数学必修 第二册3.1 向量的数乘运算精品ppt课件

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§3　从速度的倍数到向量的数乘
(1)向量的数乘定义一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa.它的方向和长度规定如下：①当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向______；当λ＝0时，λa＝0；②|λa|＝|λ||a|.
(2)向量数乘的运算律设a，b为向量，λ，μ为实数，则数乘向量满足：①结合律：λ(μa)＝_________；②分配律：(λ＋μ)a＝_________；λ(a＋b)＝_________.说明：(1)λa的实数λ叫作向量a的系数；(2)向量数乘运算本质是沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小；(3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是向量0，而不是数0.
思考1：向量3a，－3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？提示：3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同．－3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反．
(1)定理：给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使a＝______.(2)定理的含义
　共线(平行)向量基本定理
思考2：(1)若b＝2a，b与a共线吗？(2)如果向量a，b共线，一定有a＝λb(λ∈R)吗？提示：(1)根据共线向量及向量数乘的意义可知，b与a共线．只要向量b与a成倍数关系，就一定共线．(2)不一定．当b＝0，a≠0时，λ不存在．正是因为这一点，定理中要求向量b是非零向量．
[解析]　|3a|表示向量的模，不表示向量．
3．(5a＋b)－(3a－2b)等于(　　)A．8a－bB．2a＋3bC．2a－bD．2a－3b[解析]　原式＝5a＋b－3a＋2b＝2a＋3b.
[归纳提升]　向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
[解析]　(1)①③④正确，②错，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b.(2)3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－a.
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b，∵a、b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1．
2．利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得b＝λa(a≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值．
进行向量的线性运算时忽略图形的性质
[误区警示]　在根据平面几何图形进行化简、证明时，要准确应用平面几何图形的性质．应根据题意判断所给图形是否是特殊图形，不能盲目运用特殊图形的性质进行求解．
1．(2a－b)－(2a＋b)等于(　　)A．a－2bB．－2bC．0D．b－a
2．已知λ、 μ∈R，下面式子正确的是(　　)A．λa与a同向B．0·a＝0C．(λ＋μ)a＝λa＋μaD．若b＝λa，则|b|＝λ|a|[解析]　对A，当λ>0时正确，否则错误；对B,0·a是向量而非数0；对D，若b＝λa，则|b|＝|λa|.