数学必修 第二册6.2 平面向量的运算课时练习

这是一份数学必修 第二册6.2 平面向量的运算课时练习，共8页。

一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2021·广州高一检测)已知向量a，b满足|a|＝ eq \r(3) ，|b|＝2 eq \r(3) ，a·b＝－3，则a与b的夹角是( )
A．150° B．120° C．60° D．30°
【解析】选B.设a与b的夹角为θ，
则cs θ＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(－3,\r(3)×2\r(3)) ＝－ eq \f(1,2) ，
因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°.
2．(2021·台州高一检测)已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为 eq \f(π,3) ，那么|a－4b|等于( )
A．2 B．2 eq \r(3) C．6 D．12
【解析】选B.因为(a－4b)2＝a2－8a·b＋16b2
＝|a|2－8|a|·|b|cs eq \f(π,3) ＋16|b|2＝4－8＋16＝12，
所以|a－4b|＝2 eq \r(3) .
3．在△ABC中，若 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) 2＝0，则 eq \(BC,\s\up6(→)) 在 eq \(BA,\s\up6(→)) 上的投影向量为( )
A． eq \(BA,\s\up6(→)) B． eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) C． eq \(AC,\s\up6(→)) D． eq \f(1,2) eq \(CA,\s\up6(→))
【解析】选A.因为0＝ eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) 2＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ·( eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) )＝ eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ，所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ⊥ eq \(AC,\s\up6(→)) ，又 eq \(BC,\s\up6(→)) 与 eq \(BA,\s\up6(→)) 的夹角为锐角，所以 eq \(BC,\s\up6(→)) 在 eq \(BA,\s\up6(→)) 上的投影向量为 eq \(BA,\s\up6(→)) .
4．(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是( )
A．a＋2b B．2a＋b C．a－2b D．2a－b
【解析】选D.由已知可得：
a·b＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) · eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) ·cs 60°＝1×1× eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,2) .
A：因为(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝ eq \f(1,2) ＋2×1＝ eq \f(5,2) ≠0，
所以本选项不符合题意；
B：因为(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2× eq \f(1,2) ＋1＝2≠0，
所以本选项不符合题意；
C：因为(a－2b)·b＝a·b－2b2＝ eq \f(1,2) －2×1＝－ eq \f(3,2) ≠0，
所以本选项不符合题意；
D：因为(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2× eq \f(1,2) －1＝0，
所以本选项符合题意．
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，| eq \(AB,\s\up6(→)) |＝ eq \r(3) ，| eq \(CB,\s\up6(→)) |＝1，则 eq \(AC,\s\up6(→)) 与 eq \(CB,\s\up6(→)) 的夹角θ＝________．
【解析】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝ eq \r(3) ，CB＝1，所以tan ∠ACB＝ eq \f(AB,CB) ＝ eq \r(3) ，
所以∠ACB＝60°，即 eq \(CB,\s\up6(→)) 与 eq \(CA,\s\up6(→)) 的夹角为60°，
所以 eq \(AC,\s\up6(→)) 与 eq \(CB,\s\up6(→)) 的夹角为120°.
答案：120°
6．如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，则 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) 等于________．
【解析】因为△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，所以BC＝ eq \r(3) ，所以 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝1× eq \r(3) ×cs 150°＝－ eq \f(3,2) .
答案：－ eq \f(3,2)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．如图，在▱ABCD中，| eq \(AB,\s\up6(→)) |＝4，| eq \(AD,\s\up6(→)) |＝3，∠DAB＝60°，求：
(1) eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ；
(2) eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(DA,\s\up6(→)) .
【解析】(1)因为 eq \(AD,\s\up6(→)) ∥ eq \(BC,\s\up6(→)) ，且方向相同，
所以 eq \(AD,\s\up6(→)) 与 eq \(BC,\s\up6(→)) 的夹角是0°，
所以 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝| eq \(AD,\s\up6(→)) || eq \(BC,\s\up6(→)) |·cs 0°＝3×3×1＝9.
(2)因为 eq \(AB,\s\up6(→)) 与 eq \(AD,\s\up6(→)) 的夹角为60°，
所以 eq \(AB,\s\up6(→)) 与 eq \(DA,\s\up6(→)) 的夹角为120°，
所以 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(DA,\s\up6(→)) ＝| eq \(AB,\s\up6(→)) || eq \(DA,\s\up6(→)) |·cs 120°＝4×3× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))) ＝－6.
8．已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．
【解析】设a与b的夹角为θ，
由已知条件得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（a＋3b）·（7a－5b）＝0，,（a－4b）·（7a－2b）＝0，))
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7a2＋16a·b－15b2＝0， ①,7a2－30a·b＋8b2＝0， ②))
②－①得23b2－46a·b＝0，
所以2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，
所以|a|＝|b|，所以cs θ＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(\f(1,2)b2,|b|2) ＝ eq \f(1,2) .
因为θ∈[0，π]，所以θ＝ eq \f(π,3) .
【综合突破练】 (20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为( )
A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,3) C． eq \f(5π,6) D． eq \f(2π,3)
【解析】选A.|a－b|＝ eq \r(（a－b）2)
＝ eq \r(a2＋b2－2a·b) ＝ eq \r(3) ，
设向量a与a－b的夹角为θ，
则cs θ＝ eq \f(a·（a－b）,|a||a－b|) ＝ eq \f(22－1,2×\r(3)) ＝ eq \f(\r(3),2) ，
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝ eq \f(π,6) .
2．(多选题)已知正方形ABCD的边长为2，向量a，b满足 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝2a， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝2a＋b，则( )
A．|b|＝2 eq \r(2) B．a⊥b
C．a·b＝2 D．(4a＋b)⊥b
【解析】选AD.由条件可得：b＝ eq \(AD,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(BD,\s\up6(→)) ，
所以|b|＝| eq \(BD,\s\up6(→)) |＝2 eq \r(2) ，A正确；
a＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ，与 eq \(BD,\s\up6(→)) 不垂直，B错误；
a·b＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＝－2，C错误；
4a＋b＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AC,\s\up6(→)) ，根据正方形的性质有AC⊥BD，所以(4a＋b)⊥b，D项正确．
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点， eq \(BA,\s\up6(→)) · eq \(CA,\s\up6(→)) ＝4， eq \(BF,\s\up6(→)) · eq \(CF,\s\up6(→)) ＝－1，则 eq \(BE,\s\up6(→)) · eq \(CE,\s\up6(→)) 的值是________．
【解析】设 eq \(BD,\s\up6(→)) ＝a， eq \(DF,\s\up6(→)) ＝b，
则 eq \(BA,\s\up6(→)) · eq \(CA,\s\up6(→)) ＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4， eq \(BF,\s\up6(→)) · eq \(CF,\s\up6(→)) ＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1，解得|a|2＝ eq \f(13,8) ，|b|2＝ eq \f(5,8) ，
则 eq \(BE,\s\up6(→)) · eq \(CE,\s\up6(→)) ＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝4|b|2－|a|2＝ eq \f(7,8) .
答案： eq \f(7,8)
4．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋b)) ·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；b在a上的投影向量的模等于________．
【解析】a·b＝|a||b|cs 45°＝4|b|cs 45°＝2 eq \r(2) |b|，
又 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋b)) ·(2a－3b)＝|a|2＋ eq \f(1,2) a·b－3|b|2＝16＋ eq \r(2) |b|－3|b|2＝12，
解得|b|＝ eq \r(2) 或|b|＝－ eq \f(2\r(2),3) (舍去).
b在a上的投影向量的模为||b|cs 45°|
＝ eq \r(2) cs 45°＝1.
答案： eq \r(2) 1
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设P，Q满足 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AQ,\s\up6(→)) ＝(1－λ) eq \(AC,\s\up6(→)) (λ∈R)，若 eq \(BQ,\s\up6(→)) · eq \(CP,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(3,2) ，求实数λ的值．
【解析】因为 eq \(BQ,\s\up6(→)) ＝ eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AQ,\s\up6(→)) ， eq \(CP,\s\up6(→)) ＝ eq \(CA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AP,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(BQ,\s\up6(→)) · eq \(CP,\s\up6(→)) ＝( eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AQ,\s\up6(→)) )·( eq \(CA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AP,\s\up6(→)) )
＝ eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AP,\s\up6(→)) － eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(AQ,\s\up6(→)) ＋ eq \(AQ,\s\up6(→)) · eq \(AP,\s\up6(→))
＝ eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) －λ eq \(AB,\s\up6(→)) 2－(1－λ) eq \(AC,\s\up6(→)) 2＋λ(1－λ) eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→))
＝2－4λ－4(1－λ)＋2λ(1－λ)＝－2λ2＋2λ－2＝－ eq \f(3,2) ，所以λ＝ eq \f(1,2) .
6．(2021·黄冈高一检测)已知向量n与向量m的夹角为 eq \f(π,3) ，且|n|＝1，|m|＝3，n·(n－λm)＝0.
(1)求λ的值；
(2)记向量n与向量3n－m的夹角为θ，求cs 2θ.
【解析】(1)由n·(n－λm)＝n2－λm·n＝1－λ×3×1×cs eq \f(π,3) ＝0，所以λ＝ eq \f(2,3) .
(2)因为n·(3n－m)＝3n2－m·n＝3－3×1× eq \f(1,2) ＝ eq \f(3,2)
|3n－m|＝ eq \r(（3n－m）2) ＝ eq \r(9n2－6m·n＋m2) ＝ eq \r(9－6×\f(3,2)＋9) ＝3，所以cs θ＝ eq \f(n·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3n－m)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(n))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3n－m))) ＝ eq \f(\f(3,2),1×3) ＝ eq \f(1,2) ，
所以cs 2θ＝2cs2θ－1＝2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(2) －1＝－ eq \f(1,2) .