2021_2022学年新教材高中数学课时练3排列数的应用含解析新人教B版选择性必修第二册

排列数的应用

(15分钟　30分)

1．现有5名学生，甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，则甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数为(　　)

A．36　　　　B．24　　　　C．22　　　　D．20

【解析】选A.根据题意，按甲的站法分2种情况讨论：

①若甲站在两端，

甲有2种情况，乙必须与甲相邻，有1种情况，剩余3人全排列，安排在剩余的3个位置，有A＝6种站法，

则此时有2×1×6＝12种站法；

②若甲不站在两端，

甲可以站在中间的3个位置，有3种情况，乙必须与甲相邻，也有2种情况，

甲与丁不能相邻，丁有2个位置可选，有2种情况，

剩余2人全排列，安排在剩余的2个位置，有A＝2种站法，

则此时有3×2×2×2＝24种站法；

则一共有24＋12＝36种站法．

2．甲同学与本校的另外2名男同学2名女同学一同参加《中国成语大全》的海选，5人坐成一排，若甲与2名女同学都相邻，则不同坐法的种数为(　　)

A．6     B．12     C．18     D．24

【解析】选B.把甲与2名女同学“捆绑”在一起与另外2名男同学全排列有A种情况，再将2名女同学全排列有A种情况，故满足条件的不同坐法的种数为A·A＝12.

3．现有高一学生两人，高二学生两人，高三学生一人，将这五人排成一行，要求同一年级的学生不能相邻，则不同的排法总数为________．

【解析】根据题意，将五个人全排列，共有A＝120种结果．

其中高一学生相邻或高二学生相邻两种情况，有2AA＝96种，

高一学生相邻且高二学生相邻情况，有AAA＝24种，

故同一年级的学生不能相邻的排法是120－96＋24＝48(种).

答案：48

4．把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．

【解析】先将A，B捆绑在一起，有A种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A种摆法，共有AA种摆法．而A，B，C这3 件产品在一起，且A，B相邻，A，C相邻有2A种摆法．故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有AA－2A＝36(种).

答案：36

5．某小组6个人排队照相留念．

(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？

(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？

(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？

(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？

(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？

(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？

【解析】(1)前排2人，后排4人，相当于6个人全排列，共有A＝720种排法．

(2)先将甲排在前排A，乙排在后排A，其余4人全排列A，根据分步乘法原理得，AAA＝192种排法．

(3)甲、乙视为一个人，即看成5人全排列问题A，再将甲、乙两人排列A，

根据分步乘法原理可得，AA＝240种排法．

(4)甲必在乙的右边属于定序问题，用除法，＝360种排法．

(5)将3名男生插入3名女生之间的4个空位，这样保证男生不相邻，

根据分步乘法原理得，AA＝144种排法．

(6)方法一：乙在排头其余5人全排列，共有A种排法；

乙不在排头，排头和排尾均为A，其余4个位置全排列有A，根据分步乘法得AAA，

再根据分类加法原理得，A＋AAA＝504种排法．

方法二：(间接法) A－2A＋A＝720－240＋24＝504种排法．

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．数列{an}共有6项，其中4项为1，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列{an}共有(　　)

A．30个　　　B．31个　　　C．60个　　　D．61个

【解析】选A.只需考虑不是1的两项的位置．所以不同的数列共有A＝30(个).

2．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼­15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有(　　)

A．12种    B．18种    C．24种    D．48种

【解析】选C.把甲、乙看作1个元素和另一飞机全排列，调整甲、乙，共有A·A种方法，再把丙、丁插入刚才“两个”元素排列产生的3个空位中，有A种方法，由分步乘法计数原理可得总的方法种数为A·A·A＝24.

3．生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排1人，则不同的安排方案共有(　　)

A．24种    B．36种    C．48种    D．72种

【解析】选B.分类完成：第1类，若甲在第一道工序，则丙必在第四道工序，其余两道工序无限制，有A种排法；

第2类，若甲不在第一道工序(此时乙一定在第一道工序)，则第四道工序有2种排法，其余两道工序有A种排法，有2A种排法．

由分类加法计数原理，共有A＋2A＝36种不同的安排方案．

4．电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映．在《夺冠》上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起．为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是(　　)

A．8    B．12    C．16    D．20

【解析】选C.将两名家长、孩子全排列，有A＝24种排法，其中两个孩子相邻且在两端的情况有AAA＝8种，则每个小孩子要有家长相邻陪坐的排法有24－8＝16种．

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．下列等式中，成立的有(　　)

A．A＝(n－2)A　　　　　 B．A＝A

C．nA＝A        D．A＝A

【解析】选ACD.对于B，左＝·＝，右＝＝，当n＞2且n∈N*时，左≠右．其余选项容易验证成立．

6．用0到9这10个数字，可组成没有重复数字的四位偶数的个数为(　　)

A．A＋A·A·A

B．A＋A·(A－A)

C．A·A·A＋A·A·A

D．A－A－A(A－A)

【解析】选ABCD.方法一：先排个位，若个位是0，则前3个数位上可以用剩下的9个数字任意排，有A种，若个位不是0，则个位有4种选择，再排千位，有8种方法，再排百位和十位有A种方法，所以没有重复数字的四位偶数共有A＋A×A×A＝2 296个．

方法二：个位是0的不同四位数偶数共有A种，个位不是0的不同四位偶数有A×A个，其中包含个位是偶数且千位为0的A×A种，故没有重复数字的四位偶数共有：A＋A(A－A)＝2 296个．

方法三：若千位为奇数，则不同四位数偶数有A×A×A个，若千位是偶数，有A×A×A个，故共有A×A×A＋A×A×A＝2 296个．

方法四：没有重复数字的四位数有A－A个，没有重复数字的四位奇数有A(A－A)个，故没有重复数字的四位偶数有A－A－A(A－A)＝2 296个．

三、填空题(每小题5分，共10分)

7.在一次射击比赛中，8个泥制的靶子挂成三列，其中两列各挂3个，一列挂2个，如图所示．一射手按照下列规则去击碎靶子：先挑选一列，然后必须击碎这列中尚未击碎的靶子中最低的一个．若每次射击都遵循这一原则，击碎全部8个靶子可以有________种不同的射击方案．

【解析】自左至右，自下而上分别用字母A1，A2，A3；B1，B2；C1，C2，C3表示三列靶子．打完8个靶子的所有不同次序相当于把8个字母排个队，但A1，A2，A3；B1，B2；C1，C2，C3三组内部的先后次序排定．因为各种排列情形是等可能出现的．所以击碎8个靶子的不同次序有＝560(种).

答案：560

8．六个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使三个空车位连在一起，则停放的方法数为________；若三个空车位不连在一起，则停放的方法数为________．

【解析】把3个空位看作一个元素，与3辆汽车共有4个元素全排列，故停放的方法有A＝24种．不考虑任何限制，共有＝120种不同放车方法，若三个空车位不连在一起，则共有120－24＝96种停放方法．

答案：24　96

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．将数字1，2，3，4，5，6排成一列，记第i个数为ai(i＝1，2，…，6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1＜a3＜a5，则不同的排列方法共有多少种？

【解析】以特殊位置进行分类，

由于a1≠1，且在a1，a3，a5中a1最小，

故a1只能取2，3，4三个数，

故可以以a1的取值进行分类．

第一类，当a1＝2时，a3可以取数字4或5，共2种选择，不管a3取何值，a5只能取数字6，其他位置不受限制，有A种排列方法，故当a1＝2时，排列方法有2×A＝12(种)；

第二类，当a1＝3时，a3可以取数字4或5，共2种选择，不管a3取何值，a5只能取数字6，其他位置不受限制，有A种排列方法，故当a1＝3时，排列方法有2×A＝12(种)；

第三类，当a1＝4时，a3只能取数字5，只有1种选择，a5只能取数字6，其他位置不受限制，有A种排列方法，故当a1＝4时，排列方法有1×A＝6(种).

根据分类加法计数原理，满足题意的排列方法共有12＋12＋6＝30(种).

10．用0，1，2，…，9十个数字可组成多少个满足以下条件且没有重复数字的排列？

(1)五位奇数；

(2)大于30 000的五位偶数．

【解析】(1)要得到五位奇数，末位应从1，3，5，7，9五个数字中取，有5种取法，取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的8种不同取法，首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选取，共有A种不同的排列方法．因此由分步乘法计数原理共有5×8×A＝13 440个没有重复数字的五位奇数．

(2)要得偶数，末位应从0，2，4，6，8中选取，而要得比30 000大的五位偶数，可分两类：

①末位数字从0，2中选取，则首位可取3，4，5，6，7，8，9中任一个，共7种选取方法，其余三个数位就有除首末两个数位上的数字之外的八个数字可以选取，共A种取法．所以共有2×7×A种不同情况．

②末位数字从4，6，8中选取，则首位应从3，4，5，6，7，8，9中除去末位数字的六个数字中选取，其余三个数位仍有A种选法，所以共有3×6×A种不同情况．由分类加法计数原理，比30 000大的无重复数字的五位偶数共有2×7×A＋3×6×A＝10 752(个).

【创新迁移】

1．一条铁路线上原有n个车站，为了适应客运的需要，在这条铁路线上又新增加了m(m＞1)个车站，客运车票增加了62种，则n＝________，m＝________．

【解析】由题意得A－A＝62，即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62.整理得m(2n＋m－1)＝62＝2×31.

因为m，n均为正整数，所以2n＋m－1也为正整数．

所以得n＝15，m＝2.

答案：15　2

2．编号为A，B，C，D，E的5个小球放在如图所示的5个盒子里，要求每个盒子只能放1个小球，且A球不能放在1，2号盒子里，B球必须放在与A球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？

【解析】根据A球所在位置分三类：

(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得，此时有A＝6种不同的放法；

(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得，此时有A＝6种不同的放法；

(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E，有A＝6种不同的放法，根据分步乘法计数原理得，此时有AA＝18种不同的放法．

综上所述，由分类加法计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．