2021_2022学年新教材高中数学章末综合测评4对数运算与对数函数含解析北师大版必修第一册

对数运算与对数函数

 (满分：150分　时间：120分钟)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A＝{y|y＝log2x，x>1}，B＝{y|y＝x，x>1}，则A∩B＝(　　)

A． B．{y|0<y<1}

C． D．∅

A　[∵A＝{y|y>0}，B＝.

∴A∩B＝.]

2．函数y＝的定义域是(　　)

A． B．

C．(0，＋∞) D．R

A　[要使函数有意义则5x－3＞0，

∴x＞，函数的定义域为.]

3．已知函数f(x)＝那么f(ln 2)的值是(　　)

A．0 B．1

C．ln(ln 2) D．2

B　[∵0<ln 2<1，∴f(ln 2)＝eln 2－1＝2－1＝1.]

4．函数f(x)＝2的图象大致是(　　)

　　　            A　　　　B　　　　C　　　 　D

C　[∵f(x)＝2＝∴选C.]

5．0.32，log20.3,20.3三个数的大小关系为(　　)

A．0.32＜20.3＜log20.3 B．0.32＜log20.3＜20.3

C．log20.3＜0.32＜20.3 D．log20.3＜20.3＜0.32

C　[0.32＝0.09，log20.3＜0,20.3＞1，∴log20.3＜0.32＜20.3.]

6．设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围是(　　)

A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(0,2)

C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－1,3)

C　[当x0≥2时，∵f(x0)>1，∴log2(x0－1)>1，

即x0>3；

当x0<2时，由f(x0)>1得x0－1>1，x0>－1，

∴x0<－1.∴x0∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．]

7．函数f(x)＝的定义域为(0,10]，则实数a的值为(　　)

A．0 B．10

C．1 D．

C　[由已知，得a－lg x≥0的解集为(0,10]，由a－lg x≥0，得lg x≤a，又当0<x≤10时，lg x≤1，所以a＝1，故选C.]

8．设x、y、z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)

A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y

C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z

D　[令2x＝3y＝5z＝k(k>1)，则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，

∴＝·＝>1，则2x>3y，

＝·＝<1，则2x<5z，故选D.]

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．下面对函数f(x)＝x与g(x)＝x在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中错误的有(　　)

A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快

B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢

C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢

D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快

ABD　[结合指数函数y＝x和对数函数y＝x的图象易得C正确，ABD错误．]

10．给出下列四个结论，其中正确的结论是(　　)

A．函数y＝－x2＋1的最小值为

B．已知函数y＝loga(2－ax)(a>0且a≠1)在(0,1)上是减函数，则a的取值范围是(1,2)

C．在同一直角坐标系中，函数y＝log2x与y＝logx的图象关于y轴对称

D．在同一直角坐标系中，函数y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称

AD　[A正确，令t＝－x2＋1，则t的最大值为1，∴y＝－x2＋1的最小值为；B错，∵函数y＝loga(2－ax)在(0,1)上是减函数，∴解得1<a≤2；C错，在同一直角坐标系中，函数y＝log2x与y＝logx的图象关于x轴对称；D正确，在同一直角坐标系中，函数y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称．]

11．设函数y＝ln(x2－x＋1)，则下列命题中正确的是(　　)

A．函数的定义域为R

B．函数是增函数

C．函数的值域为R

D．函数的图象关于直线x＝对称

AD　[A正确，∵x2－x＋1＝2＋>0恒成立，∴函数的定义域为R；B错误，函数y＝ln(x2－x＋1)在x>时是增函数，在x<时是减函数；C错误，由x2－x＋1＝2＋≥可得y＝ln(x2－x＋1)≥ln ，∴函数的值域为；D正确，函数的图象关于直线x＝对称．]

12．已知函数f(x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是(　　)

A．f(4)＝－3

B．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点

C．函数y＝f(x)的最小值为－4

D．函数y＝f(x)的最大值为4

ABC　[A正确，f(4)＝(log24)2－log242－3＝－3；B正确，令f(x)＝0，得(log2x＋1)(log2x－3)＝0，解得x＝或x＝8，即f(x)的图象与x有两个交点；C正确，因为f(x)＝(log2x－1)2－4(x>0)，所以当log2x＝1，即x＝2时，f(x)取最小值－4；D错误，f(x)没有最大值．]

三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．

13．已知log23＝a，log37＝b，则log27＝________.(用a，b表示)

ab　[由于log37＝＝b，又log23＝a，所以log27＝ab.]

14．若＝log35，，则5m＋5－m的值为________．

　[∵mlog35＝1，∴m＝＝log53，

∴5m＋5－m＝5log53＋5－log53＝3＋5log5＝3＋＝.]

15．如图所示，四条曲线分别是：y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与0,1的大小关系是________．

0<c<d<1<a<b　[画一条直线y＝1，与图象的四个交点横坐标从左到右依次是c<d<a<b.]

16．已知函数y＝f(x)的图象与g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称，且g(x)的图象过点(9,2)．

(1)函数f(x)的解析式为________；

(2)若f(3x－1)>f(－x＋5)成立，则x的取值范围为________．

(1)f(x)＝x　(2)　[(1)因为g(9)＝loga9＝2，解得a＝3，所以g(x)＝log3x.

因为函数y＝f(x)的图象与g(x)＝log3x的图象关于x轴对称，所以f(x)＝x.

(2)因为f(3x－1)>f(－x＋5)，

所以(3x－1)> (－x＋5)，

则解得<x<，

即x的取值范围为.]

四、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)已知函数y＝loga(x＋3)－(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，求b的值．

[解]　当x＋3＝1，即x＝－2时，对任意的a>0，且a≠1都有y＝loga1－＝0－＝－，所以函数y＝loga(x＋3)－的图象恒过定点A，

若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则－＝3－2＋b，所以b＝－1.

18．(本小题满分12分)已知函数y＝log4(2x＋3－x2)．

(1)求函数的定义域；

(2)求y的最大值，并求取得最大值时的x值．

[解]　(1)由真数2x＋3－x2>0，解得－1<x<3，

所以函数的定义域为{x|－1<x<3}．

(2)将原函数分解为y＝log4u，u＝2x＋3－x2两个函数．因为u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4≤4，

所以当x＝1时，u取得最大值4，又y＝log4u为单调增函数，所以y＝log4(2x＋3－x2)≤log44＝1.

所以y的最大值为1，此时x＝1.

19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝logm(m>0且m≠1)．

(1)判断f(x)的奇偶性并证明；

(2)若m＝，判断f(x)在(3，＋∞)的单调性．

[解]　(1)f(x)是奇函数；证明如下：

由>0解得x<－3或x>3，

所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(3，＋∞)，关于原点对称．

∵f(－x)＝logm＝logm

＝logm－1＝－f(x)，

故f(x)为奇函数．

(2)任取x1，x2∈(3，＋∞)且x1<x2，

f(x1)－f(x2)＝logm－logm＝logm，

∵(x1－3)(x2＋3)－(x1＋3)(x2－3)<0，

∴(x1－3)(x2＋3)<(x1＋3)(x2－3)，

即<1，

当m＝时，>0，

即f(x1)>f(x2)，

故f(x)在(3，＋∞)上单调递减．

20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)．

(1)当a＝3时，f(x)<1，求实数x的取值范围；

(2)若f(x)在[3,6]上的最大值大于0，求a的取值范围．

[解]　(1)当a＝3时，log3(3x－1)<1，

∴0<3x－1<3，得<x<.

∴实数x的取值范围是.

(2)∵a>0，∴y＝ax－1在定义域内单调递增，

当a>1时，函数f(x)在[3,6]上单调递增，

f(x)max＝f(6)＝loga(6a－1)>0，

得6a－1>1，即a>，又a>1，故a>1；

当0<a<1时，函数f(x)在[3,6]上单调递减，f(x)max＝f(3)＝loga(3a－1)>0，

得0<3a－1<1，<a<；

综上a的取值范围∪(1，＋∞)．

21．(本小题满分12分)设f(x)＝＋lg .

(1)求函数的定义域；

(2)判断f(x)的单调性，并根据函数单调性的定义证明；

(3)解关于x的不等式f －＋lg 3>0.

[解]　(1)因为函数f(x)＝＋lg ，所以x＋2≠0且>0，解得－2<x<2，所以函数的定义域为(－2,2)．

(2)任取x1，x2∈(－2,2)，且x1<x2，

则f(x2)－f(x1)＝－＋lg －lg ＝＋lg ，

因为x1，x2∈(－2,2)，且x1<x2，所以<0,0<<1，

所以<0，lg <0，

所以f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)，

所以函数f(x)为单调递减函数．

(3)因为函数f(x)＝＋lg ，

令x＝1，即f(1)＝＋lg ＝－lg 3，

则不等式f －＋lg 3>0，

即f >－lg 3，

所以

解得－1<x<1或2<x<4.

所以不等式的解为(－1,1)∪(2,4)．

22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log9(9x＋1)＋kx是偶函数．

(1)求k的值；

(2)若方程f(x)＝x＋b有实数根，求b的取值范围．

[解]　(1)∵f(x)为偶函数，

∴∀x∈R，有f(－x)＝f(x)，∴log9(9－x＋1)－kx＝log9(9x＋1)＋kx对x∈R恒成立．

∴2kx＝log9(9－x＋1)－log9(9x＋1)＝log9－log9(9x＋1)＝－x对x∈R恒成立，

∴(2k＋1)x＝0对x∈R恒成立，∴k＝－.

(2)由题意知，log9(9x＋1)－x＝x＋b有实数根，即log9(9x＋1)－x＝b有解．

令g(x)＝log9(9x＋1)－x，则函数y＝g(x)的图象与直线y＝b有交点．即g(x)＝log9(9x＋1)－x＝log9＝log9.

∵1＋>1，∴g(x)＝log9>0，

∴b的取值范围是(0，＋∞).