全等三角形常见几何模型学案

这是一份全等三角形常见几何模型学案，共22页。

初二全等三角形常见几何模型
一、 角平分线模型应用
1. 角平分性质模型：
辅助线：过点G作GE射线AC

（1） .例题应用：
①如图1，在，那么点D到直线AB的距离是 .cm
②如图2，已知，，..

图1 图2

①2 （提示：作DEAB交AB于点E）
②，，，，.
(2) .模型巩固：
练习一：如图3，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=CD，BD平分.
.求证：

图3

练习二：已知如图4，四边形ABCD中，


图4
练习三：如图5，交CD于点E，交CB于点F.
(1) 求证：CE=CF.
(2) 将图5中的△ADE沿AB向右平移到的位置，使点落在BC边上，其他条件不变，如图6所示，是猜想：于CF又怎样的数量关系？请证明你的结论.

图5 图6

练习四：如图7，，P是AB的中点，PD平分∠ADC．求证：CP平分∠DCB．
A
D
E
C
B
P
2
1
4
3




图7
练习五：如图8，AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．

图8
练习六：如图9所示，在△ABC中，BC边的垂直平分线DF交△BAC的外角平分图9
线AD于点D，F为垂足，DE⊥AB于E，并且AB>AC。求证：BE－AC=AE。




练习七： 如图10，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC。

2.角平分线+垂线，等腰三角形比呈现

辅助线：延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF∥射线OB
（1） .例题应用：
①．如图1所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。
求证：
证明：延长BE交AC于点F。




②．已知：如图2，在，



分析：此题很多同学可能想到延长线段CM，但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此题突破口就在于AB=AD，由此我们可以猜想过C点作平行线来构造等腰三角形.
证明：过点C作CE∥AB交AM的延长线于点E.
例题变形: 如图，，，
求证：① ②

(3) .模型巩固：
练习一、 如图3，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。

图3
练习一变形：如图4，在△ODC中，，过点E作

图4
A
C
D
E
B
练习二、如图5，已知△ABC中，CE平分∠ACB，且AE⊥CE，∠AED＋∠CAE＝180度，求证：DE∥BC



图5
A
B
C
D
E
练习三、如图6，AD⊥DC，BC⊥DC，E是DC上一点，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，求证：点E是DC中点。


图6
练习四、①、如图7（a），
∥.

图7（a） 图7（b） 图7（c）
②、如图7（b），
③、如图7（c），其他条件不变. 则在图7（b）、图6（c）两种情况下，DE与BC还平行吗？它与三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并证明你的结论.(提示：利用三角形中位线的知识证明线平行)

练习五、如图8，在直角三角形中，，的平分线交于．自作交于，交于．自作于，求证：．

图8
练习六、如图9所示，在中，，为的中点，是的平分线，若且交的延长线于，求证．

图9
练习六变形一：如图10所示，是中的外角平分线，于，是的中点，求证 且．

图10
练习六变形二：如图11所示，在中，平分，，于，求证．

图11


练习七、如图12，在中，，的平分线交与．则有．那么如图13，已知在中，，，．求证：．

图12 图13
练习八、在中，，的平分线交于，过作，为垂足，求证：．

练习九、是的角平分线，交的延长线于，交于． 求证：．

3. 角分线，分两边，对称全等要记全

两个图形的辅助线都是在射线OA上取点B，使OB=OA，从而使≌△OBC.
（1）.例题应用：
①、在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。

思路分析：
1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。
2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过O作BC的平行线。得△ADO≌△AQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再证出BD=OD就可以了。



④如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP从而得以解决。


小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。
 
②、如图所示，在中，是的外角平分线，是上异于点的任意一点，试比较与的大小，并说明理由．

【解析】 ，理由如下．
　 　　　
【解析】 在上截取，连结，根据证得≌，∴，
又中，，，∴
（2）、模型巩固：
E
A
D
B
C
练习一、.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CD＝AB＋BD，∠B的平分线交AC于点E，求证：点E恰好在BC的垂直平分线上。




练习二、如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，
A
C
B
D
求证：AD＋BD＝BC






A
C
B
D
练习三、如图，已知△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，
求证：AC＋CD＝AB




练习四、已知：在△中，的平分线和外角的平分线相交于交于求证：



练习五、在△中，平分，是中点，连结，求证：
变式：已知：在△中，平分，求证：
A
B
C
D
F
E






练习六、 已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E. 求证：（1） BF=DF； (2) AD=DE.





练习七、已知如图，在四边形ABCD中，AB+BC=CD+DA，∠ABC的外角平分线与∠CDA的外角平分线交于点P.求证：∠APB=∠CPD

练习八、如图，在平行四边形ABCD（两组对边分别平行的四边形）中，E，F分别是AD，AB边上的点，且BE、DF交于G点，BE=DF，求证：GC是∠BGD的平分线。


练习九、如图，在△ABC中，∠ACB为直角，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE∥AB交BC于E，求证：CT=BE.

练习十、如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，． 求证：∥
　
【补充】如图，在

中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交 于点，若，求证：为的角平分线．

4.中考巡礼：
（1）.如图1，OP是∠AOB的平分线，请你利用图形画一对以OP为所在直线为对称轴的全等三角形，请你参考这个全等三角形的方法，解答下列问题。
①、如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60，AD、CE是∠BAC、∠BCA的角平分线， 相交于点F，请你判断并写出EF与DF之间的数量的关系。
A
B
C
D
E
F
图3
②、如图3，在△ABC中，∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，（1）中的结论是否任然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
A
B
C
D
E
F
图2
A
O
M
N
E
F
图1






（2）.如图，在平面直角坐标系中，B（-1，0），C（1，0）D为y轴上的一点，点A为第二象限内一动点，且∠BAC=2∠BDO，过点D作DM⊥AC于M，
①、求证：∠ABD=∠ACD；
②、若点E在BA的延长线上，求证：AD平分∠CAE；
③、当点A运动时，（AC-AB）/AM的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由。





二、 等腰直角三角形模型
1. 在斜边上任取一点的旋转全等：
操作过程：
（1） .将△ABD逆时针旋转，使△ACM≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形.（但是写辅助线时不能这样写）
（2） .过点C作，连AM导出上述结论.
2.定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：

操作过程：连AD.
（1）. 使BF=AE（AF=CE），导出△BDF≌△ADE.
（2）.使∠EDF+∠BAC=，导出△BDF≌△ADE.

（1）、例题应用：
①.
解析：方法一：过点C作， 方法二：



②.

证明：方法一：连接AM，证明△MDE≌△MAC.特别注意证明∠MDE=∠MAC.

方法二：过点M作MN⊥EC交EC于点N，得出MN为直角梯形的中位线，从而导出△MEC为等腰直角三角形.

（2） 、练习巩固：
① 已知：如图所示，Rt△ABC 中，AB=AC，，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN=CM.
①是判断△OMN的形状，并证明你的结论.
② 当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？
思路：两种方法：

② 在正方形ABCD中，BE=3 ，EF=5 ，DF=4 ，求∠BAE=∠DCF为多少度.
提示如右图：
3. 构造等腰直角三角形
（1） 、利用以上的1和2都可以构造等腰直角三角（略）；
（2） 、利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角.
如下图：

图3-1 图3-2
操作过程：在图3-2中，先将△ABD以BD所在的直线为对称轴作对称三角形，再将此三角形沿
水平方向向右平移一个正方形边长的长度单位，使A与M，D与E重合.
例题应用：已知：平面直角坐标系中的三个点，，求∠OCA+∠OCB的
度数.




4. 将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：

图4-1 图4-2
例题应用：


思路：构造正方形ACBM，可以构造出等边△APM，从而造出，又根据，可得，再由于，故而得到从而得 证.例题拓展：若△ABC不是等腰直角三角形，即，而是，其他条件不变，求证：∠2=2∠1.


练习巩固：在平面直角坐标系中，A（0 , 3），点B的纵坐标为2，点C的纵坐标为0，当A、B、C 三点围成等腰直角三角形时，求点B、C的坐标.
（1）当点B为直角顶点：

图1 图2

（2） 、当点A为直角顶点：

图3 图4
（3） 、当点C为直角顶点：

图5 图6
三、 三垂直模型（弦图模型）
①. ②. ③.

由△ABE≌△BCD导出 由△ABE≌△BCD导 由△ABE≌△BCD导出
ED=AE-CD 出EC=AB-CD BC=BE+ED=AB+CD
1. 例题应用：
例1.已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，，D为AC中点，AF⊥BD于E，交
BC于F，连接DF.求证：∠ADB=∠CDF.

方法一: 过点C作MC⊥AC交AF的延长线于点M.先证△ABD≌△CAM， 再证 △CDF ≌△CMF

方法二：过点A作AM⊥BC分别交BD、BC于H、M.先证△ABH≌△CAF， 再证 △CDF ≌△ADH

方法三：过点A作AM⊥BC分别交BD、BC于H、M.先证Rt△AMF ≌Rt△BMH，得出HF∥AC. 由M、D分别为线段AC、BC的中点，可得MD为△ABC的中位线从而推出MD∥AB，又由于，故而MD⊥AC，MD⊥HF，所以MD为线段HF的中垂线. 所以∠1=∠2.再由∠ADB+∠1=∠CDF+∠2 ，则∠ADB=∠CDF .

例1拓展（1）：已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，AM=CN，AF⊥BM于E，交
BC于F，连接NF. 求证：①∠ADB=∠CDF. ② BM=AF+FN

思路：同上题的方法一和方法二一样.
拓展（2）：其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点P，求证：①PM=PN, ② PB＝PF+AF.

思路：同上题的方法一和方法二一样.
例2.如图2-1，已知AD∥BC，△ABE和△CDF 是等腰直角三角形，∠EAB=∠CDF=，AD=2，BC=5，求四边形AEDF的面积.

图2-1
解析：如图2-2，过点E、B分别作EN⊥DA，BM⊥DA交DA延长线于点N、M. 过点F、C分别作 FP⊥AD，CQ⊥AD交AD及AD延长线于点P、Q.

∵△ABE和△CDF 是等腰直角三角形，∴∠EAB=∠CDF=，AE=AB， DF=CD.
∵EN⊥DA，BM⊥DA，FP⊥AD，CQ⊥AD ，∴∠NMB=∠ENA=∠FPD=∠DQC=.
∴∠ENA=∠MBA ，∠FDP=∠QCD. ∴△ENA≌△ABM，△FPD≌△DQC.
∴NE=AM， PF=DQ . ∴NE+PF=DQ+AM=MQ-AD .
∵AD∥BC，CQ∥BM，∠BMN=， ∴四边形BMQC是矩形. ∴BC=MQ
∵AD=2，BC=5 ∴NE+PF=5-2=3 ∴


图2-2
2.练习巩固：
（1）、如图（1）-1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=，是AD的垂直平分线， 交AD于点M，以腰AB为边做正方形ABFE，EP⊥于点P. 求证：2EP+AD=2CD.

（1）-1 （1）-2

（2）、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，AB=AC，E是AB的中点,CE⊥BD.
①求证：BE=AD ；
②求证：AC是线段ED的垂直平分线；
③△BCD是等腰三角形吗？请说明理由.


四、 手拉手模型
1.△ABE和△ACF均为等边三角形

结论：（1）. △ABF≌△AEC
（2）.∠BOE=BAE=（“八字模型证明”）
（3）.OA平分∠EOF
拓展：
条件：△ABC和△CDE均为等边三角形
结论：（1）AD=BE （2）∠ACB=∠AOB （3）△PCQ为等边三角 （4）PQ∥AE （5）AP=BQ （6）CO平分∠AOE （7）OA=OB+OC（8）OE=OC+OD （（7），（8）需构造等边三角形证明）

2.△ABD和△ACE均为等腰直角三角形

结论：（1）、BE=CD （2）BE⊥CD 3.ABEF和ACHD均为正方形

结论：（1）、BD⊥CF （2）、BD=CF
变形一：ABEF和ACHD均为正方形，AS⊥BC交FD于T，
求证：①M为FD的中点. ②
方法一： 方法二： 方法三：


变形二：ABEF和ACHD均为正方形，T为FD的中点，
求证：AS⊥BC

4．当以AB、AC为边构造正多边形时，总有：∠1=∠2=.

五、 双垂直+角平分线模型

结论：AE=AF
拓展：若AP平分∠BAD，其他条件不变，求证：AP⊥CF


六、 半角模型
条件：
思路：（1）延长其中一个补角的线段（延长CD到E，使ED=BM ，连AE或延长CB到F，使FB=DN ，连AF ）

结论：①MN=BM+DN ② ③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM

（2） 对称（翻折）

思路:分别将△ABM和△ADN以AM和AN 为对称轴翻折，但一定要证明 M、P、N三点共线.
（∠B+∠D=且AB=AD）
例题应用：例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN，求证：①.∠MAN= ②. ③.AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.

思路同上略.
例1拓展：在正方形ABCD中，已知∠MAN=，若M、N分别在边CB、DC 的延长线上移动，
①.试探究线段MN、BM 、DN之间的数量关系. ②.求证：AB=AH.
提示如图：
例2.在四边形ABCD中，∠B+∠D=，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD 且
上，满足EF=BE +DF.求证：
提示： 提示：
练习巩固：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD 上的点，且. 求证：EF=BE +DF