初中数学人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用课堂检测

这是一份初中数学人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用课堂检测，共14页。
28.2.2  应用举例1．如图28-2-2-1，某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心，AD长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形区域的直径，在⊙O的切线BD（点D为切点）上选择相距300米的B、C两点，分别测得∠ABD=30º，∠ACD=60º，则直径AD=_______米．（结果精确到1米）（参考数据：≈1.414，≈1.732）2．如图28-2-2-2，点A、B为地球仪的南、北极点，直线AB与放置地球仪的平面交于点D，所成的角度约为67º，半径OC所在的直线与放置平面垂直，垂足为点E.DE=15 cm，AD=14 cm.求半径OA的长．（精确到0.1 cm）(参考数据：sin 67º≈0.92，cos 67º≈0.39,tan 67º≈2.36)3．如图28-2-2-3，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受风的影响，以30米/分钟的速度沿与地面成75º角的方向飞行．25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30º，则小山东西两侧A，B两点间的距离为    (    )A.750m       B.375m      C.375m      D.750m4．如图28-2-2-4所示，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500 m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60º和45º，则隧道AB的长为______．（参考数据：=1.73）5．如图28-2-2-5，一枚运载火箭从距雷达站C处5 km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34º，45º，其中点O，A，B在同一条直线上，求A，B两点间的距离．（结果精确到0.1 km）(参考数据：sin 34º=0.56，cos 34º=0.83,tan 34º=0.67)6．如图28-2-2-6，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45º方向，距离灯塔60 n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔p的北偏东30º方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为    (    )A.60n mile      B.60n mile       C.30n mile        D.30n mile7．如图28-2-2-7，C地在A地的正东方向上，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67º方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30º方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地高铁线路的长．（结果保留整数）参考数据：sin 67º≈，cos 67º≈，tan 67º≈，≈1.73）8．如图28-2-2-8，修建抽水站时，沿着坡度为i=1：的斜坡铺设水管，若测得水管A处铅直高度为8 m．则所铺设水管AC的长度为    (    )A.8 m             B.12 m        C.14 m          D.16 m9．为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图28-2-2-9所示．已知AE=4米，∠EAC=130º，求水坝原来的高度BC.(参考数据：sin 50º≈0.77 ,cos 50º≈0.64,tan 50º≈1.2)10.如图28-2-2-10，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3m．则鱼竿转过的角度是    (    )A.60º  B.45º  C.15º   D.90º11.美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一，数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图28-2-2-11，测得∠DAC=45º，∠DBC=65º．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米．(结果精确到1米，参考数据：sin 65º≈0.91，cos 65º≈0.42,tan 65º≈2.14)12．某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图28-2-2-12，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为45º，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13 m至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度为    (    )A.18 m             B.13 m           C.12 m            D.5 m13．如图28-2-2-13，一堤坝的迎水面DC与水平面的夹角为40º(∠DCE=40º)，现将堤坝迎水面改为AB，坡度为1:3，其中水平宽度加宽BD为4m，AC为15.2 m．则新的迎水面AB的长约为(参考数据：sin 40º≈0.64.cos 40º≈0.77.tan 40º≈0.84．≈3.16)    (    )A.31.2 m         B.26.6 m         C.25.2 m        D.24.2 m14．如图28-2-2-14，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70º方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50º方向匀速航行．1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25º方向上，则灯塔C与码头B的距离是    (    )A.10海里        B.10海里     C.10海里     D.20海里15．如图28-2-2-15，某中学在教学楼前新建了一座雕塑AB.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角尺测得雕塑顶端点A的仰角为30º，底部点B的俯角为45º．小华在五楼找到一点D，利用三角尺测得点A的俯角为60º．若CD为9.6 m，则雕塑AB的高度约为_______m（结果精确到O.1 m，参考数据：≈1.73）16．如图28-2-2-16所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45º，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为______米．（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）17．某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45º的传送带AB，调整为坡度i=1：的新传送带AC(如图28-2-2-17所示)．已知原传送带AB的长是4米，那么新传送带AC的长是_________米．18．河堤横断面如图28-2-2-18所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是    (    )A.12米      B.4米          C.5米          D.6米19．如图28-2-2-19，一艘潜艇在海面下500米A处测得俯角为30º的海底C处有一黑匣子发出信号，继续在同一深度直线航行4000米后，在B处测得俯角为60º的海底也有该黑匣子发出的信号，则黑匣子所在位置点C在海面下的深度为    (    )A.2000米     B.4000米      C.2000米       D.(2000+500)米20．如图28-2-2-20，在水塔O的东北方向32 m处有一抽水站A．在水塔的东南方向24 m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为_______．21．图28-2-2-21是小明家所在小区的前后两栋楼AB、CD，小明在自己所住楼AB的底部A处，利用对面楼CD墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼AB顶部B处的仰角是α，若tan α=0.45，两楼的间距为30米，则小明家所住楼AB的高度是_______米．22．校车安全是最近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的试验：如图28-2-2-22，先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于24米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30º,∠CBD=60º.(1)求AB的长（结果保留根号）；(2)已知本路段对校车限速为45千米／时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，则这辆校车是否超速？说明理由．（参考数据：≈1.73，≈1.41）23．如图28-2-2-23，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为    (    )A.800sinɑ米      B.800tanɑ米       C.米       D.米24．如图28-2-2-24，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35º，则小河宽PA等于    (    )A.100sin35º米      B.100sin55º米     C.100tan35º米        D.100tan55º米25．如图28-2-2-25，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31º，AB的长约为12米，则大厅两层之间的距离BC为_______米．（结果精确到0.1米）(参考数据：sin 31º=0.515，cos 31º=0.857，tan 31º=0.601)26．如图28-2-2-26，在一笔直的海岸线l上有相距2 km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60º的方向上，从B站测得船C在北偏东30º的方向上，则船C到海岸线l的距离是_______km.27．随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起，高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图28-2-2-27，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程，已知：∠CAB=30º，∠CBA=45º，AC=640千米，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少千米．（参考数据：≈1.7，≈1.4）28．某校兴趣小组借助无人飞机航拍校园，如图28-2-2-28，无人飞机从A处沿水平方向飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向分别测得A处的仰角为750，B处仰角为30º．已知无人飞机的飞行速度为4米／秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）29．如图28-2-2-29①②，图28-2-2-29①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图28-2-2-29②，已知铁环的半径为25 cm，设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切，切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA=α，且sin α=，若人站立点C与点A的水平距离AC等于55 cm，则铁环钩MF的长度为    (    )A.46 cm  B.48 cm  C.50 cm  D.52 cm30．图28-2-2-30是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC为2.6 m，斜坡AB的坡度为1：2.4，现把货物继续向前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，则货物的高度BD不能超过_________m．          28.2.2应用举例答案1．答案  260解析  ∠ABD=30º,∠ACD=60º，设CD=x米，则AC=2x米，AD=x米,∴tan B=,∴,解得x=150,∴AD=x=×150≈260米．2．解析  在Rt△ODE中,DE=15(cm),∠ODE=67º,∵cos∠ODE=,∴OD≈≈38.46(cm)，∴OA=OD-AD=38.46-14≈24.5( cm).答：半径OA的长约为24.5 cm.3.A如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D,在Rt△ACD中，∠ACD=75º-30º=45º,AC=30×25=750(m),∴AD=AC·sin 45º=375(m).在Rt△ABD中，∵∠B=30º,∴AB=2AD=750(m).故选A．4．答案635  解析  由题意得∠AC0=30º,∠CB0=45º,∴OA=1500tan 30º=1500×,OB=OC=1500,∴AB=OB-OA=1500-=635(m).5．解析  由题意，得∠AOC=90º,OC=5 km.在Rt△AOC中，∴tan 34º=，∴OA=OC·tan 34º=5×0.67=3.35(km).在Rt△BOC中,∠BC0=45º,∴OB=OC=5 km.∴AB=5-3.35=1.65≈1.7(km).答：A,B两点间的距离约为1.7 km.6.B过点P作PC⊥AB交AB于点C．依题意得∠APC=90º-45º=45º, ∠BPC=90º-30º=60º,AP=60 n mile,∴PC=30n mile,∴PB=2PC=60n mile.7．解析  过点B作BD⊥AC于D．  在Rt△ABD中，AB=520，∠ABD=67º，∴sin 67º=.解得AD≈480,tan 67º=，解得BD≈200.在Rt△CBD中，∠CBD=30º，∴tan30º=，解得DC≈115.3．∴AC=AD+DC=480+115.3≈595答：A地到C地的高铁线路的长约为595 km.8．D∵坡度为i=1:，∴AB：BC=1：，∴AB=8,∴BC=8,∴AC==16，故所铺设水管AC的长度为16 m．故选D．9．解析设BC=x米，∵∠CAB=180º-∠EAC=50º．∴在Rt△ABC中，AB=（米），∵在Rt△EBD中，i=DB:EB=1:1,∴BD=EB.∴CD+BC=AE+AB，即2+x=4+，解得x=12．∴BC=12米．答：水坝原来的高度BC为12米．10.C∵sin∠CAB=,∴∠CAB=45º．∵sin∠C′AB′=，∴∠C′AB′=60º．∴∠CAC′=60º-45º=15º，鱼竿转过的角度是15º．故选C．11.解析如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE=x（米），在Rt△DEB中，tan∠DBE=，∵∠DBC=65º．∴DE=xtan 65º.又∵∠DAC=45º,∴AE=DE．∴132+x=xtan 65º,∴x≈115.8,∴DE≈248.∴观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．12.B如图，作BF⊥AE于F，则FE=BD=6 m，DE=BF.∵斜坡AB的坡度i=1：2.4，∴AF=2.4BF,设BF=x m,AF=2.4x m,在Rt△ABF中，由勾股定理得x²+(2.4x)²=13²，解得x=5．∴DE=BF=5 m,AF=12 m,∴AE=AF+FE=18 m,在Rt△ACE中，CE=AE·tan 45º=18×1=18 m,∴ CD=CE-DE=18-5=13 m.故选B．13.B  如图，过B点作BF⊥AE于F，DC⊥AE于G，则BD=FG=4 m,BF=DG.∴tan∠DCE=≈0.84，∴可设CG=xm ,DG=BF=0.84xm．∴CF=CC-FG=(x-4)m,AF=AC+CF=（15.2+x）m．∵堤坝迎水面AB的坡度为1:3．∴0.84x：（15.2+x）=1:3，解得x=10，则BF=8.4 m．AF=25.2 m.∵在Rt△ABF中，∠AFB=90º,∴AB=≈26.6 m，即新的迎水面AB的长约为26.6 m．故选B．14.C  ∠CBA=25º+50º=75º．作BD⊥AC于点D．∵∠CAB=(90º-70º)+(90º-50º)=20º+40º=60º,则∠ABD=30º,∴∠CBD=75º-30º=45º．在直角△ABD中，BD=AB·sin∠DAB=20sin 60º=20×（海里）．在直角△BCD中，∠CBD=45º，则BC=(海里)．15．答案6.6解析  如图，过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF∥CE，∵∠ADC=90º-60º=30º, ∠ACD=90º-30º=60º,∴∠CAD=90º．∵CD=9.6，∴AC=2CD=4.8.在Rt△ACE中，∵∠AEC=90º,∠ACE=30º，∴AE=AC=2.4,CE=AC·cos ∠ACE=4.8·cos 30º=，在Rt△BCE中，∵∠BCE=45º，∴BE=CE=．∴AB=AE+BE=2.4+≈6.6，即雕塑AB的高度约为6.6 m．16．答案39.4解析如图，延长AB交DC的延长线于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，∵梯坎坡度i=l：，∴BH：CH=1：，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，由勾股定理得x²+（x）²=12²，解得x=6,∴BH=6米，CH=6米，∴BG=GH-BH=15-6=9（米），EG=DH=CH+CD=(6+20)米，∴∠α=450,∴AG=EG=(6+20)米，∴AB=AG+BG=6+20+9≈39.4（米）．17．答案8解析如图，过点A作AD⊥CB，交CB的延长线于点D，∵∠ABD=45º，AB=4,∴AD=AB sin 45º=4=4，∵新传送带的坡度i=l：,∴，则DC=4，故AC==8．所以新传送带AC的长为8米.18．A   Rt△ABC中，BC=6米，，∴AC=BC=6米，∴AB==12米，故选A．19.D如图，由C点向AB作垂线，交AB的延长线于E点，并交海面于F点．由题意知AB=4000（米），∠BAC=30º，∠EBC=60º．∴∠BCA=∠EBC-∠BAC=30º，∴∠BAC=∠BCA.∴BC=BA=4000（米）．在Rt△BEC中，EC=BC·sin 60º=4000×（米）．∴CF=CE+EF：（2000+500）米．故选D．20．答案40 m解析由题意可得∠AOB=90º，又∵OA=32 m，OB=24 m，∴AB==40 m．21．答案27  解析如图，作PE⊥AB于点E，在直角△AEP中，∠APE=∠A,则AE=PE·tan∠APE=30×0.45=13.5（米），则AB=2AE=27（米）．22．解析(1)由题意得，在Rt△ADC中，AD=，在Rt△BDC中，BD=，所以AB=AD-BD=16，即AB的长为16米．(2)超速．理由：因为汽车从A到曰用时2秒，所以速度约为16×1.73÷2=13.84米／秒，因为13.84×3.6=49.824，所以该校车的速度为49.824千米／时，大于45千米／时，所以此校车在AB路段超速．23.D在Rt△ABC中，∵∠CAB=90º,∠B=α,AC=800米，∴tan α=,∴AB=米．故选D．24.C  ∵PA⊥PB,PC=100米,∠PCA=35º,∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan 35º米．故选C．25．答案6.2  解析在Rt△ABC中，∵∠ACB=90º, ∠A=31º,AB=12米，∴BC=AB·sin∠A=12×0.515≈6.2(米).即大厅两层之间的距离BC约为6.2米．26．答案  解析过点C作CD⊥l于点D，根据题意得∠CAD=90º-60º=30º,∠CBD=90º-30º=60º,∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=  30º,∴∠CAB=∠ACB,∴BC=AB=2 km,在Rt△CBD中,CD=  BC·sin 60º=2× km.27．解析过点C作CD⊥AB于点D,在Rt△ADC和Rt△BCD中．∵∠CAB=30º．∠CBA=45º,AC=64º,∴CD=320．AD=320．BD=CD=320，BC=320，∴AC+BC=640+320≈1088,∴AB=AD+BD=320+320≈864,∴1088-864=224(千米)．  答：隧道打通后与打通前相比，从A地到曰地的路程将缩短约224千米．28．解析如图所示，过A作AD⊥BC于D,过B作BE⊥水平线于E,∵AB∥CE,∴∠ABC=∠BCE=30º,∵∠ACE=75º,∠BCE=30º,∴∠ACD=45º．在Rt△ABD中,AB=4×8=32,∠ABD=30º,∴AD=16,BD=16√亨,在Rt△ACD中,AD=16,∠ACD=45º,∴CD=AD=16.在Rt△BCE中,BC=CD+BD=16+16,∠BCE=30º,∴BE=（16+16）=8+8．答：这架无人飞机的飞行高度是（8+8）米．29.C过肘作与AC平行的直线，与OA、FC分别交于H、N在Rt△OHM中，∠OHM=90º，OM=25,HM=OM·sin α=15，所以OH=20，MB=HA=25-20=5．∵铁环钩与铁环相切，∴∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90º．∠FMN=∠MOH=α,∴,∴FN=FM.在Rt△FMN中，∠FNM=90º，MN=BC=AC-AB=55-15=40．∵FM²=FN²+MN²，即FM²=（）²+40²，解得FM=50,∴铁环钩的长度FM为50 cm．故选C．30．答案2.4解析如图，点D与点C重合时，B′C=BD，∠B′CB=∠CBD.=∠A．∵tan A=，∴tan∠BCB′=，设B′B=x m，b′C=2.4x m，在Rt△B′CB中，∵∠B′=90º,∴B′B²+B′C²=BC²,即x²+（2.4x）²=2.6²，解得x=1（负值舍去），∴BD=B′C=2.4 m.