人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.3 二项式定理与杨辉三角精练

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.3 二项式定理与杨辉三角精练，共7页。试卷主要包含了已知f＝m，g＝n.等内容，欢迎下载使用。

1．C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(n)) ·2n＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) ·2n－1＋…＋C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) ·2n－k＋…＋C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(n)) 等于( )
A．2n B．2n－1 C．3n D．1
【解析】选C.原式＝(2＋1)n＝3n.
2．若 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax－\f(1,x))) eq \s\up12(6) 的展开式中常数项等于－20，则a＝( )
A． eq \f(1,2) B．－ eq \f(1,2) C．1 D．－1
【解析】选C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax－\f(1,x))) eq \s\up12(6) 的展开式的通项公式为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) (ax)6－k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x))) eq \s\up12(k) ＝(－1)ka6－kC eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) x6－2k.
当k＝3时，常数项为(－1)3a3C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ＝－20，解得a＝1.
3．(2020·全国Ⅲ卷) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(2,x))) eq \s\up12(6) 的展开式中常数项是________(用数字作答).
【解析】因为Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(6)) x2(6－r)2rx－r＝2rC eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(6)) x12－3r，
由12－3r＝0，得r＝4，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(2,x))) 6的展开式中常数项是：C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(6)) ·24＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ·16＝15×16＝240，故常数项为240.
答案：240
4. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(x)－\f(1,\r(x)))) eq \s\up12(6) 的展开式中， eq \f(1,x) 项的系数为________．
【解析】因为二项式展开式的通项公式为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) (2 eq \r(x) )6－k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(x)))) eq \s\up12(k) ＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) (－1)k×26－k×x3－k；
令3－k＝－1，所以k＝4；
故展开式中含 eq \f(1,x) 项的系数为C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(6)) ×22＝60.
答案：60
5．已知 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,x))) eq \s\up12(n) 的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.
(1)求n的值；
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．
【解析】(1)因为T3＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ( eq \r(x) )n－2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,x))) eq \s\up12(2) ＝4C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) x eq \f(n－6,2) ，
T2＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) ( eq \r(x) )n－1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,x))) ＝－2C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) x eq \f(n－3,2) ，
依题意得4C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＋2C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) ＝162，所以2C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) ＝81，所以n2＝81，n＝9.
(2)设第r＋1项含x3项，则Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(9)) ( eq \r(x) )9－r eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,x))) eq \s\up12(r) ＝(－2)rC eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(9)) x eq \f(9－3r,2) ，
所以 eq \f(9－3r,2) ＝3，r＝1，所以第二项为含x3的项：T2＝－2C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(9)) x3＝－18x3.二项式的系数为C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(9)) ＝9.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\r(x)＋\f(1,x))) eq \s\up12(4) 的展开式中，常数项为( )
A．1 B．3 C．4 D．13
【解析】选D.由于 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\r(x)＋\f(1,x))) eq \s\up12(4) 表示4个因式 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,x)＋1)) 的乘积，故展开式中的常数项可能有以下几种情况：①所有的因式都取1；②有2个因式取 eq \r(x) ，一个因式取1，一个因式取 eq \f(1,x) ；
故展开式中的常数项为1＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ×C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ＝13.
【补偿训练】
(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A．10 B．20 C．30 D．60
【解析】选C.(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y的积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(1)) ＝30.
2．将多项式a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0分解因式得(x－2)(x＋2)5，则a5＝( )
A．8 B．10 C．12 D．1
【解析】选A.(x－2)(x＋2)5＝(x2－4)·(x＋2)4，所以(x＋2)4的展开式中x3的系数为C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ·21＝8，所以a5＝8.
3．(2021·八省联考)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是( )
A．60 B．80 C．84 D．120
【解析】选D.由题可得展开式中x2的系数为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(8)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(9)) ＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) ＝120.
4．若(x2－a) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x))) eq \s\up12(10) 的展开式中x6的系数为30，则a等于( )
A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,2) C．1 D．2
【解析】选D.由题意得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x))) eq \s\up12(10) 的展开式的通项公式是Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(10)) ·x10－k· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x))) eq \s\up12(k) ＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(10)) x10－2k， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x))) eq \s\up12(10) 的展开式中含x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)项的系数分别为C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) ，C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) ，因此由题意得C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) －aC eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) ＝120－45a＝30，由此解得a＝2.
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．对于二项式 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋x3)) eq \s\up12(n) (n∈N*)，以下判断正确的有( )
A．存在n∈N*，展开式中有常数项
B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项
D．存在n∈N*，展开式中有x的一次项
【解析】选AD.该二项展开式的通项为
Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x))) eq \s\up12(n－k) (x3)k＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) x4k－n，
所以当n＝4k时，展开式中存在常数项，A选项正确，B选项错误；
当n＝4k－1时，展开式中存在x的一次项，D选项正确，C选项错误．
6. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(1,3x))) eq \s\up12(10) 的展开式(按x的降幂排列)中，第m项含x的正整数指数幂，则m的值可能是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】选BD.因为Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(10)) ( eq \r(x) )10－r eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3x))) eq \s\up12(r) ＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(10)) x eq \f(10－r,2) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))) eq \s\up12(r) ·x－r＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(10)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))) eq \s\up12(r) x5－ eq \f(3,2) r，由 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(3,2)r)) ∈N＋，知r＝0或2，所以m的值可能为1，3.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．若(x＋1)(x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a3＝________．
【解析】问题即求(x＋1)(x＋2)5＝x(x＋2)5＋(x＋2)5的展开式中含x3的系数为C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ·23＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ·22＝120.
答案：120
8．(2019·浙江高考)在二项式( eq \r(2) ＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________.
【解析】展开式通项是：Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(9)) ( eq \r(2) )9－rxr，所以常数项是T1＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(9)) ( eq \r(2) )9＝16 eq \r(2) ，若系数为有理数，则9－r为偶数，所以r为奇数，所以r可取1，3，5，7，9.
答案：16 eq \r(2) 5
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知f(x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋2x)n(m，n∈N*).
(1)若m＝3，n＝4，求f(x)g(x)的展开式含x2的项．
(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，h(x)的展开式中x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值？
【解析】(1)当m＝3，n＝4时，f(x)g(x)＝(1＋x)3(1＋2x)4.
(1＋x)3展开式的通项为C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(3)) xr，
(1＋2x)4展开式的通项为C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(4)) (2x)r，
f(x)g(x)的展开式含x2的项为
1×C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) (2x)2＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) x×C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) (2x)＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) x2×1＝51x2.
(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n.
因为h(x)的展开式中x的项的系数为12，
所以C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(m)) ＋2C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) ＝12，即m＋2n＝12，所以m＝12－2n.
x2的系数为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(m)) ＋4C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(12－2n)) ＋4C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n))
＝ eq \f(1,2) (12－2n)(11－2n)＋2n(n－1)
＝4n2－25n＋66＝4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(25,8))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(431,16) ，n∈N*，
所以n＝3，m＝6时，x2的项的系数取得最小值．
10．记 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(1,x))) eq \s\up12(n) 的展开式中第m项的系数为bm.
(1)求bm的表达式；
(2)若n＝6，求展开式中的常数项；
(3)若b3＝2b4，求n.
【解析】(1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(1,x))) eq \s\up12(n) 的展开式中第m项为C eq \\al(\s\up1(m－1),\s\d1(n)) ·(2x)n－m＋1· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x))) eq \s\up12(m－1) ＝2n＋1－m·C eq \\al(\s\up1(m－1),\s\d1(n)) ·xn＋2－2m，所以bm＝2n＋1－m·C eq \\al(\s\up1(m－1),\s\d1(n)) .
(2)当n＝6时， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(1,x))) eq \s\up12(n) 的展开式的通项为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) ·(2x)6－k· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x))) eq \s\up12(k) ＝26－k·C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) ·x6－2k.
依题意，6－2k＝0，得k＝3，
故展开式中的常数项为T4＝23·C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ＝160.
(3)由(1)及已知b3＝2b4，得2n－2·C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝2·2n－3·C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n)) ，从而C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n)) ，即n＝5.
【创新迁移】
1．若(x＋a)2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－1)) eq \s\up12(5) 的展开式中常数项为－1，则a的值为________.
【解析】由于(x＋a)2＝x2＋2ax＋a2，而 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－1)) eq \s\up12(5) 的展开式通项为Tk＋1＝(－1)kC eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) ·xk－5，其中k＝0，1，2…，5.于是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－1)) eq \s\up12(5) 的展开式中x－2的系数为(－1)3C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ＝－10，x－1项的系数为(－1)4C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(5)) ＝5，常数项为－1，因此(x＋a)2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－1)) eq \s\up12(5) 的展开式中常数项为1×(－10)＋2a×5＋a2×(－1)＝－a2＋10a－10，依题意－a2＋10a－10＝－1，解得a2－10a＋9＝0，即a＝1或a＝9.
答案：1或9
2．设 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(q＋x)) eq \s\up12(n) ＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋arxr＋…＋anxn，其中q∈R，n∈N*.
(1)当q＝1时，化简： eq \i\su(r＝0,n, ) eq \f(ar,r＋1) .
(2)当q＝n时，记An＝ eq \f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a0＋a1)),2) ，Bn＝ eq \i\su(r＝0,n,a) r，试比较An与Bn的大小．
【解题指南】(1)当q＝1时，ar＝ eq \f(1,n＋1) ·C eq \\al(\s\up1(r＋1),\s\d1(n＋1)) ，从而得到结果．
(2)当q＝n时，由二项式定理可得An＝nn＋1，Bn＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1)) eq \s\up12(n) ，猜想、归纳，用数学归纳法加以证明即可．
【解析】(1)当q＝1时，ar＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(n)) ，
由于 eq \f(C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(n)) ,r＋1) ＝ eq \f(1,r＋1) · eq \f(n！,r！\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－r))！) ＝ eq \f(n！,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r＋1))！\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－r))！) ＝ eq \f(1,n＋1) · eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1))！,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r＋1))！\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－r))！) ＝ eq \f(1,n＋1) ·C eq \\al(\s\up1(r＋1),\s\d1(n＋1)) ，其中r＝0，1，2，…，n.
所以原式＝ eq \f(1,n＋1) (C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n＋1)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n＋1)) ＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n＋1)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(n＋1),\s\d1(n＋1)) )＝ eq \f(2n＋1－1,n＋1) .
(2)当q＝n时，ar＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(n)) nn－r，所以a0＝nn，a1＝nn，所以An＝nn＋1，令x＝1，得Bn＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1)) eq \s\up12(n) ，
当n＝1，2时，nn＋1< eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1)) eq \s\up12(n) ；
当n≥3时，nn＋1> eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1)) eq \s\up12(n) ，即n> eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)＋1)) eq \s\up12(n) .
下面先用数学归纳法证明：
当n≥3时，n> eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)＋1)) eq \s\up12(n) ，……(☆)
①当n＝3时，3> eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋1)) eq \s\up12(3) ＝ eq \f(64,27) ，(☆)式成立；
②设n＝k≥3时，(☆)式成立，即k> eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)＋1)) eq \s\up12(k) ，
则n＝k＋1时，(☆)式右边＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k＋1)＋1)) eq \s\up12(k＋1)
＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k＋1)＋1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k＋1)＋1)) eq \s\up12(k) < eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k＋1)＋1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)＋1)) eq \s\up12(k) < eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k＋1)＋1)) ·k＝ eq \f(k,k＋1) ＋k也就是说，当n＝k＋1，(☆)式也成立．
综合①②知，当n≥3时，n> eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)＋1)) eq \s\up12(n) .
所以，当n＝1，2时，AnBn.
【一题多解】当q＝n时，ar＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(n)) nn－r，
所以a0＝nn，a1＝nn，所以An＝nn＋1，
令x＝1，得Bn＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1)) eq \s\up12(n) ，
要比较An与Bn的大小，即可比较 eq \f(ln n,n) 与 eq \f(ln \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1)),n＋1) 的大小，设f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)) ＝ eq \f(ln x,x) ，则f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)) ＝ eq \f(1－ln x,x2) ，
由f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)) >0，得0由f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)) <0，得x>e，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)) 在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e，＋∞)) 上递减，
所以当n＝1，2时， eq \f(ln n,n) < eq \f(ln \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1)),n＋1) ，An当n≥3时， eq \f(ln n,n) > eq \f(ln \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1)),n＋1) ，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1)) ln n>n ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1)) ，即ln nn＋1>ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1)) eq \s\up12(n) ，即An>Bn，
综上所述，当n＝1，2时，AnBn.
【一题多解】当q＝n时，ar＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(n)) nn－r，
所以a0＝nn，a1＝nn，所以An＝nn＋1，
令x＝1，得Bn＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1)) eq \s\up12(n) ，
当n＝1，2时，nn＋1< eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1)) eq \s\up12(n) ；当n≥3时，nn＋1> eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1)) eq \s\up12(n) .
下面用数学归纳法证明：nn＋1> eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1)) eq \s\up12(n) ，n≥3，n∈N*，……(*)
①当n＝3时，33＋1＝81， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋1)) eq \s\up12(3) ＝64，因为81>64，所以(*)式成立；
②设n＝k≥3时，(*)式成立，即有kk＋1> eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＋1)) eq \s\up12(k) ，所以 eq \f(kk＋1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＋1))\s\up12(k)) >1(因为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＋1)) eq \s\up12(k) >0).
又因为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＋1)) eq \s\up12(2) >k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＋2)) ，即 eq \f(k＋1,k＋2) > eq \f(k,k＋1) ，
所以 eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＋1))\s\up12(k＋2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＋2))\s\up12(k＋1)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k＋1,k＋2))) eq \s\up12(k) · eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＋1))\s\up12(2),k＋2) > eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,k＋1))) eq \s\up12(k) · eq \f(k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＋2)),k＋2) ＝ eq \f(kk＋1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＋1))\s\up12(k)) >1，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＋1)) eq \s\up12(k＋2) > eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＋2)) eq \s\up12(k＋1) ，所以，当n＝k＋1时，(*)式也成立．
综合①②，对任何n≥3，n∈N*，nn＋1> eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1)) eq \s\up12(n) 都成立．所以，当n＝1，2时，AnBn.