2020年宜昌市中考模拟试卷

这是一份2020年宜昌市中考模拟试卷，共23页。试卷主要包含了﹣的绝对值是，下列运算正确的是，计算+的结果是，在平面直角坐标系中，关于抛物线y＝，一组数据等内容，欢迎下载使用。
湖北省宜昌市第六中学2020年03月九年级数学独立性作业
一．选择题（共11小题）
1．﹣的绝对值是（　　）
A．﹣ B． C．2 D．﹣2
2．下列运算正确的是（　　）
A．m•m＝2m B．（mn）3＝mn3 C．（m2）3＝m6 D．m6÷m2＝m3
3．若3x＞﹣3y，则下列不等式中一定成立的是（　　）
A．x+y＞0 B．x﹣y＞0 C．x+y＜0 D．x﹣y＜0
4．计算+的结果是（　　）
A． B． C． D．1
5．在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）
6．某班测量了10名学生的身高，他们的身高与对应的人数如下表所示
身高（cm）
163
165
170
172
173
学生人数（人）
1
2
3
2
2
则这10名学生身高的众数和中位数分别为（　　）
A．165cm，165cm B．170cm，165cm
C．165cm，170cm D．170cm，170cm
7．关于抛物线y＝（x+1）2﹣2，下列结论中正确的是（　　）
A．对称轴为直线x＝1
B．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小
C．与x轴没有交点
D．与y轴交于点（0，﹣2）
8．一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即1.4960亿km，用科学记数法表示1个天文单位是（　　）
A．14.960×107km B．1.4960×108km
C．1.4960×109km D．0.14960×109km
9．一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
10．如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD：AB＝3：1，则点C的坐标是（　　）

A．（2，7） B．（3，7） C．（3，8） D．（4，8）
11．已知∠AOB，作图．
步骤1：在OB上任取一点M，以点M为圆心，MO长为半径画半圆，分别交OA、OB于点P、Q；
步骤2：过点M作PQ的垂线交于点C；
步骤3：画射线OC．
则下列判断：①＝；②MC∥OA；③OP＝PQ；④OC平分∠AOB，其中正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共4小题）
12．已知x＝1是关于x的方程ax2﹣2x+3＝0的一个根，则a＝　 　．
13．已知圆锥的底面圆半径是1，母线是3，则圆锥的侧面积是　 　．
14．四边形ABCD内接于圆，若∠A＝110°，则∠C＝　 　度．
15．如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是　 　．

三．解答题（共9小题）
16．（1）解不等式：（x﹣1）＞2+3x；
（2）解方程组：．
17．先化简，再求值：（m+2﹣）•，其中m＝﹣．
18．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若AC＝AE，求∠DEC的度数．

19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，点O在AB上，OB＝2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．

20．某兴趣小组为了了解本校学生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校40名学生进行问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图：

根据以上信息解答下列问题：
（1）课外体育锻炼情况统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为　 　；“经常参加课外体育锻炼的学生最喜欢的一种项目”中，喜欢足球的人数有　 　人，补全条形统计图．
（2）该校共有1200名学生，请估计全校学生中经常参加课外体育锻炼并喜欢的项目是乒乓球的人数有多少人？
（3）若在“乒乓球”、“篮球”、“足球”、“羽毛球”项目中任选两个项目成立兴趣小组，请用列表法或画树状图的方法求恰好选中“乒乓球”、“篮球”这两个项目的概率．
21．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点B（﹣2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点D（3﹣3n，1）是该反比例函数图象上一点．
（1）求m的值；
（2）若∠DBC＝∠ABC，求一次函数y＝kx+b的表达式．

22．某品牌牛奶专营店销售一款牛奶，售价是在进价的基础上加价a%出售，每月的销售额可以达到9.6万元，但每月需支出2.45万元的固定费用及进价的2.5%的其他费用．
（1）如果该款牛奶每月所获的利润要达到1万元，那么a的值是多少？（利润＝售价﹣进价﹣固定费用﹣其他费用）
（2）现这款牛奶的售价为64元/盒，根据市场调查，这款牛奶如果售价每降低1%，销售量将上升8%，求这款牛奶调价销售后，每月可获的最大利润．
23．在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为：1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”ABCD中，P为DC边上一定点，且CP＝BC，如图所示．

（1）如图①，求证：BA＝BP；
（2）如图②，点Q在DC上，且DQ＝CP，若G为BC边上一动点，当△AGQ的周长最小时，求的值；
（3）如图③，已知AD＝1，在（2）的条件下，连接AG并延长交DC的延长线于点F，连接BF，T为BF的中点，M、N分别为线段PF与AB上的动点，且始终保持PM＝BN，请证明：△MNT的面积S为定值，并求出这个定值．
24．已知直线y＝kx+b与抛物线y＝ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．
（1）若∠AOB＝60°，AB∥x轴，AB＝2，求a的值；
（2）若∠AOB＝90°，点A的横坐标为﹣4，AC＝4BC，求点B的坐标；
（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE＝CO．


参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．﹣的绝对值是（　　）
A．﹣ B． C．2 D．﹣2
【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可．
【解答】解：|﹣|＝，
故选：B．
2．下列运算正确的是（　　）
A．m•m＝2m B．（mn）3＝mn3 C．（m2）3＝m6 D．m6÷m2＝m3
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方等于乘方的积，幂的乘方底数不变指数相乘，同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A不符合题意；
B、积的乘方等于乘方的积，故B不符合题意；
C、幂的乘方底数不变指数相乘，故C符合题意；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D不符合题意；
故选：C．
3．若3x＞﹣3y，则下列不等式中一定成立的是（　　）
A．x+y＞0 B．x﹣y＞0 C．x+y＜0 D．x﹣y＜0
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解答】解：两边都除以3，
得x＞﹣y，
两边都加y，得
x+y＞0，
故选：A．
4．计算+的结果是（　　）
A． B． C． D．1
【分析】根据同分母的分式的加法法则计算即可．
【解答】解：原式＝＝＝1．
故选：D．
5．在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【解答】解：点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2），
故选：A．
6．某班测量了10名学生的身高，他们的身高与对应的人数如下表所示
身高（cm）
163
165
170
172
173
学生人数（人）
1
2
3
2
2
则这10名学生身高的众数和中位数分别为（　　）
A．165cm，165cm B．170cm，165cm
C．165cm，170cm D．170cm，170cm
【分析】根据表格可以直接得到这10名学生身高的众数，然后将表格中数据按从小到大的顺序排列即可得到中位数．
【解答】解：由表格可知，170cm出现了3次，出现的次数最多，则这10名学生身高的众数是170cm；
这10名学生身高按从小到大排列是：163、165、165、170、170、170、172、172、173、173，
则这10名学生身高的中位数是＝170（cm）；
则这10名学生身高的众数和中位数分别为170cm，170cm；
故选：D．
7．关于抛物线y＝（x+1）2﹣2，下列结论中正确的是（　　）
A．对称轴为直线x＝1
B．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小
C．与x轴没有交点
D．与y轴交于点（0，﹣2）
【分析】直接利用二次函数的性质分别分析得出答案．
【解答】解：抛物线y＝（x+1）2﹣2，对称轴为直线x＝﹣1，故此选项A错误；
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项B正确；
∵抛物线y＝（x+1）2﹣2，开口向上，顶点坐标为：（﹣1，﹣2），
∴与x轴有2个交点，故选项C错误；
当x＝0时，y＝﹣1，故图象与y轴交于点（0，﹣1），故选项D错误．
故选：B．
8．一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即1.4960亿km，用科学记数法表示1个天文单位是（　　）
A．14.960×107km B．1.4960×108km
C．1.4960×109km D．0.14960×109km
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：1.4960亿＝1.4960×108，
故选：B．
9．一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．
【解答】解：A、原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A与要求不符；
B、原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B与要求不符；
C、原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与要求不符；
D、原来数据的方差＝＝，
添加数字2后的方差＝＝，故方差发生了变化．
故选：D．
10．如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD：AB＝3：1，则点C的坐标是（　　）

A．（2，7） B．（3，7） C．（3，8） D．（4，8）
【分析】过C作CE⊥y轴于E，根据矩形的性质得到CD＝AB，∠ADC＝90°，根据余角的性质得到∠DCE＝∠ADO，根据相似三角形的性质得到CE＝OD＝2，DE＝OA＝1，于是得到结论．
【解答】解：过C作CE⊥y轴于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB，∠ADC＝90°，
∴∠ADO+∠CDE＝∠CDE+∠DCE＝90°，
∴∠DCE＝∠ADO，
∴△CDE∽△ADO，
∴，
∵OD＝2OA＝6，AD：AB＝3：1，
∴OA＝3，CD：AD＝，
∴CE＝OD＝2，DE＝OA＝1，
∴OE＝7，
∴C（2，7），
故选：A．

11．已知∠AOB，作图．
步骤1：在OB上任取一点M，以点M为圆心，MO长为半径画半圆，分别交OA、OB于点P、Q；
步骤2：过点M作PQ的垂线交于点C；
步骤3：画射线OC．
则下列判断：①＝；②MC∥OA；③OP＝PQ；④OC平分∠AOB，其中正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由OQ为直径可得出OA⊥PQ，结合MC⊥PQ可得出OA∥MC，结论②正确；根据平行线的性质可得出∠POQ＝∠CMQ，结合圆周角定理可得出∠COQ＝∠POQ＝∠POC，进而可得出＝，OC平分∠AOB，结论①④正确；由∠AOB的度数未知，不能得出OP＝PQ，即结论③错误．综上即可得出结论．
【解答】解：∵OQ为直径，
∴∠OPQ＝90°，OA⊥PQ．
∵MC⊥PQ，
∴OA∥MC，结论②正确；
∵OA∥MC，
∴∠POQ＝∠CMQ．
∵∠CMQ＝2∠COQ，
∴∠COQ＝∠POQ＝∠POC，
∴＝，OC平分∠AOB，结论①④正确；
∵∠AOB的度数未知，∠POQ和∠PQO互余，
∴∠POQ不一定等于∠PQO，
∴OP不一定等于PQ，结论③错误．
综上所述：正确的结论有①②④．
故选：C．

二．填空题（共4小题）
12．已知x＝1是关于x的方程ax2﹣2x+3＝0的一个根，则a＝　﹣1　．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝1代入方程得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程，得a﹣2+3＝0，
解得a＝﹣1．
故答案为﹣1．
13．已知圆锥的底面圆半径是1，母线是3，则圆锥的侧面积是　3π　．
【分析】求出圆锥的底面圆的周长，根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵圆锥的底面圆半径是1，
∴圆锥的底面圆的周长＝2π，
则圆锥的侧面积＝×2π×3＝3π，
故答案为：3π．
14．四边形ABCD内接于圆，若∠A＝110°，则∠C＝　70　度．
【分析】根据圆内接四边形的性质计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝110°，
∴∠C＝70°，
故答案为：70．
15．如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是　15　．

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝15，
故答案为：15．
三．解答题（共9小题）
16．（1）解不等式：（x﹣1）＞2+3x；
（2）解方程组：．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、系数化为1可得．
（2）利用加减消元法求解即可．
【解答】解：（1）：（x﹣1）＞2+3x，
去括号，得：x﹣＞2+3x，
移项、合并，得：﹣x＞，
系数化为1，得：x＜﹣1；
（2）
②﹣①×2得y＝3，
把y＝3代入①得x＝2，
所以方程组的解为．
17．先化简，再求值：（m+2﹣）•，其中m＝﹣．
【分析】此题的运算顺序：先括号里，经过通分，再约分化为最简，最后代值计算．
【解答】解：（m+2﹣）•，
＝•，
＝﹣•，
＝﹣2（m+3）．
把m＝﹣代入，得
原式＝﹣2×（﹣+3）＝﹣5．
18．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若AC＝AE，求∠DEC的度数．

【分析】（1）根据同角的余角相等可得到∠3＝∠5，结合条件可得到∠1＝∠D，再加上BC＝CE，可证得结论；
（2）根据∠ACD＝90°，AC＝CD，得到∠2＝∠D＝45°，根据等腰三角形的性质得到∠4＝∠6＝67.5°，由平角的定义得到∠DEC＝180°﹣∠6＝112.5°．
【解答】解：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，
∴∠3+∠4＝∠4+∠5，
∴∠3＝∠5，
在△ABC和△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC（AAS），
∴AC＝CD；
（2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴∠2＝∠D＝45°，
∵AE＝AC，
∴∠4＝∠6＝67.5°，
∴∠DEC＝180°﹣∠6＝112.5°．

19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，点O在AB上，OB＝2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．

【分析】连接OD，首先证明四边形OFCD是矩形，从而得到BF的长，然后利用垂径定理求得BE的长即可．
【解答】解：连接OD，作OF⊥BE于点F．
∴BF＝BE，
∵AC是圆的切线，
∴OD⊥AC，
∴∠ODC＝∠C＝∠OFC＝90°，
∴四边形ODCF是矩形，
∵OD＝OB＝FC＝2，BC＝3，
∴BF＝BC﹣FC＝BC﹣OD＝3﹣2＝1，
∴BE＝2BF＝2．

20．某兴趣小组为了了解本校学生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校40名学生进行问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图：

根据以上信息解答下列问题：
（1）课外体育锻炼情况统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为　144°　；“经常参加课外体育锻炼的学生最喜欢的一种项目”中，喜欢足球的人数有　1　人，补全条形统计图．
（2）该校共有1200名学生，请估计全校学生中经常参加课外体育锻炼并喜欢的项目是乒乓球的人数有多少人？
（3）若在“乒乓球”、“篮球”、“足球”、“羽毛球”项目中任选两个项目成立兴趣小组，请用列表法或画树状图的方法求恰好选中“乒乓球”、“篮球”这两个项目的概率．
【分析】（1）用“经常参加”所占的百分比乘以360°计算得到“经常参加”所对应的圆心角的度数；先求出“经常参加”的人数，然后减去其它各组人数得出喜欢足球的人数；进而补全条形图；
（2）用总人数乘以喜欢篮球的学生所占的百分比计算即可得解；
（3）先利用树状图展示所有12种等可能的结果数，找出选中的两个项目恰好是“乒乓球”、“篮球”所占结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）360°×（1﹣15%﹣45%）＝360°×40%＝144°；
“经常参加”的人数为：40×40%＝16人，
喜欢足的学生人数为：16﹣6﹣4﹣3﹣2＝1人；
补全统计图如图所示：
故答案为：144°，1；

（2）全校学生中经常参加课外体育锻炼并喜欢的项目是乒乓球的人数约为：1200×＝180人；

（3）设A代表“乒乓球”、B代表“篮球”、C代表“足球”、D代表“羽毛球”，画树状图如下：

共有12种等可能的结果数，其中选中的两个项目恰好是“乒乓球”、“篮球”的情况占2种，
所以选中“乒乓球”、“篮球”这两个项目的概率是＝．

21．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点B（﹣2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点D（3﹣3n，1）是该反比例函数图象上一点．
（1）求m的值；
（2）若∠DBC＝∠ABC，求一次函数y＝kx+b的表达式．

【分析】（1）由点B（﹣2，n）、D（3﹣3n，1）在反比例函数y＝（x＜0）的图象上可得﹣2n＝3﹣3n，即可得出答案；
（2）由（1）得出B、D的坐标，作DE⊥BC、延长DE交AB于点F，证△DBE≌△FBE得DE＝FE＝4，即可知点F（2，1），再利用待定系数法求解可得．
【解答】解：（1）∵点B（﹣2，n）、D（3﹣3n，1）在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
∴，
解得：．

（2）由（1）知反比例函数解析式为y＝﹣，
∵n＝3，
∴点B（﹣2，3）、D（﹣6，1），
如图，过点D作DE⊥BC于点E，延长DE交AB于点F，

在△DBE和△FBE中，
∵，
∴△DBE≌△FBE（ASA），
∴DE＝FE＝4，
∴点F（2，1），
将点B（﹣2，3）、F（2，1）代入y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴y＝﹣x+2．
22．某品牌牛奶专营店销售一款牛奶，售价是在进价的基础上加价a%出售，每月的销售额可以达到9.6万元，但每月需支出2.45万元的固定费用及进价的2.5%的其他费用．
（1）如果该款牛奶每月所获的利润要达到1万元，那么a的值是多少？（利润＝售价﹣进价﹣固定费用﹣其他费用）
（2）现这款牛奶的售价为64元/盒，根据市场调查，这款牛奶如果售价每降低1%，销售量将上升8%，求这款牛奶调价销售后，每月可获的最大利润．
【分析】（1）根据利润＝销售收入﹣（进货成本+固定费用+其它费用），即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）列出二次函数的解析式后求最值即可．
【解答】解：依题意，得：96000﹣（+24500+×2.5%）＝10000，
解得：a＝60，
经检验，a＝60是原方程的解，且符合题意．
答：a的值是60．
（2）牛奶的进价为：＝40元/盒，所进盒数为＝1500盒，
设新售价调整为x元/盒，则新的盒数为：（×8+1）×1500盒，
由题意得调整后的总利润w＝（x﹣40）（×8+1）×1500﹣24500﹣×2.5%
＝﹣187.5（x﹣56）2+22000，
∴当x＝56时，w的最大值为22000，
答：当新的售价调整为56元/盒时，可获得最大利润为22000元．
23．在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为：1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”ABCD中，P为DC边上一定点，且CP＝BC，如图所示．

（1）如图①，求证：BA＝BP；
（2）如图②，点Q在DC上，且DQ＝CP，若G为BC边上一动点，当△AGQ的周长最小时，求的值；
（3）如图③，已知AD＝1，在（2）的条件下，连接AG并延长交DC的延长线于点F，连接BF，T为BF的中点，M、N分别为线段PF与AB上的动点，且始终保持PM＝BN，请证明：△MNT的面积S为定值，并求出这个定值．
【分析】（1）如图①中，设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝a．通过计算得出AB＝BP＝a，由此即可证明；
（2）如图②中，作Q关于BC的对称点Q′，连接AQ′交BC于G，此时△AQG的周长最小．设AD＝BC＝QD＝a，则AB＝CD＝a，可得CQ＝CQ′＝a﹣a，由CQ′∥AB，推出＝＝＝；
（3）如图③中，作TH∥AB交NM于H，交BC于K．由S△MNT＝•TH•CK+•TH•BK＝HT•（KC+KB）＝HT•BC＝HT，利用梯形的中位线定理求出HT即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图①中，设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝a．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，
∵PC＝AD＝BC＝a，
∴PB＝＝a，
∴BA＝BP．

（2）解：如图②中，作Q关于BC的对称点Q′，连接AQ′交BC于G，此时△AQG的周长最小．

设AD＝BC＝QD＝a，则AB＝CD＝a，
∴CQ＝CQ′＝a﹣a，
∵CQ′∥AB，
∴＝＝＝．

（3）证明：如图③中，设MN交AF于H．由（2）可知CF＝PD＝BPM，

∴PF＝AB，AN＝FM，可得△FMH≌△ANH，
∴HM＝HN，AH＝HF，连接TH交BC于K，
由（2）可知，AD＝BC＝1，AB＝CD＝，DP＝CF＝﹣1，
∵S△MNT＝•TH•CK+•TH•BK＝HT•（KC+KB）＝HT•BC＝HT，
∵TH∥AB∥FM，TF＝TB，
∴HM＝HN，
∴HT＝（FM+BN），
∵BN＝PM，
∴HT＝（FM+PM）＝PF＝•（1+﹣1）＝，
∴S△MNT＝HT＝＝定值．
解法二：延长MT交AB的延长线于点O．只要证明△MFT≌△OBT，可得NO＝PF＝．
根据△MNT的面积等于△MNO面积的一半即可解决问题；
24．已知直线y＝kx+b与抛物线y＝ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．
（1）若∠AOB＝60°，AB∥x轴，AB＝2，求a的值；
（2）若∠AOB＝90°，点A的横坐标为﹣4，AC＝4BC，求点B的坐标；
（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE＝CO．

【分析】（1）如图1，由条件可知△AOB为等边三角形，则可求得OA的长，在Rt△AOD中可求得AD和OD的长，可求得A点坐标，代入抛物线解析式可得a的值；
（2）如图2，作辅助线，构建平行线和相似三角形，根据CF∥BG，由A的横坐标为﹣4，得B的横坐标为1，所以A（﹣4，16a），B（1，a），证明△ADO∽△OEB，则，得a的值及B的坐标；
（3）如图3，设AC＝nBC由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B（m，am2），则A（﹣mn，am2n2），分别根据两三角形相似计算DE和CO的长即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，∵抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，且AB∥x轴，
∴A与B是对称点，O是抛物线的顶点，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB＝2，AB⊥OC，
∴AC＝BC＝1，∠BOC＝30°，
∴OC＝，
∴A（﹣1，），
把A（﹣1，）代入抛物线y＝ax2（a＞0）中得：a＝；
（2）如图2，过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y轴于F，
∵CF∥BG，
∴，
∵AC＝4BC，
∴＝4，
∴AF＝4FG，
∵A的横坐标为﹣4，
∴B的横坐标为1，
∴A（﹣4，16a），B（1，a），
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD+∠BOE＝90°，
∵∠AOD+∠DAO＝90°，
∴∠BOE＝∠DAO，
∵∠ADO＝∠OEB＝90°，
∴△ADO∽△OEB，
∴，
∴，
∴16a2＝4，
a＝±，
∵a＞0，
∴a＝；
∴B（1，）；
（3）如图3，设AC＝nBC，
由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的﹣n倍，
则设B（m，am2），则A（﹣mn，am2n2），
∴AD＝am2n2，
过B作BG⊥x轴于G，
∴DE∥BG，
∴△BOG∽△EOD，
∴，
∴，
∴＝，DE＝am2n，
∴＝，
∵OC∥AE，
∴△BCO∽△BAE，
∴，
∴＝，
∴CO＝＝am2n，
∴DE＝CO．