a≤2时，由-1≤cosx≤1可知-2≤-a≤acosx≤a≤2，
又因为ex+e-x≥2恒成立，所以f'（x）=ex+e-x-acosx≥0恒成立，
所以y=f（x）在[0，+∞）上恒为增函数．又f（0）=0，所以f（x）＞0对x＞0恒成立；
②当a＞2时，，
且可知y=ex+e-x与y=acosx必有一个交点，不妨设为x0，
所以y=f（x）在[0，x0）上为减函数，在[x0，+∞）为增函数，又f（0）=0，
所以f（x0）＜0，与题意不符，故舍去．综合可知a的取值范围是（0，2]．
（2），只需证，
即证，即证ex-e-x-2sinx＞elnx-e-lnx-2sin（lnx），
即证f（x）＞f（lnx）（此时a=2），由（1）问可知当0＜a≤2时y=f（x）在[0，+∞）上恒为增函数．所以即证x＞lnx，不妨令g（x）=x-lnx，
则
所以y=g（x）在（0，1）递减，（1，+∞）递增．又因为g（x）min=g（1）=1＞0
所以g（x）=x-lnx＞0恒成立，即x＞lnx，
所以原结论得证．