2021_2022学年新教材高中数学模块练二含解析新人教B版选择性必修第二册

模块素养评价(二)

(120分钟　150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．如图所示，4个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是(　　)

【解析】选A.题图A中的点不成线性排列，故两个变量不适合线性回归模型．

2．若随机变量ξ的分布列如表所示，则p1等于(　　)

A．0     B．     C．     D．1

【解析】选B.由分布列性质得＋＋p1＝1.

解得p1＝.

3．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率的取值范围是(　　)

A．[0.4，1)    B．(0，0.6]    C．(0，0.4]    D．[0.6，1)

【解析】选A.设事件A发生一次的概率为p，则事件A的概率可以构成二项分布，根据独立重复试验的概率公式可得Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，

即可得4(1－p)≤6p，p≥0.4.

又0<p<1，故0.4≤p<1.

4．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则P(B|A)＝(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选B.由题意，n(AB)＝CC＋CC＝13，n(A)＝CC＝40，所以P(B|A)＝＝.

5．质量调查发现，某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表：

在该市场中任意购买一部智能手机，则买到的是优质品的概率为(　　)

A．99.5%    B．88.5%    C．98.5%    D．87.5%

【解析】选B.设Ai(i＝1，2，3)分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B是优质品，则P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，

P(B|A3)＝70%，所以由全概率公式可知，P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%.

6．《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》是我国古代数学的重要文献．现拟把这4部著作分给甲、乙、丙3位同学阅读，每人至少1本，则甲没分到《周髀算经》的分配方法共有(　　)

A．18种    B．24种    C．30种    D．36种

【解析】选B.将4本书分成1，1，2，再分配给3位同学，故有·A＝36种，若甲分到一本，只有《周髀算经》，则有CA＝6种，若甲分到两本，其中一本是《周髀算经》，则有CA＝6种，故甲没分到《周髀算经》的分配方法共有36－(6＋6)＝24种．

7．将二项式的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法有______种．(　　)

A．A    B．AA    C．AA    D．AA

【解析】选C. 展开式的通项公式Tr＋1＝C·()8－r·＝·，r＝0，1，2，…，8.当为整数时，r＝0，4，8.所以展开式共有9项，其中有有理项3项，先排其余6项有A种排法，再将有理项插入形成的7个空档中，有A种方法．所以共有AA种排法．

8．某人抛掷一枚硬币，出现正、反面的概率都是.构造数列{an}，使an＝记Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则S2＝2，且S8＝2时的概率为(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选D.前2次同时出现正面时，S2＝2，要使S8＝2，则需要后6次出现3次反面，3次正面，相应的概率为P＝××C×3×3＝.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

9．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用2×2列联表计算得χ2≈3.918，经查临界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，不正确的结论是

(　　)

A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防感冒的作用”

B．若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒

C．这种血清预防感冒的有效率为95%

D．这种血清预防感冒的有效率为5%

【解析】选BCD.χ2≈3.918≥3.841，而P(χ2≥3.841)≈0.05，

所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．A选项正确，独立性检验并不能解释BCD选项所涉及的问题．

10．若随机变量ξ～B，则P(ξ＝k)最大时，k的值为(　　)

A．1    B．2    C．3    D．4

【解析】选AB.依题意P(ξ＝k)＝C××，k＝0，1，2，3，4，5.可以求得P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝.故当k＝1或2时，P(ξ＝k)最大．

11．我市实行新高考，考试除了参加语文、数学、英语的统一考试外，还需从物理和历史中选考一科，从化学、生物、政治、地理中选考两科，学生甲想要报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则　(　　)

A．若甲选考物理，有6种选考方法

B．若甲选考历史，有6种选考方法

C．甲的选考方法共有12种

D．甲的选考方法共有18种

【解析】选ABC.根据题意，如果甲选考物理，则化学、生物、政治、地理中选考两门，有C＝6种选考方法种数；如果甲选考历史，则化学、生物、政治、地理中选考两门，有C＝6种选考方法种数，故甲的选考方法种数共有12种．

12．天气预报，在元旦期间甲、乙两地都降雨的概率为，至少有一个地方降雨的概率为，已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在这段时间甲、乙两地降雨互不影响．则(　　)

A．甲地降雨的概率为

B．乙地降雨的概率为

C．在甲、乙两地3天假期中，仅有一地降雨的概率为

D．设在甲、乙两地3天假期中，仅有一地降雨的天数为X，则X的方差为

【解析】选BD.设甲、乙两地降雨的事件分别为A，B，且P(A)＝x，P(B)＝y.

由题意得

解得所以甲地降雨的概率为，乙地降雨的概率为.在甲、乙两地中，仅有一地降雨的概率为P＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.

X的可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝C＝，

P(X＝1)＝C＝，

P(X＝2)＝C＝，

P(X＝3)＝C＝，所以X的分布列为

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

方差D(X)＝×＋×＋×＋×＝.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)

13．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

由表中数据得回归直线方程＝x＋中的＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量约为________度．

【解析】根据题意知＝＝10，＝＝40.所以＝40－(－2)×10＝60，＝－2x＋60.所以当x＝－4时，y＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用电量约为68度．

答案：68

14．在某校举行的数学竞赛中全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70，100).已知成绩在80到90分之间的学生有120名，若该校计划奖励竞赛成绩在90分以上(含90分)的学生，估计获奖的学生有________人(填一个整数).(参考数据：若X～N(μ，σ2)有P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4

【解析】由竞赛成绩近似服从正态分布N(70，100)，得μ＝70，σ＝10，则P(80＜X≤90)＝(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，设参加竞赛总人数为N＝≈883.而P(X≥90)＝(1－0.954 4)≈0.022 8.

所以估计获奖的学生有883×0.022 8≈20.

答案：20

15．设p为非负实数，随机变量X的概率分布为

则E(X)的最大值为________，D(X)的最大值为________.

【解析】E(X)＝0×＋1×p＋2×＝p＋1.

因为0≤－p≤，0≤p≤，所以p＋1≤，

D(X)＝(p＋1)2·＋p2·p＋(p－1)2×＝－p2＋1－p＝－＋≤1.

答案：　1

16．某校高三年级有6个班级，现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加．这10个名额不同的分配方法有________种．

【解析】方法一：除每班1个名额以外，其余4个名额也需要分配．

这4个名额的分配方案可以分为以下几类：

(1)4个名额全部给某一个班级，有C种分法；

(2)4个名额分给两个班级，每班2个，有C种分法；

(3)4个名额分给两个班级，其中一个班级1个，一个班级3个．

由于分给一班1个，二班3个和一班3个、二班1个是不同的分法，因此是排列问题，共有A种分法；

(4)分给三个班级，其中一个班级2个，其余两个班级每班1个，共有C·C种分法；

(5)分给四个班，每班1个，共有C种分法．

故共有N＝C＋C＋A＋C·C＋C＝126种分配方法．

答案：126

方法二：该问题也可以从另外一个角度去考虑：

因为是名额分配问题，名额之间无区别，

所以可以把它们视作排成一排的10个相同的球，

要把这10个球分开成6段(每段至少有一个球).

这样，每一种分隔办法，对应着一种名额的分配方法．这10个球之间(不含两端)共有9个空位，现在要在这9个位子中放进5块隔板，共有N＝C＝126种放法．故共有126种分配方法．

答案：126

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(10分)已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项，且(a2＋1)n的展开式中系数最大的项等于54，求a的值．

【解析】的展开式的通项为

Tk＋1＝.

令20－5k＝0，得k＝4，故常数项T5＝C×＝16.

又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n，

由题意知2n＝16，得n＝4.

由二项式系数的性质知，(a2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T3，故有Ca4＝54，解得a＝±.

18．(12分)某校在高一年级学生中，对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查. 现从高一年级学生中随机抽取180名学生，其中男生105名；在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名．

(1)试问：从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为多少？

(2)根据抽取的180名学生的调查结果，完成下面的2×2列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科学类的选择与性别有关？

附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

【解析】(1)从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为＝.

(2)根据统计数据，可得2×2列联表如表：

则K2的观测值k＝＝≈5.142 9>5.024，

所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科学类的选择与性别有关．

19．(12分)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．

(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；

(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；

(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)

【解析】设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1，2，…，13).

根据题意，P(Ai)＝.

(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8，

所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝.

(2)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且

P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝，

P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)

＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝，

P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝，

所以X的分布列为

故X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．

20．(12分)某生产企业研发了一种新产品，该新产品在某网店上市一个阶段后得到销售单价x和月销售量y之间的一组数据，如表所示：

(1)根据统计数据，求出y关于x的回归方程，并预测月销售量不低于12万件时销售单价的最大值；

(2)生产企业与网店约定：若该新产品的月销售量不低于10万件，则生产企业奖励网店1万元；若月销售量不低于8万件且不足10万件，则生产企业奖励网店5 000元；若月销售量低于8万件，则没有奖励．现用样本估计总体，从上述5个销售单价中任选2个销售单价，下个月分别在两个不同的网店进行销售，求这两个网店下个月获得奖励的总额X的分布列及其数学期望．

参考公式：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…(xn，yn)，其经验回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.

参考数据：＝392，＝502.5

【解析】(1)因为＝(9＋9.5＋10＋10.5＋11)＝10，

＝(11＋10＋8＋6＋5)＝8，

所以＝＝－3.2，＝8－(－3.2)×10＝40，

所以y关于x的回归方程为＝－3.2x＋40.

要使月销售量不低于12万件，则有－3.2x＋40≥12，解得x≤8.75，所以销售单价的最大值为8.75元．

(2)由题意得销售单价共有5个，其中使得月销售量不低于10万件有2个，记为a1，a2，

月销售量不低于8万件且不足10万件的有1个，记为b，月销售量低于8万件的有2个，记为c1，c2，从中任取2件，基本事件个数n＝C＝10，

可得X＝2，1.5，1，0.5，0万元，

P(X＝2)＝；P(X＝1.5)＝＝0.2；P(X＝1)＝；P(X＝0.5)＝；P(X＝0)＝.

X的分布列为

可得E(X)＝0×0.1＋0.5×0.2＋1×0.4＋1.5×0.2＋2×0.1＝1.

21．(12分)甲、乙2人玩猜数字游戏，规则如下：

①连续竞猜3次，每次相互独立；

②每次竞猜时，先由甲写出一个数字，记为a，再由乙猜甲写的数字，记为b，已知a，b∈{0，1，2，3，4，5}，若|a－b|≤1，则本次竞猜成功；

③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖．

(1)求甲、乙2人玩此游戏获奖的概率；

(2)现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏，这6人中有且仅有2对双胞胎，记选出的4人中含有双胞胎的对数为X，求X的分布列和数学期望．

【解析】(1)记事件A为“甲、乙2人一次竞猜成功”，则P(A)＝＝，设3次竞猜中，竞猜成功的次数为X，则X～B(3，)，则甲、乙2人获奖的概率为P＝1－C－C＝.

(2)由题意可知，6人中选取4人，双胞胎的对数X的取值为0，1，2，则P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝.所以X的分布列为

E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

22．(12分)五一劳动节放假，某商场进行一次大型抽奖活动，在一个抽奖盒中放有红、橙、黄、绿、蓝、紫的小球各2个，分别对应1分、2分、3分、4分、5分、6分．从袋中任取3个小球，按3个小球中最大得分的8倍计分，计分在20分到35分之间即为中奖．每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球中最大得分，求

(1)取出的3个小球颜色互不相同的概率；

(2)随机变量ξ的概率分布和数学期望；

(3)求某人抽奖一次，中奖的概率．

【解析】(1)设事件A表示“取出的3个小球颜色互不相同”，则取出的3个小球颜色互不相同的概率P(A)＝＝.

(2)由题意ξ的可能取值为2，3，4，5，6，

P(ξ＝2)＝＝，

P(ξ＝3)＝＝，

P(ξ＝4)＝＝，

P(ξ＝5)＝＝，

P(ξ＝6)＝＝，

所以随机变量ξ的概率分布列为：

E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝.

(3)设事件C表示“某人抽奖一次，中奖”，

则P(C)＝P(ξ＝3或ξ＝4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝＋＝.