2021_2022学年新教材高中数学章末综合测评3指数运算与指数函数含解析北师大版必修第一册

指数运算与指数函数

 (满分：150分　时间：120分钟)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知am＝4，an＝3，则的值为(　　)

A． B．6

C． D．2

A　[∵am＝4，an＝3，∴am－2n＝＝，

∴＝＝.选A.]

2．已知函数f(x)＝(a∈R)，若f(f(－1))＝1，则a＝(　　)

A. B．

C．1 D．2

A　[由题意得f(－1)＝2－(－1)＝2，f(f(－1))＝f(2)＝a·22＝4a＝1，∴a＝.]

3．设f(x)＝|x|，x∈R，那么f(x)是(　　)

A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数

B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数

C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数

D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数

D　[∵f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．

当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x在(0，＋∞)上是减函数．故选D.]

4．函数f(x)＝的值域是(　　)

A．(－∞，1) B．(0,1)

C．(1，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)

B　[∵3x＋1>1，∴0<<1，∴函数的值域为(0,1)．]

5．已知函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－3,1) B．(－3,0)

C．[0,1) D．(0,1)

A　[由题意，知f(a)<1等价于或解得－3<a<0或0≤a<1，所以－3<a<1.]

6．函数y＝的图象大致是(　　)

A　　　　B　　 　C　　 　D

B　[当x<0时，函数的图象是抛物线；当x≥0时，只需把y＝2x的图象在y轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.]

7．要得到函数y＝23－x的图象，只需将函数y＝x的图象(　　)

A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位

C．向右平移8个单位 D．向左平移8个单位

A　[∵y＝23－x＝x－3，∴y＝x的图象向右平移3个单位得到y＝x－3即是y＝23－x的图象，故选A.]

8．设f(x)＝ex,0<a<b，若p＝f()，q＝f ，r＝，则下列关系式中正确的是(　　)

A．q＝r<p B．p＝r<q

C．q＝r>p D．p＝r>q

C　[∵0<a<b，∴>，又f(x)＝ex在(0，＋∞)上为增函数，∴f >f()，即q>p.又r＝＝＝e＝q，故q＝r>p.故选C.]

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．下列运算结果中错误的为(　　)

A．a2·a3＝a6 B．(－a2)3＝(－a3)2

C．(－1)0＝1 D．(－a2)3＝－a6

ABC　[对于A选项：a2·a3＝a2＋3＝a5，所以A选项错误；对于B，D选项：(－a2)3＝－a6，而(－a3)2＝a6，所以B选项错误，D选项正确；对于C选项：0的0次幂没有意义，当a＝1时，(－1)0无意义．]

10．以下各式化简正确的是(　　)

11．已知函数f(x)＝，g(x)＝，则f(x)，g(x)满足(　　)

A．f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)

B．f(－2)<f(3)

C．f(x)－g(x)＝π－x

D．f(2x)＝2f(x)g(x)

ABD　[A正确，f(－x)＝＝－f(x)，g(－x)＝＝g(x)，所以f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)；B正确，可知函数f(x)为增函数，所以f(－2)<f(3)；C不正确，f(x)－g(x)＝－＝＝－π－x；D正确，f(2x)＝＝2··＝2f(x)g(x)．]

12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝－，则关于函数g(x)＝[f(x)]的叙述中正确的是(　　)

A．g(x)是偶函数

B．f(x)是奇函数

C．f(x)在R上是增函数

D．g(x)的值域是{－1,0,1}

BC　[根据题意知，f(x)＝－＝－.∵g(1)＝[f(1)]＝＝0，g(－1)＝[f(－1)]＝＝－1，∴g(1)≠g(－1)，g(1)≠－g(－1)，∴函数g(x)既不是奇函数也不是偶函数，A错误；∵f(－x)＝－＝－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，B正确；由复合函数的单调性知f(x)＝－在R上是增函数，C正确；∵ex>0，∴1＋ex>1，∴－<f(x)<，∴g(x)＝[f(x)]＝{－1,0}，D错误．故选BC.]

三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．

13．已知函数f(x)＝ax－2＋1(a>0，且a≠1)的图象过定点P，则点P的坐标为________．

(2,2)　[由题意，令x＝2，可得f(2)＝a2－2＋1＝2，所以函数f(x)＝ax－2＋1(a>0且a≠1)的图象过定点P(2,2)．]

14．已知集合A＝{x|y＝}，B＝，则(∁RA)∩B＝________.

{x|－1<x<0}　[因为A＝{x|y＝}＝{x|x≥0}，

所以∁RA＝{x|x<0}．

又B＝＝{x|－1<x<2}，

所以(∁RA)∩B＝{x|－1<x<0}．]

15．已知函数f(x)＝2x－，函数g(x)＝则函数g(x)的最小值是________．

0　[当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－为增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x<0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－为减函数，所以g(x)>g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.]

16．(一题两空)设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.

　2　[由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝2.]

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)化简下列各式(式中字母均为正数)．

(1)；

(2) (结果为分数指数幂)．

[解]　

(2)原式＝4×(－3)×·.

18．(本小题满分12分)求不等式a4x＋5>a2x－1(a>0，且a≠1)中x的取值范围．

[解]　对于a4x＋5>a2x－1(a>0，且a≠1)．

当a>1时，有4x＋5>2x－1，解得x>－3；

当0<a<1时，有4x＋5<2x－1，解得x<－3.

故当a>1时，x的取值范围为{x|x>－3}；

当0<a<1时，x的取值范围为{x|x<－3}．

19．(本小题满分12分)已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值．

[解]　已知函数y＝a2x＋2ax－1，(a>1)，x∈[－1,1]，

令t＝ax，x∈[－1,1]，a>1，则≤t≤a，

则y＝t2＋2t－1，对称轴为t＝－1，

所以函数在上是增函数，

当t＝a时取得最大值14，即a2＋2a－1＝14，解得a＝3或a＝－5(舍)．

20．(本小题满分12分)已知x＋x＝3，求的值．

[解]　法一：∵x＋x＝3，

∴两边平方，得2＝9，即x＋x－1＝7.

两边再平方得x2＋x－2＝47，

将等式x＋x＝3两边立方，

得x＋x＋3x＋3x＝27，

即x＋x＝18.

∴原式＝＝.

法二：设x＝t，则x＝，t＋＝3，t2＋＝7，

∴原式＝

＝

＝＝.

21．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x.

(1)画出函数f(x)的图象；

(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．

[解]　(1)先作出当x≥0时，f(x)＝x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象，如图所示．

(2)函数f(x)的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．

22．(本小题满分12分)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．

(1)求b的值；

(2)判断函数f(x)的单调性；

(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．

[解]　(1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，

即＝0，解得b＝1.

(2)由(1)知，f(x)＝＝－＋.

任取x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.

因为函数y＝2x在R上是增函数且x1<x2，所以2x2－2x1>0.

又(2 x1＋1)(2 x2＋1)>0，

所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

所以f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．

(3)因为f(x)是奇函数，f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0，

所以f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)．

因为f(x)为减函数，由上式推得t2－2t>k－2t2.

即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，

从而知判别式Δ＝4＋12k<0，

解得k<－.即k的取值范围是.