物理必修 第二册4 机械能守恒定律当堂达标检测题

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A．由A到B重力做的功等于mgh
B．由A到B重力势能减少eq \f(1,2)mv2
C．由A到B弹簧弹力做功为－mgh
D．小球到达位置B时弹簧的弹性势能为mgh－eq \f(1,2)mv2
答案 AD
解析 重力做功只与初末位置的高度差有关，则由A至B重力做功为mgh，故A正确；由A至B重力做功为mgh，则重力势能减少mgh，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，设小球在B处时弹簧的弹性势能为Ep，由机械能守恒定律有mgh＝Ep＋eq \f(1,2)mv2，故mgh>eq \f(1,2)mv2，Ep＝mgh－eq \f(1,2)mv2，弹簧弹力做功W弹＝－ΔEp＝－Ep＝eq \f(1,2)mv2－mgh，故B、C错误，D正确。
2．(多选)如图所示，质量均为m的a、b两球固定在轻杆的两端，杆可绕水平轴O在竖直面内无摩擦转动，已知两球距轴O的距离L1>L2，现在由水平位置静止释放，在a下降过程中( )
A．a、b两球角速度相等
B．a、b两球向心加速度相等
C．杆对a、b两球都不做功
D．a、b两球机械能之和保持不变
答案 AD
解析 因为a、b两球围绕同一个固定轴转动，所以角速度相等，A正确。a＝ω2r，半径不同，向心加速度不同，B错误。a球和b球组成的系统机械能守恒，D正确。b球的动能和势能都增加，故杆对b球做正功，对a做负功，C错误。
3．(多选)如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架。在A处固定质量为2m的小球甲，B处固定质量为m的小球乙，支架悬挂在O点，可绕O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB竖直，放手后开始运动。在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是( )
A．甲球到达最低点时速度为零
B．甲球机械能减少量等于乙球机械能增加量
C．乙球向左摆动所能达到的最高位置应高于甲球开始运动时的高度
D．当支架从左至右回摆时，甲球一定能回到起始高度
答案 BCD
解析 甲球和乙球组成的系统机械能守恒，可判断只有A错误。
4．如图所示，地面上竖直放一根轻弹簧，其下端和地面固定连接，一物体从弹簧正上方距弹簧一定高度处自由下落，则( )
A．物体和弹簧接触时，物体的动能最大
B．物体从接触弹簧至离开弹簧的过程中，物体的动能和弹簧弹性势能的和不断增加
C．物体从接触弹簧至离开弹簧的过程中，物体的动能和弹簧弹性势能的和先增加后减少
D．物体在反弹阶段动能一直增加，直到物体脱离弹簧为止
答案 C
解析 物体在下落过程中，只受重力和弹簧弹力作用，总的机械能是守恒的；物体和弹簧接触后，受重力和向上的弹力作用，物体下落阶段，先是重力大于弹力，然后是弹力大于重力，故物体先加速后减速，动能先增加后减少，即物体和弹簧接触时，物体的动能未达到最大，A错误。同理，物体在反弹阶段，未脱离弹簧时，动能先增加后减少，D错误。物体从接触弹簧至离开弹簧的过程中，先下落后上升，物体的重力势能先减少后增加，由于物体和弹簧组成的系统机械能守恒，所以物体的动能和弹簧弹性势能的和先增加后减少，故C正确，B错误。
5．如图，一轻弹簧左端固定在长木块B的左端，右端与小木块A连接，且A、B及B与地面间接触面光滑。开始时，A和B均静止，现同时对A、B施加等大反向的水平恒力F1和F2。在两物体开始运动以后的整个运动过程中，对A、B和弹簧组成的系统(整个过程中弹簧形变不超过其弹性限度)，下列说法正确的是( )
A．由于F1、F2等大反向，故系统机械能守恒
B．F1、F2分别对A、B做正功，故系统机械能不断增加
C．当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时，系统机械能最大
D．系统机械能最大时，两物体动能都为零
答案 D
解析 当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时，A和B受力平衡，加速度为零，此时速度达到最大值，故各自的动能最大。由于F1、F2先对系统做正功，当两物体速度减为零时，此时系统机械能最大；之后由于弹簧的弹力大于F1、F2，两物体再加速相向运动，F1、F2对系统做负功，系统机械能开始减少，只有D正确。
6．如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上横截面半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2RB．eq \f(5R,3)C．eq \f(4R,3)D．eq \f(2R,3)
答案 C
解析 设A、B的质量分别为2m、m，当A落到地面上时，B恰好运动到与圆柱轴心等高处，以A、B整体为研究对象，则A、B组成的系统机械能守恒，故有2mgR－mgR＝eq \f(1,2)(2m＋m)v2，A落到地面上以后，B以速度v竖直上抛，又上升的高度为h′＝eq \f(v2,2g)，解得h′＝eq \f(1,3)R，故B上升的总高度为R＋h′＝eq \f(4,3)R，故C正确。
7．(多选)由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内。一质量为m的小球，从距离水平地面高为H的管口D处由静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上。下列说法正确的是( )
A．小球落到地面时相对于A点的水平位移大小为2eq \r(RH－2R2)
B．小球落到地面时相对于A点的水平位移大小为2eq \r(2RH－4R2)
C．小球能从细管A端水平抛出的条件是H>2R
D．小球能从细管A端水平抛出的最小高度Hmin＝eq \f(5,2)R
答案 BC
解析 因为轨道光滑，所以小球从D点运动到A点的过程中机械能守恒，以地面为参考平面，根据机械能守恒定律有mgH＝mg(R＋R)＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)，解得vA＝eq \r(2gH－2R)，从A端水平抛出到落到地面上，根据平抛运动规律有2R＝eq \f(1,2)gt2，水平位移x＝vAt＝eq \r(2gH－2R)·eq \r(\f(4R,g))＝2eq \r(2RH－4R2)，故A错误，B正确；因为小球能从细管A端水平抛出的条件是vA>0，所以要求H>2R，故C正确，D错误。
8．如图所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体A、B的质量都为m，开始时细绳伸直，用手托着物体A，使弹簧处于原长且A离地面的高度为h，物体B静止在地面上。放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，则下列说法中正确的是( )
A．弹簧的劲度系数为eq \f(mg,h)
B．此时弹簧的弹性势能等于mgh＋eq \f(1,2)mv2
C．此时物体B的速度大小也为v
D．此时物体A的加速度大小为g，方向竖直向上
答案 A
解析 由题可知，此时弹簧所受的拉力大小等于B的重力大小，即F＝mg，弹簧伸长的长度为x＝h，由F＝kx得k＝eq \f(mg,h)，故A正确；A与弹簧组成的系统机械能守恒，则有mgh＝eq \f(1,2)mv2＋Ep，则弹簧的弹性势能Ep＝mgh－eq \f(1,2)mv2，故B错误；物体B对地面恰好无压力，此时B的速度恰好为零，故C错误；根据牛顿第二定律，对A有F－mg＝ma，F＝mg，得a＝0，故D错误。
9．(多选)如图所示，小球沿水平面通过O点进入半径为R的半圆弧轨道后恰能通过最高点P，然后落回水平面，不计一切阻力。下列说法正确的是( )
A．小球落地点离O点的水平距离为2R
B．小球落地时的动能为eq \f(5mgR,2)
C．小球运动到半圆弧最高点P时向心力恰好为零
D．若将半圆弧轨道上部的eq \f(1,4)圆弧截去，其他条件不变，则小球能达到的最大高度比P点高0.5R
答案 ABD
解析 小球恰能通过P点，则在P点时重力提供向心力，大小为mg，C错误；由题意知，在P点时mg＝meq \f(v2,R)，故小球经P点时的速度大小v＝eq \r(gR)，由2R＝eq \f(1,2)gt2、x＝vt得小球落地点离O点的水平距离为2R，A正确；根据机械能守恒得2mgR＝Ek－eq \f(1,2)mv2，解得小球落地时的动能Ek＝2mgR＋eq \f(1,2)mv2＝eq \f(5,2)mgR，B正确；由mgh＝eq \f(5,2)mgR，轨道上部的eq \f(1,4)圆弧截去后小球能达到的最大高度h＝2.5R，比P点高0.5R，D正确。
10．如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和B，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L，先将杆竖直靠放在竖直墙上，轻轻拨动小球B，使小球B在水平面上由静止开始向右滑动，当小球A沿墙下滑距离为eq \f(L,2)时，下列说法正确的是(不计一切摩擦)( )
A．杆对小球A做功为eq \f(1,2)mgL
B．小球A和B的速度都为eq \f(1,2)eq \r(gL)
C．小球A、B的速度分别为eq \f(1,2)eq \r(3gL)和eq \f(1,2)eq \r(gL)
D．杆与小球A和B组成的系统机械能减少了eq \f(1,2)mgL
答案 C
解析 当小球A沿墙下滑距离为eq \f(1,2)L时，设此时A球的速度为vA，B球的速度为vB。根据机械能守恒定律得：mgeq \f(L,2)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)，两球沿杆方向上的速度相等，则有：
vAcs60°＝vBcs30°，联立两式解得：vA＝eq \f(1,2)eq \r(3gL)，vB＝eq \f(1,2)eq \r(gL)。对A使用动能定理有：mgeq \f(L,2)＋W杆＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)－0，代入A的速度，解得W杆＝－eq \f(1,8)mgL，故A错误；由以上分析得：vA＝eq \f(1,2)eq \r(3gL)，vB＝eq \f(1,2)eq \r(gL)，故B错误，C正确；对于杆与小球A和B组成的系统而言，运动过程中只有重力做功，故系统机械能守恒，D错误。
11．(多选)质量为M、长度为l的小车静止在光滑的水平面上，质量为m的小物块(可视为质点)放在小车的最左端。现用一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动。物块和小车之间的摩擦力为F1。物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为x。在这个过程中，以下结论正确的是( )
A．物块到达小车最右端时，具有的动能为(F－F1)l
B．物块到达小车最右端时，小车具有的动能为F1x
C．摩擦力对物块所做的功为－F1(l＋x)
D．物块和小车增加的机械能为Fx
答案 BC
解析 由动能定理得，对小物块有：(F－F1)(l＋x)＝Ek1，A错误；对小车有F1x＝Ek2，B正确；摩擦力对物块所做的功为－F1(l＋x)，C正确；小物块和小车增加的机械能为ΔE＝Ek1＋Ek2＝Fl＋Fx－F1l，D错误。
12．杂技演员甲的质量为M＝80 kg，乙的质量为m＝60 kg。跳板轴间光滑，质量不计。甲、乙一起表演节目，如图所示。开始时，乙站在B端，A端离地面1 m，且OA＝OB。甲先从离地面H＝6 m的高处自由跳下落在A端。当A端落地时，乙在B端恰好被弹起。假设甲碰到A端时，由于甲的技艺高超，没有能量损失。分析过程假定甲、乙可看作质点。(取g＝10 m/s2)问：
(1)当A端落地时，甲、乙两人速度大小各为多少？
(2)若乙在B端的上升可以看成是竖直方向，则乙离开B端还能被弹起多高？
答案 (1)2eq \r(15) m/s 2eq \r(15) m/s (2)3 m
解析 (1)甲跳下直到B端弹起到最高点的过程中，甲、乙组成的系统机械能守恒，以地面为参考平面，由机械能守恒定律有：MgH＝eq \f(1,2)Mveq \\al(2,甲)＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,乙)＋mgh
而v甲＝v乙，h＝1 m
联立可解得v甲＝v乙＝2eq \r(15) m/s。
(2)乙上升到最高点的过程中，机械能守恒，有：
eq \f(1,2)mveq \\al(2,乙)＝mgh1，解得h1＝3 m。
13．如图所示，若将质量为m的小球拉到绳与水平方向成θ＝30°角的位置A处由静止释放，重力加速度为g，求小球到达最低点C时绳对小球的拉力是多大？
答案 eq \f(7,2)mg
解析 小球先做自由落体运动，到绳与水平方向再次成θ＝30°角时，绳被拉直，然后小球做圆周运动，如图所示，绳被拉直时小球下降的高度为L，设此时小球的速度为v1，
根据自由落体运动的规律有
v1＝eq \r(2gL)①
将v1分解为沿绳方向的速度v∥和垂直于绳方向的速度v⊥，当绳绷直的瞬间，v∥变为0
v⊥＝v1csθ＝eq \f(\r(6gL),2)②
绳绷直后，小球在竖直平面内做圆周运动，设小球到达最低点C时的速度为v2，以最低点C所在水平面为参考平面，由机械能守恒定律有
eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,⊥)＋mgL(1－cs60°)③
设在C点绳对小球的拉力为F，
根据牛顿第二定律有F－mg＝meq \f(v\\al(2,2),L)④
联立②③④式解得F＝eq \f(7,2)mg。
14．长为L的均匀链条，放在光滑的水平桌面上，且使其长度的eq \f(1,4)垂在桌边，如图所示，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，取桌面为参考平面。
(1)开始时两部分链条重力势能之和为多少？
(2)刚离开桌面时，整个链条重力势能为多少？
(3)链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多大？
答案 (1)－eq \f(mgL,32) (2)－eq \f(mgL,2) (3)eq \f(1,4)eq \r(15gL)
解析 (1)开始时链条的重力势能
Ep1＝eq \f(mg,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(L,8)))＝－eq \f(mgL,32)①
(2)刚滑离桌面时，链条的重力势能
Ep2＝mg×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(L,2)))＝－eq \f(mgL,2)②
(3)设链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为v，
根据机械能守恒定律
Ep1＋0＝Ep2＋eq \f(1,2)mv2③
联立①②③式得v＝eq \f(1,4)eq \r(15gL)。
15．如图所示，跨过同一高度处的定滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B，A套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度h＝0.2 m，开始时让连着A的细线与水平杆的夹角θ1＝37°，由静止释放B，当细线与水平杆的夹角θ2＝53°时，A的速度为多大？在以后的运动过程中，A所获得的最大速度为多大？(设B不会碰到水平杆，sin37°＝0.6，sin53°＝0.8，g取10 m/s2)
答案 1.11 m/s 1.63 m/s
解析 设A、B的质量均为m，绳与水平杆夹角θ2＝53°时，A的速度为vA，B的速度为vB，此过程中B下降的高度为h1，由机械能守恒定律有
mgh1＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)
其中h1＝eq \f(h,sinθ1)－eq \f(h,sinθ2)，vAcsθ2＝vB
解得vA≈1.11 m/s
当θ3＝90°时，A的速度最大，设为vAm，此时B的速度为零，设此过程中B下降的高度为h2，由机械能守恒定律有
mgh2＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,Am)，其中h2＝eq \f(h,sinθ1)－h
解得vAm≈1.63 m/s。
16．如图所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡。在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压，处于静止状态，同时释放两个小球，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B。已知a球质量为m1，b球质量为m2，重力加速度为g，求：
(1)a球离开弹簧时的速度大小va；
(2)b球离开弹簧时的速度大小vb；
(3)释放小球前弹簧的弹性势能Ep。
答案 (1)eq \r(5gR) (2)2eq \r(5gR) (3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)m1＋10m2))gR
解析 (1)由a球恰好能通过A点知m1g＝m1eq \f(v\\al(2,A),R)
a球从弹出到运动到A点，由机械能守恒定律有
eq \f(1,2)m1veq \\al(2,a)－eq \f(1,2)m1veq \\al(2,A)＝m1g·2R，得va＝eq \r(5gR)。
(2)对于b球，从弹出到运动到B点，由机械能守恒定律有
eq \f(1,2)m2veq \\al(2,b)＝m2g·10R，得vb＝eq \r(20gR)＝2eq \r(5gR)。
(3)由机械能守恒定律得
Ep＝eq \f(1,2)m1veq \\al(2,a)＋eq \f(1,2)m2veq \\al(2,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)m1＋10m2))gR。
17．如图所示，竖直平面内的eq \f(3,4)圆弧形光滑管道的内径略大于小球直径，管道中心线到圆心的距离为R，A端与圆心O等高，AD为水平面，B点在O点的正下方，小球自A点正上方由静止释放，自由下落至A点时进入管道，从上端口飞出后落在C点，当小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小是小球重力大小的9倍。求：
(1)释放点距A点的竖直高度；
(2)落点C与A点的水平距离。
答案 (1)3R (2)(2eq \r(2)－1)R
解析 (1)设小球到达B点的速度为v1，因为到达B点时，管壁对小球的弹力大小是小球重力大小的9倍，
所以有9mg－mg＝eq \f(mv\\al(2,1),R)。
设B点所在水平面为参考平面，由机械能守恒定律得
mg(h＋R)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)，
解得h＝3R。
(2)设小球到达最高点的速度为v2，落点C与A点的水平距离为x。
由机械能守恒定律得eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)＋mg·2R，
由平抛运动的规律得R＝eq \f(1,2)gt2，R＋x＝v2t，
解得x＝(2eq \r(2)－1)R。
18．如图所示，ABC和DEF是在同一竖直平面内的两条光滑轨道，其中ABC的末端水平，DEF是半径为r＝0.4 m的半圆形轨道，其直径DF沿竖直方向，C、D可看作重合。现有一可视为质点的小球从轨道ABC上距C点高为H的地方由静止释放。
(1)若要使小球经C处水平进入轨道DEF且能沿轨道运动，H至少要有多高？
(2)若小球静止释放处离C点的高度h小于(1)中H的最小值，小球可击中与圆心等高的E点，求h。(取g＝10 m/s2)
答案 (1)0.2 m (2)0.1 m
解析 (1)小球从ABC轨道下滑，机械能守恒，设到达C点时的速度大小为v，则：mgH＝eq \f(1,2)mv2①
小球能在竖直平面内做圆周运动，在圆周最高点必须满足：
mg≤eq \f(mv2,r)②
联立①②并代入数据得：H≥0.2 m。
(2)若h